Задачи по математике "Проценты" (подготовка к ЕГЭ)
материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (10 класс)

ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ

(по тестам ЕГЭ)

I. Сплавы; смеси

Часто в задачах В14 встречаются текстовые задачи с процентами. Приведу примеры таких задач и рекомендации по их решениям.

Задача №1.        Смешаем 2 кг 15%-го водного раствора некоторого вещества с 8 кг 10%-го водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение

1. 2 · 0,15 = 0,3 (кг) – вещество в I растворе;
2. 8 · 0,1 = 0,8 (кг) – вещество во II растворе;
3. 2 + 8 = 10 (кг) – I + II растворы;
4. 0,3 + 0,8 = 1,1 (кг) – вещество вместе из I и II растворов;
5.  – концентрация нового раствора.

Ответ: 11.

Пятое действие можно сделать по-другому. Составить пропорцию:

1,1 кг – х %

10 кг – 100 %

.

Задача №2.        Эту задачу решим с помощью системы уравнений с двумя переменными.

Имеется два сосуда. Первый содержит 7,5 кг, а второй – 50 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 42% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 50% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Решение

1. 75 + 50 = 125 (кг) –раствор, содержащий 42% кислоты
2. 125 · 0,42 = 52,5 (кг) – вещество в новом растворе
3. Пусть х % – концентрация I раствора;

Тогда y % – концентрация II раствора;

В I растворе вещества 0,75x кг, а во II растворе 0,5y кг. Имеем первое уравнение 0,75x + 0,5y = 52,5.

Пусть во второй раз смешали одинаковые массы этих растворов 50 кг  I-го раствора и 50 кг II-го раствора. Тогда имеем второе уравнение    0,5x + 0,5y = 50.

Решим систему уравнений способом сложения.

10% концентрация I раствора, тогда найдем кислоту в I растворе.

75 · 0,1 = 7,5 кг

Ответ: 7,5.

Задача №3.        Имеется два сплава. Первый содержит 15% золота, а второй – 2% золота. Масса первого сплава 3 кг, масса второго – 7 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав. Найдите процентное содержание золота в полученном сплаве.

Решение

1. 3 · 0,15 = 0,45 (кг) золота в I сплаве;
2. 7 · 0,02 = 0,14 (кг) – золота во II сплаве;
3. 3 + 7 = 10 (кг) – III сплав;
4. 0,45 + 0,14 = 0,59 (кг) золота в III сплаве;
5.  – процентное содержание золота в III сплаве.

Ответ: 5,9.

Задача №4.        Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 54 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

Решение

1. Найдем сначала сколько кг в изюме совсем без воды.

54 кг – 100 %

х кг – 95 %

 (кг)

2. Теперь найдем вес винограда

51,3 кг – 10 %, т.к. воды 90%

х кг – 100 %

Ответ: 513 кг винограда.

II. Вклады; банки

Задача №1.        Клиент А сделал вклад в банке в размере 8800 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент Б. Еще ровно через год клиенты А и Б закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А получил на 968 рублей больше клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?

Решение

Пусть р % годовых начислял банк. Тогда через два года клиент А получил 8800 (1 + 0,01 р)2 , а клиент Б через год получил 8800 (1 + 0,01 р). Разница равна 968 рублей.

8800 (1 + 0,01 р)2 – 8800 (1 + 0,01 р) = 968

1 + 0,01 р = х

8800 х2 – 8800 х – 968 = 0

100 х2 – 100 х – 11 = 0

D1 = 2500 + 1100 = 3600

1 + 0,01 р = 1,1

р = 10

Ответ: 10 %.

Задача №2.        В понедельник акции компании подешевели на некоторое число процентов, а во вторник подорожали на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 9% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подешевели акции компании в понедельник?

Решение

Пусть при открытии торгов в понедельник акции стоили х руб. К вечеру понедельника они подешевели на р % и стали стоить . К вечеру вторника акции подорожали на р % и стали стоить . По условию, акции подешевели на 9%. Имеем уравнение

;

;            р2 = 30.

Ответ: 30.

Задача №3.        Компания «Дельта» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2008 году, имея капитал в размере 8000 долларов. Каждый год, начиная с 2009 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания «Омега» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2010 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2011 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 300% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2013 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Решение

Если вкладчик не снимет со счета сумму начисленных процентов, то эта сумма присоединяется к основному вкладу, а в конце следующего года банк будет начислять р % уже на новую увеличенную сумму. Это означает, что банк станет теперь начислять проценты не только на основной вклад Sо, но и на проценты, которые на него полагаются

.

Тогда получаем

Разница 1 944 000 – 640 000 = 1 304 000

Ответ: 1 304 000.

Задача №4.        Акционерное общество израсходовало 20% своей годовой прибыли на реконструкцию производственной базы, 25% оставшихся денег потратило на строительство спортивного комплекса, выплатило 4 200 000 рублей дивидендов по акциям. После всех этих расходов осталось нераспределенной 0,1 прибыли. Сколько рублей составляла прибыль акционерного общества?

Решение

1. 100% – 20% = 80% оставшиеся
2. 80 · 0,25 = 20% от всей прибыли на строительство спортивного комплекса
3. 20% + 20% = 40% на реконструкцию + на спортивный комплекс
4. 100% – 40% = 60% осталась прибыль
5. Пусть х рублей годовая прибыль

0,6х = 4 200 000 + 0,1х

0,5х = 4 200 000

х = 8 400 000

Ответ: 8 400 000.