Учебно-методическое пособие по дисциплине «Элементы высшей математики»
учебно-методическое пособие по математике

Министерство инноваций, цифрового развития и инфокоммуникационных технологий Республики Саха (Якутия)

Государственное автономное профессиональное

образовательное учреждение РС (Я)

«Якутский колледж связи и энергетики им. П. И. Дудкина»

Учебно-методическое пособие по дисциплине

«Элементы высшей математики»

для специальности:

09.02.07 «Информационные системы

и программирование»

2022г.

 Содержание

Пояснительная записка                                                                                3

1. Лекция № 1. Матрицы. Действия с матрицами                                                4
2. Лекция № 2. Определители                                                                        7
3. Лекция № 3. Нахождение обратной матрицы                                                12
4. Лекция № 4. Системы линейных уравнений                                                17
5. Лекция № 5. Прямая линия на плоскости                                                        25
6. Лекция № 6. Кривые второго порядка                                                        31
7. Лекция № 7. Комплексные числа                                                                39
8. Лекция № 8. Предел функции                                                                48
9. Лекция № 9. Непрерывность функции и ее разрывы                                        60
10. Литература                                                                                        69

Пояснительная записка

«Элементы высшей математики» - обязательная дисциплина в цикле естественно научных дисциплин, она является одним из основных средств познания.

Представленные лекции составлены в соответствии с рабочей программой по дисциплине «Элементы высшей математики».

Анализируя программу, учебники, методические пособия, дидактические материалы, научную литературу и учитывая, уровень подготовки студентов по математике был отобран необходимый материал и составлены данные лекции.

Основной задачей данного цикла лекций является обеспечение студентов необходимым теоретическим материалом для усвоения таких тем, как матрицы и действия с ними, определители и правила их вычисления, прямая линия на плоскости, кривые второго порядка, комплексные числа, предел и непрерывность функции.

В конце каждой лекции даны вопросы для самопроверки, которые позволяет проверить уровень усвоения предложенного материала.

Лекции предназначены для студентов второго курса среднего профессионального образования, очной формы обучения по специальности 09.02.07 «Информационные системы и программирование»

Лекция № 1. Матрицы. Действия с матрицами.

1. Основные понятия.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая т строк одинаковой длины(или п столбцов одинаковой длины). Матрица записывается виде:

или, сокращённо, А = (аi j), где i =1, т (т.е. i = 1,2,3,…,т) – номер строки, j = 1,п (т.е. j = 1,2,3,…,п) – номер столбца.

Матрица А называют матрицей размера т х п и пишут Ат х п. Числа ai j,составляющие матрицу называются её элементами. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего левого угла, образуют главную диагональ.

Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц, т.е.

     A = B, если ai j = bi j ,  где i = 1,m,  j = 1, n.     

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера п х п называют матрицей п-го порядка.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой Е.

Пример 1.1

      единичная матрица 3-го порядка.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Обозначается буквой О. Имеет вид:

В матричном исчислении матрицы О и Е играют роль чисел 0 и 1 в арифметике.

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (или вектор-столбец, или вектор-строка соответственно). Их вид:

Матрица размера 1 х 1, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т.е. (5)1х1 есть 5.

Матрица, полученная из данной заменой каждой её строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается АТ.

Транспонированная матрица обладает следующим свойством: (АТ) = А.

1.2. Действия над матрицами.

Сложение:

Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.

Суммой двух матриц Атхп = (ai j) и Вт хп = (bi j) называется матрица Сm x n = (ci j) такая, что сij = аi j + bi j  (i = 1,m, j = 1,n). Записывают С = А + В.

Пример 1.2.    

Аналогично определяется разность матриц.

Умножение на число:

Произведением матрицы Ат хп = (аi j) на число k называется матрица Втхп = (b i j) такая, что bi j = k*ai j (i = 1,m, j = 1,n). Записывают В = k * A.

Пример 1.3.       

Матрица – А = (-1) * А называется противоположной матрице А.

Разность матриц А – В можно определить так: А – В = А + (-В).

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:

1. А + В = В + А;                                     5. 1 * А = А;
2. А + (В + С) = ( А + В) + С;                 6. α* (А + В) = αА + αВ;
3. А + О = А;                                            7. (α + β) * А = αА + βВ;
4. А – А = О;                                             8.α * (βА) = (αβ) * А,

Где А, В, С – матрицы, α и β – числа.

Элементарные преобразования матриц:

Элементарными преобразованиями матриц являются:

• Перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;
• Умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;
• Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается  А ~ В.

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю. Такую матрицу называют канонической, например

Пример 1.4. Привести к каноническому виду матрицу

Решение: Выполняя элементарные преобразования, получаем

Произведение матриц:

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведением матрицы Ат хп = (аi j) на матрицу Вп х р = (bj k) называется матрица Ст хр = (сj k) такая, что c ik = ai1* b1k + ai2 * b2k + …+ ainbnk , где i = 1,m, k = 1,p,

Т.е элемент i-й строки и k-го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В. Получение элемента сij схематично изображается так

                 ●   ●   ●                      ●   ●   ●   ●   ●

                 ●   ●   ●     i                ●   ●   ●   ●   ●

                 ●   ●   ●                      ●   ●   ●   ●   ●

Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А * Е = Е * А = А, где А – квадратная матрица, Е – единичная матрица того же размера.

Пример 1.5

Пример 1.6.   . Тогда произведение А * В не определено,так как число столбцов матрицы А(3) не совпадает с числом строк матрицы В(2). При этом определено произведение В х А, которое считают следующим образом:

Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ = ВА.

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

1. А * (В*С) = (А*В) * С;                    3. (А + В) * С = АС + ВС;
2. А * (В+С) = АВ + АС;                      4. α(АВ) = (αА)В,

Если, конечно, написанные суммы и произведения матриц имеют смысл.

Для операции транспонирования верны свойства:

1. (А + В)Т = АТ + ВТ;              2. (АВ)Т = ВТ * АТ.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Что называется матрицей?
2. Какие матрицы называются равными?
3. Какая матрица называется единичной?
4. Какая матрица называется транспонированной к данной?
5. Какие действия можно выполнять над матрицами?
6. Перечислите элементарные преобразования матриц.
7. Всегда ли выполнимо действие умножения двух матриц?
8. Перечислите свойства, которыми обладает умножение матриц.

Лекция № 2. Определители.

2.1. Основные понятия.

Квадратной матрице А порядка п можно сопоставить число det A (или |A|, или ∆), называемое ее определителем, следующим образом:

1.   п = 1. А = (а1); det A = a1.
2.  

Определитель матрицы А также называют ее детерминантом. Правило вычисления детерминанта для матрицы порядка N является довольно сложным для восприятия и применения. Однако известны методы, позволяющие реализовать вычисление определителей высоких порядков на основе определителей низших порядков. Один из методов основан на свойстве разложения определителя по элементам некоторого ряда. При этом заметим, что определители невысоких порядков(1,2,3) желательно уметь вычислять согласно определению.                                                                      

Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой:

●   ●            ●   ●           ●   ●

●   ●            ●   ●           ●   ●                              

Пример 2.1. Найти определители матриц     и

Решение:    

При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников (или Саррюса), которое символически можно записать так:

●   ●   ●            ●   ●   ●            ●   ●   ●

●   ●   ●     =     ●   ●   ●     -     ●   ●   ●

●   ●   ●            ●   ●   ●            ●   ●   ●

Пример 2.2.  Вычислить определитель матрицы

Решение:

det А = 5 * 1 * (-3) + (-2) * (-4) * 6 + 3 * 0 * 1 – 6 * 1 * 1 – 3 * (-2) * (-3) – 0 * (-4) * 5 = -15 + + 48 – 6 – 18 = 48 – 39 = 9.

2.2. Свойства определителей.

Сформулируем основные свойства определителей, присущие определителем всех порядков, некоторые из этих свойств поясним на определителях 3-го порядка.

Свойство 1(«Равноправность строк и столбцов»). Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

Иными словами,    

В дальнейшем строки и столбцы будем просто называть рядами определителя.

Свойство 2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

Свойство 3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

Свойство 4. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен нулю.

Действительно,  

Свойство 5. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

Например,        

Свойство 6 («Элементарные преобразования определителя»). Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда умноженные на любое число.

Пример 2.3.  Доказать, что      

Решение: Действительно, используя свойства 5, 4 и 3, получим

Дальнейшие свойства определителей связаны с понятиями минора и алгебраического дополнения.

Минором некоторого элемента аij определителя п-го порядка называется определитель п – 1-го порядка, полученный из исходного путём вычёркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается тij.

Алгебраическим дополнением элемента аij определителя называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма i + j – чётное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечётная. Обозначается Аij: Аij = (-1)i + j * mij.

Так, А11 = +т11, А32 = -т32.

Свойство 7 («Разложение определителя по элементам некоторого ряда»). Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.

Проиллюстрируем и одновременно докажем свойство 7 на примере определителя 3-его порядка. В этом случае свойство 7 означает, что

В самом деле, имеем                        

Свойство 7 содержит в себе способ вычисления определителей высоких порядков.

Пример 2.4.  Вычислите определитель матрицы

Решение: Для разложения определителя обычно выбирают тот ряд, где есть нулевые элементы, т.к. соответствующие им слагаемые в разложении будут равны нулю.

Свойство 8. Сумма произведений элементов какого- либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

Так, например, а11А21 + а12А22 + а13А23 = 0.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Сформулируйте правило вычисления определителя второго порядка.
2. Сформулируйте правила вычисления определителя третьего порядка.
3. Перечислите свойства определителей.
4. Дайте определение минора некоторого элемента определителя.
5. Дайте определение алгебраического дополнения элемента определителя.

Лекция № 3. Нахождение обратной матрицы.

1. Основные понятия.

Пусть А – квадратная матрица п-го порядка

Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель ∆ = det А не равен нулю: ∆ = det А = 0. В противном случае (∆ = 0) матрица А называется вырожденной.

Матрицей, союзной к матрице А, называется матрица

где Аij – алгебраическое дополнение элемента аij данной матрицы А (оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя).

Матрица А-1 называется обратной матрице А, если выполняется условие

А * А-1 = А-1 * А = Е,

где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Матрица А-1 имеет те же размеры, что и матрица А.

1. Обратная матрица.

Теорема 3.1. Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Проведём доказательство для случая матрицы 3-го порядка. Пусть

Составим союзную матрицу

и найдём произведение матриц А и А*:

Здесь мы использовали свойства 7 и 8 определителей.

Аналогично убеждаемся, что

                      А* * А = det А * Е.

Равенства (3.2) и (3.3) перепишем в виде

            А * (А*/ det A) = Е   и   (А*/ det А) * А = Е.

Сравнивая полученные результаты с определением (3.1), получаем

Отметим свойства обратной матрицы:

1. det (А-1) = 1 / det А;
2. (А * В)-1 = В-1 * А-1;
3. (А-1)Т = (АТ)-1 .

Пример 3.1. Найти А-1, если А=

Решение: 1) Находим det А:

2) Находим А*: А11 = 1, А21 = -3, А12 = - (-1) = 1, А22 = 2, поэтому

3) Находим А-1:

Проверка:      

Пример 3.2. Определить, при каких значениях α существует матрица, обратная данной.

                                         .

Решение: Всякая невырожденная матрица имеет обратную. Найдём определитель матрицы А:

Если 4α – 9 = 0, т.е. α = 9/4, то ∆А = 0, т.е. матрица А невырожденная, имеет обратную.

Пример 3.3. Показать, что матрица А является обратной для В, если

Решение: Найдём произведение матиц А и В:

Аналогично В * А = Е. Следовательно, матрица А является обратной для В.

3. Ранг матрицы.

Рассмотрим матрицу А размера т х п.

Выделим в ней к строк и к столбцов (к ≤ min(т;п)). Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель к-го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы. В матрице А пунктиром выделен минор 2-го порядка. (Заметим, что таких миноров можно составить Скм * Скм штук, где  Скп = п! / к!(п – к)! – число сочетаний из п элементов по к.)

Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается r, r(A) или rang A.

Очевидно, что 0 ≤ r ≤ min(m;n), где min (m;n) – меньшее из чисел т и п.

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Пример 3.4. Найти ранг матрицы:

Решение: Все миноры 3-го порядка равны нулю. Есть минор 2-го порядка, отличный от нуля    3   6    = -15 ≠ 0. Значит, r(A) = 2. Базисный минор стоит на пересечении 2 и 3

1  -3

строки с 1 и 3 столбцами.

Отметим свойства ранга матрицы:

1. При транспонировании матрицы её ранг не меняется.
2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.
3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диагонали. На этом основан один из способов вычисления ранга матрицы.

Пример 3.5. Найти ранг матрицы      

используя результаты примера 1.4.

Решение: В примере 1.4 показано, что  

То есть      

Таким образом, ранг матрицы А равен r(А) = 2.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Какая квадратная матрица называется невырожденной (вырожденной)?
2. Какая матрица называется обратной данной?
3. Любая ли матрица имеет обратную?
4. Как проверить, правильно ли найдена обратная матрица?
5. Перечислите свойства обратной матрицы.
6. Что называется рангом матрицы?
7. Перечислите свойства ранга матрицы?

Лекция № 4. Системы линейных уравнений.

1.  Основные понятия.

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей т уравнений и п неизвестных, называется система вида:

где числа аij , i = 1,т , j =1,п называются коэффициентами системы, числа bi – свободными членами. Подлежат нахождению числа хп.

Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме      А * Х = В.

Здесь А – матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей:

Произведение матриц А * Х определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице Х (п штук).

Расширенной матрицей системы называется матрица  системы, дополненная столбцом свободных членов    

Решением системы  называется п значений неизвестных х1 = с1 , х2 = с2 , … , хп = сп , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верными равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместимой, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое её решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти её общее решение.

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.

Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

Однородная система всегда совместна, так как х1 = х2 = … = хп = 0 является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.

1.  Решение систем линейных уравнений.

Теорема Кронекера-Капелли:

Пусть дана произвольная система т линейных уравнений с п неизвестными

Исчерпывающий ответ на вопрос о совместимости этой системы даёт теорема Кронекера-Капелли.

Теорема 4.1. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

Примем её без доказательства.

Правила практического разыскания всех решений совместной системы линейных уравнений вытекают из следующих теорем.

Теорема 4.2. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема 4.3. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Правило решения произвольной системы линейных уравнений.

1. Найти ранги основной и расширенной матриц системы. Если r(А) ≠ r(А), то система несовместна.
2. Если r(А) = r(А) = r, система совместна. Найти какой-либо базисный минор порядка r (напоминание: минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным). Взять r уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные уравнения отбросить). Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называют главными  и оставляют слева, а остальные п – r неизвестных называют свободными и переносят в правые части уравнений.
3. Найти выражения главных неизвестных через свободные. Получено общее решение системы.
4. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения главных неизвестных. Таким образом можно найти частные решения исходной системы уравнений.

Пример 4.1. Исследовать на совместность систему

Решение:  

Таким образом,  , следовательно, система несовместна.

Пример 4.2. Решить систему

Решение: . Берём два первых уравнения:

Следовательно, х3 = -х1 + 2х2 , х4 = 1 – общее решение. Положив, например, х1 = 0, х2 = 0, получаем одно из частных решений: х1 = 0, х2 = 0, х3 = 0, х4 = 1.

3. Решение невырожденных линейных систем.

Пусть дана система п линейных уравнений с п неизвестными

или в матричной форме А * Х = В.

Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы

называется определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.

Найдём решение данной системы уравнений в случае ∆ ≠ 0.

Умножив обе части уравнения А * Х = В  слева на матрицу А-1 , получим А-1 * А * Х = А-1 * В. Поскольку А-1 * А = Е и Е * Х = Х, то  Х = А-1 * В.

Отыскание решения системы по формуле (4.1) называют матричным способом решения системы.

Матричное равенство (4.1) запишем в виде

,

то есть

Отсюда следует, что

                      х1 = ( А11b1 + А21b2 + … +Апbп) / ∆ ,

                     ……………………………………………

                     хп = (А1пb1 + А2пb2 + … + Аппbп) / ∆ .

Но А11b1 + A21b2 + … + Aп1b1 есть разложение определителя

по элементам первого столбца. Определитель ∆1 получается из определителя ∆ путём замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.

Итак, х1 = ∆1 / ∆.

Аналогично: х2 = ∆2 / ∆, где ∆2 получен из ∆ путём замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов; х3 = ∆3 / ∆, … , хп = ∆п / ∆.

Формулы         хi = ∆i / ∆, i = 1,n

называются формулами Крамера.

Итак, невырожденная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет единственное решение, которое может быть найдено матричным способом (4.1) либо по формулам Крамера (4.2).

Пример 4.3. Решить систему    

Решение:

Значит, 

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Какой вид имеет система линейных алгебраических уравнений?
2. Как записать систему линейных алгебраических уравнений в матричной форме?
3. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.
4. Какая система уравнений называется совместной (несовместной)?
5. Что значит решить систему линейных алгебраических уравнений?
6. Сформулируйте правила решения произвольной системы линейных алгебраических уравнений.
7. Сформулируйте правила решения систем с помощью обратной матрицы.
8. Сформулируйте правила решения систем методом определителя (формулы Крамера).

Лекция № 5. Прямая линия на плоскости.

5.1. Уравнение прямой на плоскости.

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2 ≠ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

• C = 0, А ≠ 0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат
• А = 0, В ≠ 0, С ≠ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох
• В = 0, А ≠ 0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу
• В = С = 0, А ≠ 0 – прямая совпадает с осью Оу
• А = С = 0, В ≠ 0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

5.2. Уравнение прямой по точке и вектору нормали.

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).

Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А.

Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.

5.3. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть на плоскости заданы две точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.

Записанное выше уравнение прямой упрощается:

если х1 ≠ х2  и х = х1, еслих1 = х2. Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Применяя записанную выше формулу, получаем:

5.4. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

5.5. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.

Определение. Каждый ненулевой вектор (α1, α2), компоненты которого удовлетворяют условию Аα1 + Вα2 = 0 называется направляющим вектором прямой

Ах + Ву + С = 0.

Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям: 1⋅A + (-1)⋅B = 0, т.е.   А = В.

Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C/A = 0.

при х = 1, у = 2 получаем С/A = -3, т.е. искомое уравнение: х + у - 3 = 0

5.6. Уравнение прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С ≠ 0, то, разделив на –С, получим: или , где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках. С = 1, ,       а = -1,   b = 1.

5.7. Нормальное уравнение прямой.

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем, то получим

xcosϕ + ysinϕ - p = 0 – нормальное уравнение прямой.

Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ⋅С < 0.

р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а ϕ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Пример. Дано общее уравнение прямой 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой.

уравнение этой прямой в отрезках:

уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)

нормальное уравнение прямой:

;          cosϕ = 12/13; sinϕ = -5/13; p = 5.

Cледует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.

Пример. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см2.

Уравнение прямой имеет вид: ,           a = b = 1;     ab/2 = 8;          a = 4; -4.

a = -4 не подходит по условию задачи.

Итого:    или х + у – 4 = 0.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат. Уравнение прямой имеет вид: , где х1 =  у1 = 0;  x2 = -2; y2 = -3.

Для самостоятельного решения: Составить уравнения прямых, проходящих через точку М(-3, -4) и параллельных осям координат.

Ответ: { x + 3 = 0;   y + 4 = 0}.

5.8. Угол между прямыми на плоскости.

Определение. Если заданы две прямые y = k1x + b1,  y = k2x + b2, то острый угол между этими прямыми будет определяться как

.

Две прямые параллельны, если k1 = k2.

Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/k2.

Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А1х + В1у + С1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А1 = λА,  В1 = λВ. Если еще и С1 = λС, то прямые совпадают.

Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы двух уравнений.

5.9. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой.

Определение. Прямая, проходящая через точку М1(х1, у1) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:

5.10. Расстояние от точки до прямой.

Теорема. Если задана точка М(х0, у0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

.

Доказательство. Пусть точка М1(х1, у1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М1:

                                                                                                (1)

Координаты x1 и у1 могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М0 перпендикулярно заданной прямой.

Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x0) + B(y – y0) + Ax0 + By0 + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

.         Теорема доказана.

Пример. Определить угол между прямыми: y = -3x + 7;  y = 2x + 1.

K1 = -3;   k2 = 2          tgϕ = ;   ϕ = π/4.

Пример. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.

Находим: k1 = 3/5,    k2 = -5/3,  k1k2 = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.

Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Находим уравнение стороны АВ: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.

k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .

Ответ: 3x + 2y – 34 = 0.

Для самостоятельного решения: Даны стороны треугольника x + y – 6 = 0,

3x – 5y + 15 = 0, 5x – 3y – 14 = 0. Составить уравнения его высот.

Указание: Сначала следует найти координаты вершин треугольника, как точек пересечения сторон, затем воспользоваться методом, рассмотренном в предыдущем примере.

Ответ: {x – y = 0; 5x + 3y – 26 = 0; 3x + 5y – 26 = 0}.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Дайте определение уравнения линии на плоскости.
2. Напишите общее уравнение прямой.
3. Укажите различные случаи положения прямой относительно осей координат и соответствующие им уравнения.
4. Как проверить, лежит ли данная  точка на данной прямой?
5. Что называется углом наклона прямой?
6. Что называется угловым коэффициентом прямой, каков его геометрический смысл?
7. Чему равен угловой коэффициент прямой, параллельно оси Ox?
8. Напишите уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
9. Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки, общее уравнение прямой.
10. Напишите формулу тангенса угла между двумя прямыми.
11. Сформулируйте условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
12. Как определить точку пересечения двух прямых?
13. В чем состоит геометрический смысл неравенства первой степени с двумя неизвестными?
14. В чем состоит геометрический смысл системы неравенств первой степени с двумя неизвестными?

Лекция № 6. Кривые второго порядка.

Кривая второго порядка может быть задана уравнением

Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.

1.  - уравнение эллипса.
2.  - уравнение “мнимого” эллипса.
3.  - уравнение гиперболы.
4. a2x2 – c2y2 = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.
5. y2 = 2px – уравнение параболы.
6. y2 – a2 = 0 – уравнение двух параллельных прямых.
7. y2 + a2 = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.
8. y2 = 0 – пара совпадающих прямых.
9. (x – a)2 + (y – b)2 = R2 – уравнение окружности.

6.1. Окружность.

Определение. Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра).

В окружности (x – a)2 + (y – b)2 = R2  центр имеет координаты (a; b).

Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде:

2x2 + 2y2 – 8x + 5y – 4 = 0.

Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к виду, указанному выше в п.9. Для этого выделим полные квадраты:

x2 + y2 – 4x + 2,5y – 2 = 0

x2 – 4x + 4 –4 + y2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x – 2)2 + (y + 5/4)2 – 25/16 – 6 = 0

(x – 2)2 + (y + 5/4)2 = 121/16

Отсюда находим О(2; -5/4);   R = 11/4.

6.2. Эллипс.

Определение. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.

Уравнение эллипса имеет вид:

Определение. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

                                                у

                                                        М

                                                   r2           r1

                                  F2           O         F1                       х

F1, F2 – фокусы.   F1 = (c; 0);    F2(-c; 0)

с – половина расстояния между фокусами;

a – большая полуось;

b – малая полуось.

Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:

a2 = b2 + c2.

Доказательство:   В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, r1 + r2 = 2(по теореме Пифагора). В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с горизонтальной осью, r1 + r2 = a – c + a + c. Т.к. по определению сумма r1 + r2 – постоянная величина, то , приравнивая, получаем:

a2 = b2 + c2

r1 + r2 = 2a.

Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом.

Е = с/a.

Т.к. с < a, то е < 1.

Определение. Величина k = b/a называется коэффициентом сжатия эллипса, а величина 1 – k = (a – b)/a называется сжатием эллипса.

Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k2 = 1 – e2.

Если a = b (c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.

Если для точки М(х1, у1) выполняется условие: , то она находится внутри эллипса, а если  , то точка находится вне эллипса.

С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами. Их уравнения:

x = a/e;   x = -a/e.

Теорема. Для того, чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету е.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением:

1. Координаты нижней вершины: x = 0; y2 = 16;  y = -4.
2. Координаты левого фокуса: c2 = a2 – b2 = 25 – 16 = 9;  c = 3;  F2(-3; 0).
3. Уравнение прямой, проходящей через две точки:

Пример. Составить  уравнение эллипса, если его фокусы F1(0; 0), F2(1; 1), большая ось равна 2.

Уравнение эллипса имеет вид: . Расстояние между фокусами:

2c = , таким образом, a2 – b2 = c2 = ½

по условию 2а = 2, следовательно, а = 1, b =  

Итого: .

6.3. Гипербола.

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, равная 2а, меньшая расстояния между фокусами.

По определению ⎪r1 – r2⎪= 2a.  F1, F2 – фокусы гиперболы. F1F2 = 2c.

                                                y

                                                                                   M(x, y)

                                                 b

                                                       r1

                                                                            r2

                                                                                        x

                                F1                                      a        F2

                                        c

Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда:

обозначим с2 – а2 = b2 (геометрически эта величина – меньшая полуось)

Получили каноническое уравнение гиперболы.

Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.

Ось 2а называется действительной осью гиперболы.

Ось 2b называется мнимой осью гиперболы.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

Определение. Отношение называется  эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.

С учетом того, что с2 – а2 = b2:

Если а = b, e =  , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).

Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: .

Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d – величина постоянная, равная эксцентриситету.

Пример. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих вершинах и фокусах эллипса .

Для эллипса: c2 = a2 – b2.

Для гиперболы: c2 = a2 + b2.

Уравнение гиперболы: .

Пример. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением

Находим фокусное расстояние c2 = 25 – 9 = 16.

Для гиперболы: c2 = a2 + b2 = 16,         e = c/a = 2;          c = 2a;          c2 = 4a2;      a2 = 4;

b2 = 16 – 4 = 12.

Итого:  - искомое уравнение гиперболы.

6.4. Парабола.

Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.

                                             у

                               А                             М(х, у)

                                           О              F                                        x

                                    p/2            p/2

Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы. Выведем каноническое уравнение параболы.

Из геометрических соотношений:  AM = MF;  AM = x + p/2;

MF2 = y2 + (x – p/2)2

(x + p/2)2 = y2 + (x – p/2)2

x2 +xp + p2/4 = y2 + x2 – xp + p2/4

y2 = 2px

Уравнение директрисы: x = -p/2.

Пример. На параболе у2 = 8х найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4.

Из уравнения параболы получаем, что р = 4.

r = x + p/2 = 4; следовательно:

x = 2;  y2 = 16;   y = ±4.  Искомые точки: M1(2; 4),  M2(2; -4).

Пример. Дана парабола у2 = 6х. Составить уравнение ее директрисы и найти ее фокус.

Сравнивая данное уравнение с каноническим уравнением параболы, видим, что 2p=6,  p = 3. Так как уравнение директрисы имеет уравнение х = , а фокус – координаты  , то для рассматриваемого случая получим уравнение директрисы   х =  и фокус F.

Ответ:х = , F.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Дайте определение линии второго порядка.
2. Какие линии второго порядка вы знаете?
3. Выведите уравнение окружности с центром в точке  и радиусом .
4. Дайте определение эллипса.
5. Какую форму имеет эллипс? Укажите на рисунке и назовите его основные элементы.
6. Что представляет собой эллипс, если его полуоси равны?
7. Дайте определение параболы.
8. Какую форму имеет парабола, определяемая уравнением , или ? Как влияют параметры  и  на форму параболы?
9. Что представляет собой на графике в системе координат Ox линия, заданная уравнением ?
10. Дайте определение гиперболы.
11. Какую форму имеет гипербола? Укажите на рисунке и назовите ее основные элементы.
12. Напишите уравнения асимптот гиперболы.
13. Напишите уравнение равносторонней гиперболы, асимптотами  которой являются оси координат.
14. Приведите примеры использования уравнений линий второго порядка для изучения конкретных зависимостей.

Лекция № 7. Комплексные числа.

Знакомство с курсом мы начнем с некоторых исторических событий, которые послужили причиной появления нового, пока неизвестного для Вас класса чисел - комплексных.

В Х веке в Италии были распространены математические турниры, на которых участники в присутствии публики излагали решения задач, предложенных ранее каждому его противником. Как известно, в то время это был не единственный из видов турниров - в те времена cохранялись еще военные  турниры, на одном из таких турниров в 1547 году был смертельно ранен французский король Генрих Валуа. Итак, 12 февраля 15З5 года  Италии состоялось математическое соревнование между математиками  Фиоре и Тартальей. Фиоре был учеником профессора болонского университета, Сципиона дель Ферро (1456 -1526), Никкола  Тарталья (1500 - 1557) - преподаватель математики. Тарталья (заика) - его прозвище (настоящая фамилия - Фонтана), .которое он получил из-за того, что после военного ранения в горло он не мог сва6одно разговаривать. Тарталье было предложено решить около 30 алгебраических уравнений третьей степени вида х3+ах=b; а>0; b>0. В те времена не были известны общие формулы решения уравнений третьей степени, поэтому задачи, предложенные Тарталье, оказались весьма серьезными .Однако, как узнал Тарталья, профессор  дель Ферро умел решать некоторые уравнения указанного вида. А поскольку эти решения были средством конкурентной борьбы, профессор не стал публиковать полученные результаты, но сообщил их своим ученикам, в числе которых находился  Фиоре. 3а неделю до соревнований Тарталье удалось найти общий вид решения  этих уравнений и с блеском победить на турнире. Так что же предложил Тарталья? Если допустить (предположить), что существует некоторая мнимая единица (обозначим ее i), квадрат которой равен минус 1, т.е.i2, то можно говорить о числе решений уравнения х2 + 1 = 0, их будет два ± i. Таким образом, класс действительных чисел был расширен введением в него одного элемента - мнимой единицы, в результате чего получили новый класс чисел - комплексных, которые обозначают латинской буквой С. Сегодня, когда во многих разделах математики и ее приложений невозможно ограничиться рассмотрением лишь действительных чисел, комплексные числа позволяют решать многие серьезные задачи.

Одному из создателей дифференциального и интегрального исчислений, немецкому математику Г. Лейбницу (1546 - 1715) принадлежат такие слова: «Комплексное число - это тонкое и поразительное  средство 6ожественного духа, почти амфибия между бытием и небытием». Сейчас от всей этой мистики не осталась ничего, кроме, пожалуй, названия «мнимые числа». Уже во времена К. Гаусса (1777 - 1855) было дано геометрическое истолкование комплексных чисел как точек плоскости. Трудами выдающихся математиков ХIХ века О. Коши, В. Римана, К. Вейерштрасса на базе комплексных чисел было построена одна из самых красивых математических дисциплин - теория функций комплексной переменной.

Рассмотрим основные определения этого класса чисел и выясним, как  выполняются действия над  комплексными числами.

Определение. Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:

При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z).

Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.

Определение. Числа  и называются комплексно – сопряженными.

Определение. Два комплексных числа  и  называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:

Определение. Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.

7.1. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.

Сложение и вычитание

Рассмотрим два комплексных числа, заданных в общем виде

z1 = a1+ib1;  z2=a2+ib2

тогда

Можно сформулировать правило сложения  и вычитания комплексных чисел: при сложении (вычитании) комплексных чисел соответственно складываются (вычитаются) их действительные и мнимые части.

Умножение

z=z1z2=(a1+ib1)(a2+ib2) =a1a2+ia1b2+ib1a2+i2b1b2=a+ib

z=z1z2=(a1a2-b1b2)+ i (a1b2+b1a2)

( т.е. можно говорить,  что перемножаются комплексные числа как многочлены, учитывая, что i2 = -1). Значит, чтобы перемножить два комплексных числа необходимо перемножить их как многочлены, учитывая, что i2 = -1.

Деление

При выполнении деления комплексных чисел пользуются искусственным приёмом: числитель и знаменатель дроби умножают на число, комплексно - сопряженное знаменателю дроби, и поступают далее так, как и при умножении комплексных чисел.

Пример.

z1= 5-i;                

z2=-2+3i;  

Введенные нами операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами:

1) Переместительное свойство:

z1+z2=z2+z1;

z1*z2=z2*z1;

2) Сочетательное свойство:

(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3 )

(z1*z2)*z3 = z1 *(z2*z3)

3) Распределительное свойство:

z1*(z2 + zз) = z1*z2 + z1*z3

4) Для любого комплексного числа существует число ему противоположное, такое, что z + (- z) = 0.

Возведение в степень

Согласно определению степени числа, необходимо это число умножить на  себя столько раз, каков показатель степени числа. Эти правила вам известны из курса средней школы. Они же остаются справедливыми и для комплексных чисел. С одной лишь разницей в том,  что основанием степени здесь выступает не одночлен, а двучлен. Для показателей степени 2 и 3 существуют формулы, известные вам как формулы сокращённого умножения: квадрат суммы (разности); куб суммы (разности); разность (сумма) кубов. Убедимся, как  можно возводить комплексное число в степень, пользуясь формулами сокращенного умножения.

Найти куб разности комплексного числа:

(3–2i)3 = 33-3*32*2i+3*3*(2i)2  – i3 =27-54i+ 36i2- i3=-9-54i+i=-9-54i-i*i2=-9-54i+i=-9-53i

При выполнении этого действия мы учли, что

i2 =-1;

i3=i*i2=i*(-1) =-i

Если же нам необходимо, например, найти (2+5i)21, то cогласно определению степени мы должны эту скобку умножить саму на себя 21 раз, что очень трудоёмко. Поэтому прибегают к другой форме записи числа – тригонометрической и в ней выполняют это действие. Но об этом мы поговорим немного позже.

Извлечение корня из комплексного числа

Т. к. комплексное число в алгебраической форме имеет вид z=a+ib; то  извлекать из него корень какой - либо степени мы не можем, т.к. нельзя извлечь корень из суммы.

Таким образом, подводя итог действиям над комплексными числами в алгебраической форме, заключаем, что извлекать корень любой степени из комплексных чисел в алгебраической форме нельзя; возводить в любую степень можно, но если показатель степени больше 3, то рациональнее перевести число в тригонометрическую форму и возводить в степень число в этой форме. Все остальные действия выполняются по ранее отмеченным правилам.

Беседуя о комплексных  числах, необходимо отметить такое важное понятие, как цикличность мнимой единицы. Заключается оно в следующем:

i2= –1(определение);

i3=i*i2=i (-1)=-i;

i4 = i2*i2 =(-1)*(-1) =1;

i5=i*i4=i*1=i.

7.2. Геометрическое изображение комплексных чисел.

Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел.

Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью.

                                       у

                                                        A(a, b)

                                               r                   b

                                                ϕ

                                      0                a                             x

Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY – чисто мнимые.

С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.

7.3. Тригонометрическая форма числа.

Из геометрических соображений видно, что . Тогда комплексное число можно представить в виде:

Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона ϕ - аргументом комплексного числа.

.

Из геометрических соображений видно:

Очевидно, что комплексно – сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы.

7.4. Действия с комплексными числами в тригонометрической форме.

,

Умножение

В случае комплексно – сопряженных чисел:

Деление

Возведение в степень

Из операции умножения комплексных чисел следует, что

В общем случае получим:

,

где n – целое положительное число.

Это выражение называется формулой Муавра. (Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик).

Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов.

Пример. Найти формулы sin2ϕ и cos2ϕ.

Рассмотрим некоторое комплексное число

Тогда с одной стороны .

По формуле Муавра: .

Приравнивая, получим .

Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то

Получили известные формулы двойного угла.

Извлечение корня из комплексного числа

Возводя в степень, получим:

Отсюда:

Таким образом, корень n –ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

7.5. Показательная форма комплексного числа.

Рассмотрим показательную функцию

Можно показать, что функция w может быть записана в виде:

Данное равенство называется уравнением Эйлера. 

Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства:

1)

2)

3)   где m – целое число.

Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0), то получаем:

Для комплексно – сопряженного числа получаем:

Из этих двух уравнений получаем:

Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов.

Если представить комплексное число в тригонометрической форме:

и воспользуемся формулой Эйлера:

Полученное равенство и есть показательная форма комплексного числа.

Рассмотрим несколько примеров действий с комплексными числами.

Пример. Даны два комплексных числа . Требуется а) найти значение выражения в алгебраической форме, б) для числа  найти тригонометрическую форму, найти z20, найти корни уравнения

1. Очевидно, справедливо следующее преобразование:

Далее производим деление двух комплексных чисел:

Получаем значение заданного выражения: 16(-i)4 = 16i4 =16.

б) Число  представим в виде , где

Тогда .

Для нахождения  воспльзуемся формулой Муавра.

Если , то

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Дайте определение комплексного числа.
2. Какие числа комплексно-сопряженными?
3. Какие комплексные числа называются равными?
4. Как геометрически изображаются комплексные числа?
5. Какие действия над комплексными числами выполняются в алгебраической форме?
6. Дайте определение тригонометрической формы комплексного числа.
7. Какие действия над комплексными числами выполняются в тригонометрической форме?
8. Как осуществляется переход от записи комплексного числа, заданного в алгебраической форме, к его тригонометрической форме?
9. Как записать комплексное число в показательной форме?
10. Что называется тождеством Эйлера?

Лекция № 8. Предел функции.

Переменная и предел – это основные понятия математического анализа. Достаточно напомнить, что ключевым словом в определениях таких известных со школы понятий как производная и интеграл является слово предел.

8.1. Предел функции в точке.

                                       y                                  f(x)

                                             A + ε

                                                  A

                                              A - ε

                                        0                      a - Δ  a  a + Δ      x

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х→а, если для любого ε>0 существует такое число Δ>0, что для всех х таких, что

0 < ⎪x - a⎪ < Δ

верно неравенство                                ⎪f(x) - A⎪< ε.

То же определение может быть записано в другом виде:

Если а - Δ < x < a + Δ,  x ≠ a, то верно неравенство А - ε < f(x) < A + ε.

Запись предела функции в точке:

Определение. Если f(x) → A1 при х → а только при x < a, то  - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) → A2 при х → а только при x > a, то  называется пределом функции f(x) в точке х = а справа.

                                                у

                                                                                f(x)

                                                А2

                                                А1

                                                      0            a                                    x

Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.

Пределы А1 и А2 называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).

8.2. Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х→∞, если для любого числа ε>0 существует такое число М>0, что для всех х, ⎪х⎪>M выполняется неравенство

При этом предполагается, что функция f(x) определена в окрестности бесконечности.

Записывают:         

Графически можно представить:                                

             y                                                        y

             A                                                        A

             0                                                        0

                                              x                                                              x

                 y                                                        y

             A                                                        A

             0                                                        0

                                            x                                                        x

Аналогично можно определить пределы  для любого х>M и

 для любого х

8.3. Основные теоремы о пределах.

Теорема 1. , где С = const.

Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х→а.

Теорема 2. 

Доказательство этой теоремы будет приведено ниже.

Теорема 3. 

Следствие. 

Теорема 4.     при

Теорема 5. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и , то А>0.

Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) ≥ 0, f(x) ≤ 0.

Теорема 6. Если g(x) ≤ f(x) ≤ u(x) вблизи точки х = а и , то и .

Определение. Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что ⎪f(x)⎪

Теорема 7. Если функция f(x) имеет конечный предел при х→а, то она ограничена вблизи точки х = а.

Доказательство. Пусть , т.е. , тогда

 или

, т.е.

где М = ε + ⎪А⎪

Теорема доказана.

8.4. Бесконечно малые функции.

Определение.  Функция f(x) называется бесконечно малой при х→а, где а может быть числом или одной из величин ∞, +∞ или -∞, если .

Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.

Пример. Функция f(x) = xn является бесконечно малой при х→0 и не является бесконечно малой при х→1, т.к. .

Теорема. Для того, чтобы функция f(x) при х→а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие

f(x) = A + α(x),

где α(х) – бесконечно малая при х → а (α(х)→0 при х → а).

Свойства бесконечно малых функций:

1. Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х→а тоже бесконечно малая функция при х→а.
2. Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х→а тоже бесконечно малая функция при х→а.
3. Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х→а.
4. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.

Используя понятие бесконечно малых функций, приведем доказательство некоторых теорем о пределах, приведенных выше.

Доказательство теоремы 2. Представим f(x) = A + α(x), g(x) = B + β(x), где

, тогда

f(x) ± g(x) = (A + B) + α(x) + β(x)

A + B = const,  α(х) + β(х) – бесконечно малая, значит

Теорема доказана.

8.5. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.

Определение. Предел функции f(x) при х→а, где а- число, равен бесконечности, если для любого числа М>0 существует такое число Δ>0, что неравенство

⎪f(x)⎪>M

выполняется при всех х, удовлетворяющих условию

0 < ⎪x - a⎪ < Δ

Записывается .

Собственно, если в приведенном выше определении заменить условие ⎪f(x)⎪>M на f(x)>M, то получим:

а если заменить на f(x)

Графически приведенные выше случаи можно проиллюстрировать следующим образом:

                y                                y                                y

                  a                        x                  a                         x                a                   x

Определение. Функция называется бесконечно большой при х→а, где а – число или одна из величин ∞, +∞ или -∞, если , где А – число или одна из величин ∞, +∞ или -∞.

Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществляется в соответствии со следующей теоремой.

Теорема. Если f(x)→0 при х→а (если х→∞) и не обращается в ноль, то

8.6. Сравнение бесконечно малых функций.

Пусть α(х), β(х) и γ(х) – бесконечно малые функции при х → а. Будем обозначать эти функции α, β и γ соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю.

Например, функция f(x) = x10 стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x.

Определение. Если , то функция α называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция β.

Определение. Если , то α и β называются бесконечно малыми одного порядка.

Определение. Если то функции α и β называются эквивалентными бесконечно малыми. Записывают α ~ β.

Пример.  Сравним бесконечно малые при х→0 функции f(x) = x10 и f(x) = x.

т.е. функция f(x) = x10 – бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x) = x.

Определение. Бесконечно малая функция α называется бесконечно малой порядка k относительно бесконечно малой функции β, если предел  конечен и отличен от нуля.

Однако следует отметить, что не все бесконечно малые функции можно сравнивать между собой. Например, если отношение  не имеет предела, то функции несравнимы.

Пример. Если , то при х→0 , т.е. функция α - бесконечно малая порядка 2 относительно функции β.

Пример. Если , то при х→0  не существует, т.е. функция α и β несравнимы.

Свойства эквивалентных бесконечно малых.

        1) α ~ α,    

        2) Если α ~ β и β ~ γ, то α ~ γ,      

        3) Если α ~ β, то β ~ α,          

1.        4) Если α ~ α1 и β ~ β1 и , то и   или .

Следствие:  а) если α ~ α1  и , то и

                            б) если β ~ β1 и , то

Свойство 4 особенно важно на практике, т.к. оно фактически означает, что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что может сильно упростить вычисление пределов.

Пример. Найти предел

Так как tg5x ~ 5x и sin7x ~ 7x при х → 0, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим:

Пример. Найти предел .

Так как 1 – cosx =  при х→0, то .

Пример. Найти предел

Если α и β - бесконечно малые при х→а, причем β - бесконечно малая более высокого порядка, чем α, то γ = α + β - бесконечно малая, эквивалентная α. Это можно доказать следующим равенством .

Тогда говорят, что α - главная часть бесконечно малой функции γ.

Пример.  Функция х2 +х – бесконечно малая при х→0, х – главная часть этой функции. Чтобы показать это, запишем α = х2, β = х, тогда

.

8.7. Некоторые замечательные пределы.

Первый замечательный предел. , где P(x) = a0xn + a1xn-1 +…+an,  

Q(x) = b0xm + b1xm-1 +…+bm - многочлены.

Итого:

Второй замечательный предел. 

Третий замечательный предел. 

Часто если непосредственное нахождение предела какой – либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов.

Кроме трех, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:

Пример. Найти предел.

Пример. Найти предел.

Пример. Найти предел.

Пример. Найти предел.

Пример. Найти предел.

Пример. Найти предел   .

Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби.

x2 – 6x + 8 = 0;                                    x2 – 8x + 12 = 0;

D = 36 – 32 = 4;                                 D = 64 – 48 = 16;

x1 = (6 + 2)/2 = 4;                               x1 = (8 + 4)/2 = 6;

x2 = (6 – 2)/2 = 2 ;                               x2 = (8 – 4)/2 = 2;

Тогда

Пример. Найти предел.

  домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение: =

=.

Пример. Найти предел.

Пример. Найти предел .

Разложим числитель и знаменатель на множители.

x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2)

x3 – 6x2 + 11x – 6 = (x – 1)(x – 2)(x – 3), т.к.

x3 – 6x2 + 11x – 6    x - 1

                                                       x3 – x2                      x2 – 5x + 6

                                                         - 5x2 + 11x

                                                         - 5x2 + 5x

                                                     6x - 6

                                                  6x - 6                                                                                                                     0

x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)

Тогда

Пример. Найти предел.

Для самостоятельного решения:

8)  - не определен.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Дайте определение предела функции точке.
2. Дайте определение предела функции на бесконечности.
3. Что такое односторонние пределы функции?
4. Сформулируйте основные теоремы о пределах функций.
5. Что такое первый, второй и третий замечательные пределы?
6. Дайте определение бесконечно малой функции.
7. Сформулируйте основные свойства бесконечно малых функций.
8. Сформулируйте принцип эквивалентности бесконечно малых функций.
9. Дайте определение бесконечно большой функции.
10. Сформулируйте основные свойства бесконечно больших функций.
11. В чем заключается связь бесконечно больших и бесконечно малых функций?

Лекция № 9. Непрерывность функции и ее разрывы.

9.1. Непрерывность функции в точке.

Определение. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х0, называется непрерывной в точке х0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

Тот же факт можно записать иначе:

Определение. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, но не является непрерывной в самой точке х0, то она называется разрывной функцией, а точка х0 – точкой разрыва.

Пример непрерывной функции:

                                        y

                                f(x0)+ε

                                   f(x0)

                                f(x0)-ε

0  x0-Δ  x0 x0+Δ                     x

Пример разрывной функции:

                                                y

                                f(x0)+ε

                                   f(x0)

                                f(x0)-ε

                                                        x0                         x

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если для любого положительного числа ε>0 существует такое число Δ>0, что для любых х, удовлетворяющих условию

верно неравенство                               .

Определение.  Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х0, если приращение функции в точке х0 является бесконечно малой величиной.

f(x) = f(x0) + α(x)

где α(х) – бесконечно малая при х→х0.

9.2. Свойства непрерывных функций.

1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция, непрерывная в точке х0.

2) Частное двух непрерывных функций – есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х0.

3) Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.

Это свойство может быть записано следующим образом:

Если u = f(x),  v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х0, то функция v = g(f(x)) – тоже непрерывная функция в этой точке.

Справедливость приведенных выше свойств можно легко доказать, используя теоремы о пределах.

9.3. Непрерывность некоторых элементарных функций.

1) Функция f(x) = C, C = const – непрерывная функция на всей области определения.

2) Рациональная функция  непрерывна для всех значений х, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Таким образом, функция этого вида непрерывна на всей области определения.

3) Тригонометрические функции непрерывны на своей области определения.

Докажем свойство 3 для функции y = sinx.

Запишем приращение функции Δy = sin(x + Δx) – sinx, или после преобразования:

Действительно, имеется предел произведения двух функций  и . При этом функция косинус – ограниченная функция при Δх→0 , а т.к.

предел функции синус , то она является бесконечно малой при Δх→0.

Таким образом, имеется произведение ограниченной функции на бесконечно малую, следовательно это произведение, т.е. функция Δу – бесконечно малая. В соответствии с рассмотренными выше определениями, функция у = sinx – непрерывная функция для любого значения х = х0 из области определения, т.к. ее приращение в этой точке – бесконечно малая величина.

Аналогично можно доказать непрерывность остальных тригонометрических функций на всей области определения.

Вообще следует заметить, что все основные элементарные функции непрерывны на всей своей области определения.

9.4. Точки разрыва и их классификация.

Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х0, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х0 является точкой разрыва, если  функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.

Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.

Если односторонний предел (см. выше) , то функция называется непрерывной справа.

                                                          х0

Если односторонний предел (см. выше) , то функция называется непрерывной слева.

                                                  х0

Определение. Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х0 или не является непрерывной в этой точке.

Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х0, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.

Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимой точкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже.

Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

Пример. Функция Дирихле (Дирихле Петер Густав(1805-1859) – немецкий математик, член- корреспондент Петербургской АН 1837г)

не является непрерывной в любой точке х0.

Пример. Функция f(x) =  имеет в точке х0 = 0 точку разрыва 2 – го рода, т.к.

.

Пример. f(x) =

Функция не определена в точке х = 0, но имеет в ней конечный предел , т.е. в точке х = 0 функция имеет точку разрыва 1 – го рода. Это – устранимая точка разрыва, т.к. если доопределить функцию:

График этой функции:

Пример.  f(x) = =

                                                   y

                                                 1

                                                  0                        x

                                                -1

Эта функция также обозначается sign(x) – знак х. В точке х = 0 функция не определена. Т.к. левый и правый пределы функции различны, то точка разрыва – 1 – го рода. Если доопределить  функцию в точке х  = 0, положив f(0) = 1, то функция будет непрерывна справа, если положить f(0) = -1, то функция будет непрерывной слева, если положить f(x) равное какому- либо числу, отличному от 1 или –1, то функция не будет непрерывна ни слева, ни справа, но во всех случаях  тем не менее  будет иметь в точке х = 0 разрыв 1 – го рода. В этом примере точка разрыва 1 – го рода не является устранимой.

Таким образом, для того, чтобы точка разрыва 1 – го рода была устранимой, необходимо, чтобы односторонние пределы справа и слева были конечны и равны, а  функция была бы в этой точке не определена.

9.5. Непрерывность функции на интервале и на отрезке.

Определение. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка).

При этом не требуется непрерывность функции на концах отрезка или интервала, необходима только односторонняя непрерывность на концах отрезка или интервала.

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Свойство 1: (Первая теорема Вейерштрасса (Вейерштрасс Карл (1815-1897)- немецкий математик)). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке [a, b] выполняется условие –M ≤ f(x) ≤ M.

Доказательство этого свойства основано на том, что функция, непрерывная в точке х0, ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок [a, b] на бесконечное количество отрезков, которые “стягиваются” к точке х0, то образуется некоторая окрестность точки х0.

Свойство 2: Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.

Т.е. существуют такие значения х1 и х2, что f(x1) = m,  f(x2) = M, причем

m ≤ f(x) ≤ M

Отметим эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и несколько раз (например – f(x) = sinx).

Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке.

Свойство 3: (Вторая теорема Больцано – Коши). Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами.

Свойство 4: Если функция f(x) непрерывна в точке х = х0, то существует некоторая окрестность точки х0, в которой функция сохраняет знак.

Свойство 5: (Первая теорема Больцано (1781-1848) – Коши). Если функция f(x)- непрерывная на отрезке [a, b] и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где f(x) = 0.

Т.е. если sign(f(a)) ≠ sign(f(b)), то ∃ х0: f(x0) = 0.

Определение. Функция f(x) называется равномерно непрерывной на отрезке [a, b], если для любого ε>0 существует Δ>0 такое, что для любых точек х1∈[a,b] и x2∈[a,b] таких, что

⎪х2 – х1⎪< Δ

верно неравенство                                    ⎪f(x2) – f(x1)⎪ < ε

Отличие равномерной непрерывности от “обычной” в том, что для любого ε существует свое Δ, не зависящее от х, а при “обычной” непрерывности Δ зависит от ε и х.

Свойство 6: Теорема Кантора (Кантор Георг (1845-1918)- немецкий математик). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем.

(Это свойство справедливо только для отрезков, а не для интервалов и полуинтервалов.)

Пример. 

Функция  непрерывна на интервале (0, а), но не является на нем равномерно непрерывной, т.к. существует такое число Δ>0 такое, что существуют значения х1 и х2 такие, что⎪f(x1) – f(x2)⎪>ε, ε - любое число при условии, что х1 и х2 близки к нулю.

Свойство 7: Если функция f(x) определена, монотонна и непрерывна на некотором промежутке, то и обратная ей функция х = g(y) тоже однозначна, монотонна и непрерывна.

Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.

в точке х = -1 функция непрерывна             в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода      

                                                у

                                                     3

                                                     2

                           -4                       -1      0        1                           х

Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.

в точке х = 0 функция непрерывна, в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода                        

                                                   у

                                                2

                                                    1

                                               -π       -π/2          0      1                                   x

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Дайте определение непрерывности функции в точке.
2. Приведите примеры функций непрерывных в точке.
3. Дайте определение непрерывности функции на интервале.
4. Что такое точка разрыва? Точки разрыва первого и второго рода.
5. Приведите примеры точек разрыва первого и второго рода.
6. Сформулируйте основные свойства непрерывных функций.
7. Приведите примеры непрерывности элементарных функций.

Литература

1. Беклемищева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. – М., 1987.
2. Н.В.Богомолов Практические занятия по математике. – М., 1983.
3. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. – М., 1986.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М., 1980.
5. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М., 1989.
6. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика (2 книги) – М., 2004.
7. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа: Учебник для вузов. – М., 1989.
8. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. – М., 2003.
9. Марков Л.Н., Размыслович Г.П. Высшая математика: Учебник для вузов. – М., 1999.
10. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Для вузов. Т.I, 2. – М., 1985.
11. Подольский В.А., Суходский А.М., Мироненко Е.С. Сборник задач по математике. – М., 1999.
12. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т.I, 2. – М., 1968.