Статья "Модуль числа"
статья по математике (6 класс)

Конюшкова Ирина Платоновна   208-463-823

Статья «Изучение модуля числа в средней школе»

Модуль является существенной характеристикой действительного числа. Это понятие имеет широкое распространение в различных разделах физико-математических и технических наук. Так, в математическом анализе одно из первых фундаментальных понятий  - понятие предела - в своем определении содержит понятие абсолютной величины числа. В теории приближенных вычислений важнейшим понятием является понятие абсолютной погрешности, также определяемое через понятие модуля. В механике одним из основных понятий является вектор, одной из характеристик которого служит его абсолютная величина.  

С понятием модуля обучающиеся знакомятся в 6 классе. Модуль числа используется при формулировке правил действий над числами. И далее ни в одной теме нет планомерного изучения данного вопроса, поэтому необходимо, где только появляется возможность для более глубокого и осмысленного изучения модуля, включать задания, содержащие знак абсолютной величины.

В 6 классе можно решать с обучающимися уравнения вида |кх+в|=а, к|х|+в=к1|х|+в1. При изучении линейной функции в 7 классе целесообразно рассмотреть построение графиков, аналитическое выражение которых содержит знак модуля, например, у= к|х|+в, у=|кх+в|, у=|к|х|+в| и т.д. Также имеется возможность рассматривать уравнения вида    |к|х|+в|=с,     |кх+в|=ах+с, а также некоторые системы уравнений. В 8 классе при изучении свойств арифметического квадратного корня находит свое приложение понятие модуля: √а2=|а|, √ав=√|а|√|в|, где ав≥0, а также приложения понятия абсолютной величины распространяются на квадратные уравнения, график квадратичной функции и др. В 10-11 классах решение уравнений, неравенств и построение графиков с модулем рассматриваются для тригонометрических, степенных, показательной и логарифмической  функций.

Для более глубокого изучения данного вопроса я разработала программу факультативного курса «Модуль числа», где рассматриваются уравнения и неравенства с модулем, построение графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины. В данной статье я рассматриваю основные виды уравнений с модулем и методы их решения.  

Уравнения с модулем:

1. Уравнения вида  |f(х)|=а, где а≥0

По определению абсолютной величины, данное уравнение распадается на совокупность двух уравнений: f(х)=а, и f(х)=-а, все решения которой являются решениями данного уравнения.

            Пример 1. Решить уравнение: |х-3|=4.

По определению модуля имеем совокупность уравнений: х-3=4, х-3=-4. Откуда имеем х1=7; х2=-1.

            Пример 2. Решить уравнение: |sin х+cos x|=1.

Решению подлежат два уравнения: sin х+cos x=1и sin х+cos x= -1. После преобразования получим:

cos(x-)=и cos(x-)=-. Следовательно, х1= х2=или                       х= 

2. Уравнения вида:  f (|х|)=а.

По определению абсолютной величины данное уравнение распадается на совокупность двух смешанных систем:

f(х)=а,

х≥0.

f(-х)=а,

х≤0.

В силу четности функции  у=f(|х|)-а ее корни будут существовать парами противоположных чисел. Следовательно, достаточно решить одну из этих систем и добавить противоположные решения.

Пример. Решить уравнение: х2-|х|=6.

х2-х=6,

х≥0.

х2+х=6,

х≤0.

х2-х=6. Корни уравнения: х1=-1(посторонний корень), х2=3(удовлетворяет условию х≥0). Следовательно, корнями данного уравнения являются числа 3 и -3.  

3. Уравнения вида |к1х+в1|+|к2х+в2|+…+|кпх+вп|=а.

Для решения  уравнений, в которых два и более модулей, лучше использовать метод интервалов. Для применения метода интервалов числовую ось надо разбить на промежутки так, чтобы на каждом из них подмодульные выражения сохраняли постоянные знаки и, следовательно, на каждом промежутке все модули раскрывались определенным образом. Алгоритм решения выглядит следующим образом: найдем абсциссы точек перелома графика функции – левой части уравнения, т.е. х1=-; х2=-; …;хп=-, пусть х1<х2<…<хп. Данное уравнение рассмотрим отдельно на промежутках: (-∞; х1);[ х1;х2); [х2;х3);…;[хп; +∞). Раскрыв модуль, на каждом промежутке получим некоторое линейное уравнение. Найдем его корень. Если он принадлежит рассматриваемому промежутку, то является корнем данного уравнения. В противном случае является посторонним корнем.

4. Уравнения вида |f(х)|= g(х).

Данное уравнение распадается на совокупность двух систем:

f(х)= g(х),

g(х)≥0.

f(х)= - g(х),

g(х)≥0.

Пример. Решить уравнение: |2х-3|=х-1.

2х-3= х-1,

х-1≥0.

2х-3=1-х,

х-1≥0

Решив совокупность данных систем имеем: х1=2; х2=.

5. Уравнения вида:  f (|х|)=g(х).

Данное уравнение равносильно совокупности систем:

f(х)= g(х),

х≥0.

f(-х)= g(х),

х<0.

Пример. Решить уравнение: 9х2-18|х|+5=0.

9х2-18х+5=0,

х≥0.

9х2+18х+5=0,

х<0.

Ответ: х1= - ; х2= - ; х3=  ; х4=  .

6. Уравнения вида: |f(х)|= |g(х)|.

Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:

        f(х)= g(х),

        f(х)= -g(х).

Пример. Решить уравнение:  |х2-8х+5|= |х2-5|.

        х2-8х+5= х2-5,

        х2-8х+5= -х2+5.

Ответ: х1= 0; х2= 1;  х3= 4.