Задания школьного этапа всероссийской олимпиады школьников по математике 2021-2022 учебный год
олимпиадные задания по математике (9 класс)
Задания школьного этапа всероссийской олимпиады школьников
по математике
2021-2022 учебный год
9 класс
Время, отводимое на решение задач 120 минут
Максимальное количество баллов – 35 баллов
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 18.14 КБ |
![]() | 63.97 КБ |
Предварительный просмотр:
Задания школьного этапа всероссийской олимпиады школьников
по математике
2021-2022 учебный год
9 класс
Время, отводимое на решение задач 120 минут
Максимальное количество баллов – 35 баллов
- Натуральное число называется палиндромом, если оно не изменяется при записывании его цифр в обратном порядке (например, 121 — палиндром, а 2017 — нет). Найдите все представления числа 2017 в виде суммы двух палиндромов.
- Постройте график функции: .
- Решите уравнение: 2х2-3х =2х
+1
- Два спортсмена бегают по одной замкнутой дорожке. Скорость каждого постоянна, и на пробег всей дорожки один тратит на 5 с меньше другого. Если они начнут пробег с общего старта одновременно и в одном направлении, то окажутся рядом через 30с. Через какое время они встретятся, если побегут одновременно с общей линии старта в противоположных направлениях?
- В равностороннем треугольнике АВС со стороной a точки M, N, P, Q расположены так, как показано на рисунке. Известно, что MA + AN = PC + CQ = a. Найдите величину угла NOQ.
Предварительный просмотр:
Решение заданий
школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике
2021-2022 учебный год
9 класс
Решение каждой задачи оценивается Жюри из 7 баллов в соответствии с критериями и методикой оценки, разработанной центральной предметно-методической комиссией:
Баллы | Правильность (ошибочность) решения. |
7 | Полное верное решение. |
6-7 | Верное решение, но имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение. |
5-6 | Решение в целом верное. Однако решение содержит ошибки, либо пропущены случаи, не влияющие на логику рассуждений. |
3-4 | Верно рассмотрен один из существенных случаев. |
2 | Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи. |
0-1 | Рассмотрены отдельные случаи при отсутствии правильного решения. |
0 | Решение неверное, продвижения отсутствуют. |
0 | Решение отсутствует. |
1. Натуральное число называется палиндромом, если оно не изменяется при записывании его цифр в обратном порядке (например, 121 — палиндром, а 2017 — нет). Найдите все представления числа 2017 в виде суммы двух палиндромов.
Решение:
Например, 2017=2002+15
Так как 2002 не подходит (остаётся 15, а это не палиндром), значит, большее слагаемое имеет вид 1AA1 (два трёхзначных числа в сумме дают меньше 2000).
Тогда второе слагаемое должно заканчиваться на 6, так как оно равно 2017 – 1AA1,т. е. имеет вид 6B6. Итак, 2017 – 1AA1 = 6B6. Получаем 2017 − 1001 − 606 = AA0 + B0 ,т. е. 41 = AA + В, откуда AA = 33, В = 8.
Ответ: 2017 = 1331 + 686.
2. Постройте график функции: .
Решение: = х + 6; ОДЗ: х1
3.Решите уравнение: 2х2-3х =2х +1
Решение: ОДЗ: х2 -3х ≥0, х(х-3) ≥0 возможны два случая:
х ≥ 0, или х ≤ 0,
х-3 ≥ 0; х-3 ≤ 0;
Итак, х Є (-∞;0]U[3;+∞).
Решаем уравнение 2х2-3х =2х +1, представляя 2х2= х2 + х2,
х2 + х2-3х =2х +1, то ( х
2 = 1, получаем два уравнения: х
=-1 и х
=1, решаем их, при этом первое уравнение имеет корень х= -0,2, а во втором уравнении
х=-1не является корнем уравнения, сделав проверку.
Значит, решением уравнения является х= -0,2.
Ответ: х= -0,2.
4.Два спортсмена бегают по одной замкнутой дорожке. Скорость каждого постоянна, и на пробег всей дорожки один тратит на 5 с меньше другого. Если они начнут пробег с общего старта одновременно и в одном направлении, то окажутся рядом через 30с. Через какое время они встретятся, если побегут одновременно с общей линии старта в противоположных направлениях?
Решение:
5. В равностороннем треугольнике АВС со стороной a точки M, N, P, Q расположены так, как показано на рисунке. Известно, что MA + AN = PC + CQ = a. Найдите величину угла NOQ.
Решение:
С
Р
О Q
М
А N В
По условию задачи AN = a – AM, следовательно, AN = MC.
Аналогично AP = QC. Из этих равенств и равенства ∠A = ∠C = 60° следует, что ∆ANP = ∆CMQ. Отсюда ∠ANP = ∠QMC, ∠APN = ∠MQC.
По теореме о сумме углов треугольника ∠ANP + ∠APN = 120°, поэтому ∠OMP + ∠OPМ = 120°, а значит, ∠MOP = 60°. Углы MOP и NOQ вертикальные, поэтому ∠NOQ = 60°.
Ответ. 60°
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2015/03/23/picture-612259-1427129466.jpg)
Календарь на 2021-2022 на учебный год.
Календарь на 2021-2022 на учебный год. 4 четверти, 35 недель....
![](/sites/default/files/pictures/2015/09/17/picture-665018-1442506560.jpg)
Приказ об участии в школьном методическом семинаре в 2021-2022 учебном году
приказ об участии в метод семинаре в 2021-2022 учебном году...
![](/sites/default/files/pictures/2022/01/25/picture-960654-1643101225.jpg)
Рабочие программы по математике 2021-2022 учебный год
Рабочие программы преднезначены для проведения уроков математики, алгебры, геометрии в основной школе....
![](/sites/default/files/pictures/2019/06/11/picture-1148595-1560266327.jpg)
Результаты Всероссийской школьной олимпиады по обществознанию 2021-2022 ШЭ
Результаты Всероссийской школьной олимпиады по обществознанию 2021-2022 ШЭ 8 класс....
![](/sites/default/files/pictures/2019/06/11/picture-1148595-1560266327.jpg)
Результаты всероссийской школьной олимпиады по обществознанию 2021-2022 ШЭ 6 кл.
Результаты всероссийской школьной олимпиады по обществознанию 2021-2022 ШЭ 6 кл....
![](/sites/default/files/pictures/2018/01/14/picture-995189-1515922645.jpg)
Результаты школьных соревнований "Президентские состязания"- 2021-2022 уч.год.
Результаты школьных соревнований "Президентские состязания"- 2021-2022 уч.год....
![](/sites/default/files/pictures/2023/11/28/picture-594782-1701161581.jpg)
справка-анализ школьной научно-практической конференции 2021-2022 учебный год
Справка является частью анализа школы...