Методические указания к выполнению индивидуальных заданий по "Элементам высшей математики"
методическая разработка на тему

Государственное бюджетное образовательное учреждение

Республики Мордовия среднего профессионального образования

 «Зубово-Полянский педагогический колледж»

                                                                             УТВЕРЖДАЮ

Заместитель директора по учебной работе ____________ Т.М. Какаева

«___» _____________ 2015 г.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ

ЕН.01 Элементы высшей математики

основной профессиональной образовательной программы

по специальности СПО

09.02.03 Программирование в компьютерных системах

Зубова Поляна, 2015

Методические указания к выполнению индивидуальных заданий  по учебной дисциплине «Элементы высшей математики» основной профессиональной образовательной программы  по специальности СПО 09.02.03 Программирование в компьютерных системах. Зубова Поляна, 2015 г., 30 с.

Разработчик: __________  М.А. Оркина

ВВЕДЕНИЕ

Согласно  Типовому положению об образовательном учреждении среднего профессионального образования (среднем специальном учебном заведении), утверждённому Постановлением Правительства Российской Федерации от 18 июля 2008 г. №543, самостоятельная работа обучающихся является одним из видов учебных занятий.

Одним из видов внеаудиторной самостоятельной работы по учебной дисциплине «Элементы высшей математики» является выполнение индивидуального задания. Индивидуальное задание – одна из форм проверки и оценки усвоенных знаний, получения информации о характере познавательной деятельности, уровня самостоятельности и активности студентов в учебном процессе, эффективности методов, форм и способов учебной деятельности.

Отличительной чертой индивидуального задания является большая степень объективности по сравнению с устным опросом.

Для индивидуальных заданий важно, чтобы система письменных упражнений предусматривала как выявление знаний по определенной теме (разделу), так и понимание сущности изучаемых предметов и явлений, их закономерностей, умение самостоятельно делать выводы и обобщения, творчески использовать знания и умения.

Перед выполнением студентами индивидуального задания проводится инструктаж по его выполнению, который включает цель задания, его содержание, сроки выполнения, ориентировочный объем работы, основные требования к результатам работы, критерии оценки. В процессе инструктажа преподаватель предупреждает студентов о возможных типичных ошибках, встречающихся при выполнении задания.

Настоящее пособие для студентов содержит методические указания по темам Системы линейных уравнений, Прямая на плоскости, Дифференциальное исчисление функций одной действительной переменной, Интегральное исчисление функций одной действительной переменной, Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Всего предусматривается выполнение 5 индивидуальных работ, причем каждая работа содержит основные теоретические сведения, решения типовых примеров и 20 вариантов заданий.

Все индивидуальные работы должны быть выполнены в одной тетради для индивидуальных работ. Условие задания должно быть полностью переписано перед ее решением.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ИДИВИДУАЛЬНЫМ РАБОТАМ

ИНДИВИДУАЛЬНАЯ РАБОТА №1

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Основные теоретические сведения

В  общем  случае  систему   m  линейных   уравнений  с   n  неизвестными можно записать в виде

           (1)

В более краткой записи с помощью знаков суммирования систему можно записать в виде

Система (1) называется однородной, если все ее свободные члены   равны нулю. Если хотя бы один из свободных членов  отличен от нуля, то система (1) – неоднородная. Система (1) будет квадратной, если число m составляющих ее уравнений будет равно числу неизвестных n.

Введем следующие обозначения:

где   матрица   А  называется   основной;  – расширенной   матрицей  системы (1).

Тогда систему (1) можно записать в матричной форме

АХВ.               (2)

Совокупность чисел  есть решение системы (1), если в результате замены неизвестных  соответственно числами   все уравнения системы превращаются в арифметические тождества.

Система (1) называется совместной, если имеет, по крайней мере, одно решение, в противном случае – несовместной.

Совместная система является определенной, если обладает единственным решением, и неопределенной, если существуют, по крайней мере, два различных ее решения.

Две системы уравнений вида (1) называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. Элементарные преобразования исходной системы приводят к эквивалентной системе. К элементарным преобразованиям относятся:

1. Вычеркивание нулевого уравнения.

2. Перестановка уравнений или слагаемых в уравнении.

3. Прибавление к обеим частям одного уравнения соответственно обеих частей другого уравнения этой системы, умноженного на любое действительное число.

4. Удаление уравнений, являющихся линейными комбинациями других уравнений системы.

Теорема Крамера. Если для системы (1) m  n и det A ≠ 0, т. е. матрица А – невырожденная, то система совместна и имеет единственное решение, вычисляющееся по формуле

              (3)

где  – определитель n-го порядка, который получается из  путем замены в нем i-го столбца столбцом свободных членов; .

Формулы (3) получили название формул Крамера.

Метод Гаусса (метод последовательных исключений). Если m = n и rang А = n, то расширенная матрица  системы (4) с помощью элементарных преобразований строк и перестановок столбцов всегда может быть приведена к виду

.

Это так называемый прямой ход. Обратный ход можно представить следующим образом:

Пример. Проверить совместность системы и решить ее методом Крамера и   методом Гаусса.

В задаче дана неоднородная система линейных уравнений с тремя неизвестными. Для того чтобы проверить совместность системы, найдем определитель основной матрицы системы:

Так как , то по теореме Крамера система совместна и имеет единственное решение.

1. Найдем значения неизвестных методом Крамера по формулам (3):

Тогда

Сделаем проверку, подставив найденные значения в уравнения системы:

Получили арифметические тождества, следовательно ,   и  – решение системы.

Найдем значения неизвестных методом Гаусса. Выразим из первого уравнения системы  и подставим его значение в оставшиеся уравнения:

После преобразований получим  

Выразим из второго уравнения  и подставим в третье уравнение:

Обратный ход:      Таким образом ,   и .

ИНДИВИДУАЛЬНАЯ РАБОТА №2

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

Основные теоретические сведения

Две взаимно перпендикулярные прямые, имеющие общее начало и одинаковую единицу масштаба, образуют прямоугольную (декартову) систему координат на плоскости.

ОХ – ось абсцисс; ОУ – ось ординат.

О – начало координат.

Плоскость, в которой расположены оси координат, называется координатной плоскостью .

Прямоугольными декартовыми координатами точки М на плоскости называются расстояния от этой точки до координатных осей, взятые с соответствующими знаками.

Таким образом, при выбранной системе координат каждой точке плоскости соответствует пара чисел (х; у) и, обратно, каждой паре чисел (х; у) соответствует,  и притом одна, точка М на плоскости. Т.е. устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек плоскости и множеством пар чисел, которое дает возможность при решении геометрических задач применять алгебраические методы.

Расстояние  d между двумя точками  и  вычисляется по формуле

.        (1)

Координаты  точки , делящей отрезок  в отношении , определяются по формулам

, ,                           (2)

где  и .

В частности, при  получим формулы для координат середины отрезка:

, .        (3)

Площадь треугольника с вершинами ,  , равна

.        (4)

Основная теорема. В декартовой прямоугольной системе координат  на плоскости любая прямая может быть задана уравнением первой степени относительно  и :

,        (5)

где А, В, С  – некоторые действительные числа, причем , и обратно, всякое уравнение вида (5) определяет прямую.

Уравнение (5) называется общим уравнением прямой. Уравнение (5) является уравнением первой степени, поэтому прямая – линия первого порядка.

При различных А, В, С  общее уравнение определяет различные прямые:

1) В = 0         х = а    .

2) А = 0         у = b    .

3) C = 0         .

4) А = 0, C = 0        y = 0 – уравнение оси Ох.

5) В = 0, C = 0        х = 0 – уравнение оси Оу.

6) А = 0, В = 0, C ≠ 0  – уравнение не имеет смысла.

Пусть дана некоторая прямая, не перпендикулярная оси Ох.

 Углом наклона данной прямой к оси Ох называется угол α, на который нужно повернуть ось Ох против часовой стрелки, чтобы положительное направление совпало с одним из направлений прямой.

Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называют угловым  коэффициентом этой прямой:

.

Уравнение прямой можно  представить в виде

.                     (6)

Последнее уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Существуют и другие виды уравнений прямой на плоскости:

1. уравнение по точке  и угловому коэффициенту k

;                                  (7)

2. уравнение прямой в «отрезках»

,        (8)

где а – абсцисса точки пересечения прямой с осью ;

b – ордината точки пересечения прямой с осью .

Поэтому а и b называют отрезками прямой на осях координат.

3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки  и

.        (9)

Если известны координаты двух точек прямой  и , то угловой коэффициент прямой вычисляется по формуле:

.

Если две прямые заданы уравнениями вида (2)  и  , то угол φ между ними находится по формуле

.      (10)

Для того чтобы прямые были параллельны, необходимо, чтобы выполнялось равенство (числитель равен нулю)

                             ,                                     (11)

а для их перпендикулярности необходимо и достаточно, чтобы (знаменатель дроби равен нулю)

                        (12)

Условие перпендикулярности двух прямых состоит в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.

Если две прямые заданы общими уравнениями  и  , то угол φ между ними находится по формуле

.        (13)

Условие перпендикулярности этих прямых имеет вид

,        (14)

а условие их параллельности

.        (15)

Для нахождения общих точек двух прямых необходимо решить систему их уравнений:

Расстояние d от точки  до прямой (1) вычисляется по формуле

.        (14)

Пример.  Даны вершины треугольника АВС: А(–4; 3); B(2; 7); C(6; –3). Найти:

1. Уравнение стороны АВ;
2. Уравнение высоты СН;
3. Уравнение медианы АМ;
4. Уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ;
5. Расстояние от точки С до прямой АВ;
6. Угол при вершине А;
7. Площадь треугольника АВС.

Для нахождения уравнения стороны АВ воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две данные точки (9):

; ; ; ;

 – общее уравнение прямой АВ. Выразим из него у и получим уравнение стороны АВ с угловым коэффициентом  ().

Для нахождения уравнения высоты СН воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точку с данным угловым коэффициентом (7):

.

Так как СН ⊥ АВ, то по условию перпендикулярности .

Следовательно, ,  – уравнение высоты СН.

Для того чтобы написать уравнение медианы АМ сначала найдем координаты точки М – середины отрезка ВС по формулам (3):

, .

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки А(–4; 3) и М(4; 2) по формуле (9):

; ;  – уравнение медианы АМ.

Уравнение прямой l, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ найдем, используя формулу (7):

.

Так как l //АВ, то по условию параллельности . Следовательно ,  – уравнение прямой l||AB.

Расстояние от точки С до прямой АВ найдем по формуле (14):

.

Угол при вершине А найдем по формуле (13), считая от прямой АС до прямой АВ против часовой стрелки:

Угловой коэффициент прямой АВ найден нами в первом пункте – , а угловой коэффициент прямой АС найдем по формуле :

Тогда

– величина угла при вершине А.

Площадь треугольника АВС найдем по формуле (4):

(кв. ед.)

ИНДИВИДУАЛЬНАЯ РАБОТА №3

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Основные теоретические сведения

        Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

                                     у

                                                                f(x)

                              f(x0 +Δx)                                P

                                        Δf

                                f(x0)                  M

                                    α                β          Δx        

                                       0                     x0         x0 + Δx                   x

        Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда  тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

,

где α - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).

Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

        Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

        Соответственно, вторая производная функции – скорость изменения скорости, т.е. ускорение.

Теорема. (Необходимое условие существования производной) Если функция f(x) имеет производную в точке х0, то она непрерывна в этой точке.

Основные правила дифференцирования.

1) (u ± v)′ = u′ ± v′

2) (u⋅v)′ = u⋅v′ + u′⋅v

3), если v ≠ 0

Производные основных элементарных функций.

1)С′  = 0;                                9)

2) (xm)′ = mxm-1;                           10)

3)                                   11)

4)                         12)

5)                                 13)

6)                         14)  

7)                                15)

8)                  16)  

Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f. Тогда      

Пример.  Найти производную функции .

Пример. Найти производную функции

Теорема Ролля. _        Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (а, b)  и значения функции на концах отрезка равны f(a) = f(b), то на интервале (а, b) существует точка ε, a < ε < b, в которой производная функция f(x) равная нулю,

f′(ε) = 0.

Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении условий теоремы на интервале (a,b) существует точка ε такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна оси Ох. Таких точек на интервале может быть и несколько, но теорема утверждает существование, по крайней мере, одной такой точки.

Теорема Лагранжа. _        Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b), то на этом интервале найдется по крайней мере одна точка ε 

a < ε < b, такая, что .

Теорема Коши. _        Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b) и g′(x) ≠ 0 на интервале (a, b), то существует по крайней мере одна точка ε, a < ε < b, такая, что

.

Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению производных в точке ε.

Пусть функция f(x) - дифференцируема на некотором интервале. Тогда, дифференцируя ее, получаем первую производную

        Если найти производную функции f′(x), получим вторую производную функции f(x).

т.е. y′′ = (y′)′ .

Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени n..

Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f′(x) ≥ 0.

2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f′(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

        Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f(x) убывает на отрезке [a, b], то f′(x)≤0 на этом отрезке. Если f′(x)<0 в промежутке (a, b), то f(x) убывает на отрезке [a, b].

        Конечно, данное утверждение справедливо, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b).

        Определение. Функция f(x) имеет в точке х1 максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х1. Функция f(x) имеет в точке х2 минимум, если f(x2 +Δx) > f(x2) при любом Δх (Δх может быть и отрицательным).

        Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.

        Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума. 

        Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой экстремума, то  производная функции обращается в нуль в этой точке.

Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция  у = х3, производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.

Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.

        Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.

        Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)

        Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х1, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х1).

        Если при переходе через точку х1 слева направо производная функции f′(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х1 функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.

Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.

                                        у

                                                                                                         х

На рисунке показана иллюстрация приведенного выше определения.

Теорема 1.  Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх (выпукла).

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

        Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если  вторая производная f′′(a) = 0 или f′′(a) не существует и при переходе через точку х = а  f′′(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.

Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

        Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.

Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке.

Рассмотрим подробнее методы нахождения асимптот кривых.

Вертикальные асимптоты. _        Из определения асимптоты следует, что если или  или , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).

Наклонные асимптоты. _        Предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b, где

,  

        Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.

        Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

1) Вертикальные асимптоты: y→+∞    x→0-0:      y→-∞     x→0+0, следовательно, х = 0- вертикальная асимптота.

2) Наклонные асимптоты:

Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.

Построим график функции:

Схема исследования функций _        Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

1. Область существования функции.

Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.

2. Точки разрыва. (Если они имеются).
3. Интервалы возрастания и убывания.
4. Точки максимума и минимума.
5. Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.
6. Области выпуклости и вогнутости.
7. Точки перегиба.(Если они имеются).
8. Асимптоты.(Если они имеются).
9. Построение графика.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-∞; -1) ∪ (-1; 1) ∪ (1; ∞).

В свою очередь, видно, что прямые  х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.

Областью значений данной функции является интервал (-∞; ∞).

Точками разрыва функции являются точки  х = 1, х = -1.

Найдем производную функции

Критические точки: x = 0; x = -; x = ;  x = -1;  x = 1.

Найдем вторую производную функции

.

Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

-∞ < x < -,      y′′ < 0,  кривая выпуклая

- < x < -1,       y′′ < 0,  кривая выпуклая

-1 < x < 0,            y′′ > 0,  кривая вогнутая

 0 < x < 1,             y′′ < 0,  кривая выпуклая

 1 < x < ,         y′′ > 0,   кривая вогнутая

  < x < ∞,        y′′ > 0,   кривая вогнутая

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

-∞ < x < -,      y′ > 0, функция возрастает

- < x < -1,       y′ < 0,  функция убывает

-1 < x < 0,            y′ < 0,  функция убывает

 0 < x < 1,             y′ < 0,  функция убывает

 1 < x < ,         y′ < 0,   функция убывает

  < x < ∞,        y′′ > 0,   функция возрастает

Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х =  является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно -3/2 и 3/2.

Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты.

Итого, уравнение наклонной асимптоты –     y = x.

Построим график функции:

ИНДИВИДУАЛЬНАЯ РАБОТА №4

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Основные теоретические сведения

Определенным интегралом от функции  на отрезке [a, b] называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:

Основные свойства определенного интеграла:

Правила вычисления определенных интегралов.

1. Формула Ньютона-Лейбница:

2. Замена переменной:

где функция, непрерывная вместе со своей производной  на отрезке

3. Интегрирование по частям:

где  – непрерывно дифференцируемые функции на отрезке

4. Интегрирование четных и нечетных функций в  симметричных пределах.

Если  – нечетная функция, т.е. , то

Если  – четная функция, т.е. , то

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми   и отрезком оси , вычисляется по формуле

Площадь фигуры, ограниченной кривыми и   и прямыми , вычисляется по формуле

Пример. Вычислить  площадь  плоской фигуры, ограниченной кривыми  и .

Решение. Найдем абсциссы точек пересечения данных кривых, приравняв их уравнения:

;  ; ;

 и  - пределы интегрирования при нахождении площади.

Построим фигуру, ограниченную кривыми и найдем ее площадь S:

(кв. ед.).

ИНДИВИДУАЛЬНАЯ РАБОТА №5

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Основные теоретические сведения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции. Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких – то уравнением в частных производных. Будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения (и по этой причине слово «обыкновенные» будем опускать).

В общем случае дифференциальное уравнение можно записать в виде

,

где F – некоторая функция от n + 2  переменных (), при этом порядок n старшей производной, входящей в запись уравнения, называется порядком дифференциального уравнения.

Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Задача о нахождении решения некоторого дифференциального уравнения называется задачей интегрирования данного уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется такое его решение

,

которое является функцией переменной x и n  произвольных независимых постоянных . (Независимость постоянных означает отсутствие каких-либо соотношений между ними).

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных .

Решения, которые не получаются из общего решения дифференциального уравнения ни при каких значениях произвольных постоянных (в том числе и при ) называются особыми.

Рассмотрим вопросы теории дифференциальных уравнений на примере уравнений первого порядка, т. е. уравнений вида

.

Если это уравнение можно разрешить относительно , то оно примет вид . Его общее решение .

Условие, что при  функция y должна быть равна заданному числу , т. е.  называется начальным условием.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, оно может быть представлено в виде

.

Для решения такого уравнения его следует преобразовать к такому виду, в котором дифференциал и функции переменной х окажутся в одной части равенства, а переменной y – в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного равенства.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Преобразуем левую часть уравнения:

.

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Делим обе части уравнения на :

.

Интегрируем обе части равенства. Получаем:

,

 – общий интеграл исходного уравнения.

Если , то x = 0, y = 0 являются решениями данного дифференциального уравнения, но они не входят в общий интеграл. Значит, решения x = 0, y = 0 являются особыми.

К уравнению с разделяющимися переменными приводятся однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Функция называется однородной функцией n-го порядка, если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель  вся функция умножится на , т. е.

.

Дифференциальное уравнение  называется однородным, если функция  есть однородная функция нулевого порядка. Однородное дифференциальное уравнение можно записать в виде

.

Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме:

,

где  – однородные функции одинакового порядка.

Однородное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи подстановки  или .

Пример. Найти общий интеграл уравнения .

Решение. Данное уравнение однородное, т. к. функции  и  – однородные функции второго порядка. В самом деле,

,

.

Положим . Тогда . Подставляем в исходное уравнение:

,

,

.

Последнее – уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные

и интегрируем

, .

Заменяя u на , получаем общий интеграл исходного уравнения:

.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде

,

где  – заданные функции, в частности – постоянные. Если , то уравнение называется линейным неоднородным, если же  – линейным однородным. Общее решение неоднородного линейного уравнения можно найти исходя из общего решения соответствующего однородного уравнения методом Лагранжа, варьируя произвольную постоянную. Линейное уравнение первого порядка можно интегрировать также методом Бернулли, суть которого рассмотрим на примере.

Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения

, .

Решение. Преобразуем уравнение, выделив производную:

,  .

Уравнение  – линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Решаем его с помощью подстановки . Имеем:

,  ,

.                      (*)

Находим функцию  из условия :

,  ,  ,  ,

.

Подставляем полученное выражение для  в уравнение (*):

,  ,  ,

,  , .

Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид .

Находим С, используя начальное условие: , С = 5.

Окончательно получаем, что частное решение исходного уравнения имеет вид

.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ РАБОТ

ИНДИВИДУАЛЬНАЯ РАБОТА №1

Проверить совместность системы линейных алгебраических уравнений  и в случае совместности решить  её: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19

20.

ИНДИВИДУАЛЬНАЯ РАБОТА №2

Даны вершины треугольника АВС: А(xА; yА); B(xВ; yВ); C(xС; yС). Найти:

1. уравнение стороны АВ;
2. уравнение высоты СН;
3. уравнение медианы АМ;
4. уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ;
5. расстояние от точки С до прямой АВ;
6. угол при вершине А;
7. площадь треугольника АВС.

1. А(–2; –3);  В(0; 7);  С(8; 3).
2. А(1; 2); В(3; 12); С(11; 8).
3. А(–4; –1); В(–2; 9); С(6; 5).
4. А(4; 1); В(6; 11); С(14; 7).
5. А(–3; –2); В(–1; 8); С(7; 4).
6. А(2; –5); В(4; 5); С(12; 1).
7. А(3; 0); В(5; 10); С(13; 6).
8. А(0; 3); В(2; 13); С(10; 9).
9. А(–1; 5); В(1; 15); С(9; 11).
10. А(5; 4); В(7; 14); С(15; 10).
11. А(–5; –1); В(7; 3); С(2; 8).
12. А(–2; 1); В(10; 5); С(5; 10).
13. А(–1; –2); В(11; 2); С(6; 7).
14. А(–6; –3); В(6; 1); С(1; 6).
15. А(–9; 3); В(3; 7); С(–2; 12).
16. А(–4; 5); В(8; 9); С(3; 14).
17. А(0; 4); В(12;8); С(7; 13).
18. А(–7; –2); В(5; 2); С(0; 7).
19. А(1; 0); В(13; 4); С(8; 9).
20. А(2; – 4); В(14; 0); С(9; 5).

ИНДИВИДУАЛЬНАЯ РАБОТА №3

Методами дифференциального исчисления провести полное исследование данных функций и построить их графики.

ИНДИВИДУАЛЬНАЯ РАБОТА №4

Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми. Сделать чертеж области.

ИНДИВИДУАЛЬНАЯ РАБОТА №5

Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее условию y=y0 при x=x0.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРНЫХ ИСТОЧНИКОВ

Основные источники:

1. Григорьев, В.П. Сборник задач по высшей математике: учебное пособие для студ. учреждений сред. проф. образования/ В.П. Григорьев, Т.Н. Сабурова. – М.: Академия, 2010. – 160 c.
2. Григорьев, В.П. Элементы высшей математики: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования/ В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. - 4-е изд., стер. – М.: Академия, 2008. – 320 с.

Дополнительные источники:

1. Пехлецкий, И.Д. Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования/ И. Д. Пехлецкий. – 4-е изд., стер. – М.: Академия, 2008. – 299 с.
2.  Соловейчик, И.Л. Математика в задачах с решениями/ И.Л. Соловейчик, В.Т. Лисичкин. – М.: Лань, 2011. – 464 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ……………………………………………………………………………..3

Методические указания к индивидуальным работам…… .....................................4

Задания для индивидуальных работ……………………… ……...……………....26

Список литературных источников ………………………………………………..29