Учимся вычислять разумно.
материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (11 класс)

Всем учителям, преподающим в выпускных классах математику, известно, что школьники испытывают большие трудности, когда дело касается вычислений без калькулятора. Между тем, в большинстве случаев при выполнении экзаменационных заданий ЕГЭ можно обойтись без письменных вычислений. Данная разработка содержит материал для уроков повторения, посвященный разумным подходам к выполнению заданий вычислительного характера. В материалах представлены задания ЕГЭ по профильной математике. Использовались материалы сайта ege.sdamgia.ru.

Первый совет, который хочется дать ученикам, «не торопитесь выполнять действия «по порядку». Вообще, не торопитесь выполнять действия с многозначными числами «в столбик», особенно действие умножение. Скорее всего, можно использовать или основное свойство дроби, чтобы сократить ее, или поменять порядок действий, используя свойства действий.

В первую очередь, не помешает вспомнить элементарные приемы рационализации вычислений, которые позволяют избежать вычислений «в столбик» и неудобных дробей.

1.1  Найдите значение выражения 

Комментарии. Конечно, можно выполнить все действия в соответствии с порядком, усвоенным в начальной школе. Но любой ученик, хорошо прочувствовавший тему «cокращение дробей» заметит, что данную дробь очень хорошо можно сократить. Причем, сократить можно сразу, без предварительных преобразований. Например, на 288 и на 445:

Можно сокращать и на 0,288, и на 4,45 и т.д.

Но чаще всего такую дробь предварительно преобразовывают, пользуясь основным свойством дроби – умножают числитель и знаменатель на 1000 и на 100 (тем самым избавляемся от запятых и в первом множителе и во втором).

Получаем такую дробь:

Чаще даже говорят о переносе запятых одновременно на одно и то же количество цифр вправо в каждой паре множителей. Но надо понимать, что ключевое слово здесь «множители». Не вздумайте провернуть такую операцию с суммой.

По поводу переноса запятых. Очень удобно в данном случае опираться не на основное свойство дроби, а на правило деления на десятичную дробь, ну и на правило умножения обыкновенных дробей:

1.2 Найдите значение выражения 

1.3 Найдите значение выражения 

2.1  Найдите значение выражения 

Комментарии. Ну, это классика. Достаточно правильно прочитать данное выражение, чтобы словосочетание «разность квадратов чисел» навела на нужные рассуждения:

(252-23)(252+23):275=

2.2 Найдите значение выражения 

2.3 Найдите значение выражения 

3.1  Найдите значение выражения 

Комментарии. Для начала вспоминаем, чего делать «не надо». Не надо вычитать корни, потому что такого свойства нет (разность корней равно корню из разности). Остается единственное доступное действие – умножение (на самом деле не единственное, но об этом позже). Но мы уже договорились, что постараемся обойтись без письменных умножений. Тем более, что при работе с корнями надо помнить, что таблица квадратов существует только для двузначных чисел, ее нет на профильном экзамене и вообще не факт, что после умножения получим точный квадрат, с которым и при наличии таблицы непонятно что делать.

Очередной совет: под корнями надо не умножать, а наоборот максимально раскладывать на множители, потому что как раз корни из произведения извлекаются что целиком, что по очереди:

Но есть и другой ход. Он тоже связан с разложением подкоренного выражения на множители. Постараемся максимально вытащить из-под корней множители в надежде, что в скобке подкоренные выражения окажутся одинаковыми:

На всякий случай уточним, что в этом решении мы не вычитаем корни (чего делать нельзя), а, можно сказать, приводим подобные слагаемые, т.е. пользуемся теми же рассуждениями, что и в случае 5х-4х=х. А именно, выносим общий множитель x за скобки (ну, или в нашем случае, .

3.2 Найдите значение выражения 

3.3 Найдите значение выражения ( − ) 

4.1  Найдите значение выражения: 

Комментарии.

Именно в этом примере нет ничего страшного в прямом применении всех правил действий с обыкновенными дробями – числа небольшие  и вполне укладываются в устные расчеты. Но есть повод вспомнить хороший прием умножения смешанного числа на натуральное с помощью распределительного свойства умножения. Это иногда избавляет от необходимости приводить к общему знаменателю неудобные числа, переводить смешанное число в неправильную дробь, что при больших числах может тоже быть делом неприятным.

В данном примере мы не будем приводить к общему знаменателю, а домножим на 160 каждое число в скобках, т.е. воспользуемся распределительным свойством умножения. Но и умножать на 160 мы тоже будем не просто так. Напомню, что в смешанном числе между целой и дробной частью предполагается действие сложение:

2

Может показаться, что этот путь длинен, но на самом деле это очень удобный метод в случае, когда натуральный множитель кратен знаменателю, т.е. его можно сократить:

Итого:

• 440 - 60= - 500

4.2 Найдите значение выражения 

4.3 Найдите значение выражения: 

Второй совет: присмотритесь к условию. Возможно, небольшие преобразования сильно облегчат вам жизнь.

5.1 В треугольнике ABC угол C равен      Найдите 

Комментарии.

Совсем простая в решении задача, если бы не подозрительно сложное условие. Какой бы путь решения вы не избрали, вам придется возводить в квадрат 34 и потом путаться с большими числами. Но все становится гораздо проще, если хорошо усвоил правила работы с иррациональными выражениями. Число  можно и нужно упростить. Для этого достаточно вспомнить, что              34=. Сократив дробь на , мы получим вполне приемлемое для работы условие sinA=

Итого, если не привлекать к решению ничего сложнее теоремы Пифагора, имеем:

sinA=ВС:АВ=3:  ВС=3х, АВ=х,

(3х)²+4²=(х)²

9х²+16=34х²

25х²=16

х²=

х=

ВС=3· =

5.2 В треугольнике ABC угол C равен    Найдите BC.

5.3 В треугольнике ABC  угол C равен 90°,  АС = 4,

Найдите АВ.

5.4 Найдите  если cosA=   и 

И совет третий: всегда мыслите чуть-чуть вперед. Оценивайте, какое действие придется делать следующим, в какой форме удобнее оставить промежуточный ответ, чтоб не пришлось потом выпутываться из той ситуации, куда вы сами себя завели.

6.1 Найдите значение выражения 

Комментарии:

У многих учеников вызывает трудности задача нахождения в этом примере общего знаменателя. Тот, кто умеет это делать грамотно, прекрасно выполнит это задание и без наших комментариев. Но многие не сумеют подобрать наименьшее общее кратное для чисел 33 и 12, и будут действовать просто и незатейливо – «крест накрест». Ничего страшного в этом нет в данном случае, главное, не делать лишнего, например, не перемножать 33 и 12:

6.2  Найдите значение выражения 

И последнее. Не забывайте о первых трех советах, когда решаете задачи.

Совет «не торопиться» выполнять письменные расчеты остается в силе при решении любых задач.

7.1 В треугольнике ABC угол C равен 90°,   Найдите высоту CH.

Комментарии.

Эта конструкция (с высотой, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника) предполагает различные пути решения. Мы решать эту задачу будем с помощью теоремы Пифагора (возможно, не самое изящное решение, зато не требует знания дополнительной теории).  Итак, в треугольнике АВС   tgA=BC:AC=3:5, т.е. ВС=3х, АС=5х. По теореме Пифагора

(3х)²+(5х)²=51²

9х²+25х²=51²

34х²=51²

Не советую возводить 51 в квадрат. Во-первых, без таблицы квадратов мало кто помнит это значение, во-вторых, ничего кроме лишних движений это не принесет.

х²=

х=,        АС=5х=. И опять тот же совет: не торопитесь перемножать, это лишнее движение.

А теперь провернем это все еще раз, но уже для треугольника АСН, тоже прямоугольного, с тем же углом А:

tgА=СН:АН=3:5, СН=3у, АН=5у. По теореме Пифагора:

(3у)²+(5у)²=(

9у²+25у²=

34у²=

у²=

У=  =

СН=3·7,5=22,5

Как видите, мы прекрасно обошлись без всяких «столбиков».

7.2 В треугольнике ABC угол C равен 90°,   Найдите высоту CH.

7.3 В треугольнике ABC угол C равен 90°,    tgA= Найдите высоту CH.

8.1 Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

Комментарии:

В данном случае ничего сложного нет в прямых подсчетах. Но числа встречаются и побольше. Поэтому на простом примере посмотрим, как можно выкрутиться из необходимости возводить в куб «большие» числа, а потом наоборот, извлекать кубический корень из чего-то мало понятного:

R=12

8.2 Радиусы трех шаров равны 2, 12 и 16. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

8.3 Радиусы трех шаров равны 15, 20 и 25. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

9.1 Объем шара равен 12348  Найдите площадь его поверхности, деленную на 

Комментарии:

Уже значение объема вызывает подозрение. Совет все тот же: «не делать лишнего». Например, не перемножать все подряд. При преобразовании не забываем, что нам нужно «увидеть» куб числа:

V=,  12348,  R³==343·9·3=7³·3³, R=21

S=4=4

S/

9.2 Объем шара равен 18 432  Найдите площадь его поверхности, деленную на 

9.3  Объем шара равен 26244  Найдите площадь его поверхности, деленную на 

10.1 Площадь поверхности шара равна 379. Найдите площадь большого круга шара.

Комментарии:

В этом задании ничего смертельного нет и при «лобовом столкновении». Но очень уж хороший пример, чтобы напомнить золотое правило: «смотри вперед», оценивай, что и зачем делаешь. Впрочем, многие ученики и так прекрасно знают связь между площадью сферы и площадью большого круга. А кто не знает, пусть учится сопоставлять условие и заключение:

S=4R²,      S´=R²

S´= S´ =

10.2 Площадь поверхности шара равна 24. Найдите площадь большого круга шара.

11.1 На рисунке изображён график некоторой функции  Функция  — одна из первообразных функции  Найдите площадь закрашенной фигуры.

Комментарии:

Это задание на «посчитать». И я не встречала еще ученика, который бы с первого раза попадал в ответ.

F(-9)-F(-11)=((-9)³+30·(-9)²+305·(-9) - )-((-11)³+30·(-11)²+305·(-11) - )

Ну если даже не хочется ничего придумывать со степенями, хотя бы дроби не пытайтесь пристроить к промежуточным ответам, они все-равно взаимно уничтожатся:

(-9)³+30·(-9)²+305·(-9) -  - (-11)³ - 30·(-11)² - 305·(-11) + =

Но если все же лень возиться со степенями, вспоминайте формулы сокращенного умножения:

(-9)³-(-11)³+30·(-9)²- 30·(-11)²+305·(-9)  - 305·(-11)

11³-9³+30·(9²-11²)+305·(11-9)=(11-9)(11²+11·9+9²)+30·(9-11)(9+11)+305·2=2·(121+99+81)-1200+610=2·301+550=602- 1200+610=12

11.2 На рисунке изображён график некоторой функции  Функция  — одна из первообразных функции  Найдите площадь закрашенной фигуры.

11.3  На рисунке изображён график некоторой функции  Функция  — одна из первообразных функции  Найдите площадь закрашенной фигуры.

12.1 Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому   где P — мощность излучения звезды (в ваттах),  — постоянная, S — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а T — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности не-которой звезды равна  м2, а мощность её излучения равна  Вт. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.

Комментарии:

2,85·

Прежде чем начать считать, обратите внимание, что на последнем этапе нужно будет извлекать корень четвертой степени - это во-первых, а во-вторых, на наше счастье в этом уравнении отсутствует действие сложения, т.е. сразу надо пытаться увидеть четвертые степени множителей.

Т=5000

12.2  Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому   где P — мощность излучения звезды (в ваттах),  — постоянная, S — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а T — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности не-которой звезды равна  м2, а мощность её излучения равна  Вт. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.

12.3 На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле:  где  — постоянная, r — радиус аппарата в метрах,  — плотность воды, а g — ускорение свободного падения (считайте  Н/кг). Каков может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше, чем 511 014 Н? Ответ выразите в метрах.

12.4 Коэффициент полезного действия (КПД) кормозапарника равен отношению количества теплоты, затраченного на нагревание воды массой  (в килограммах) от температуры  до температуры  (в градусах Цельсия) к количеству теплоты, полученному от сжигания дров массы  кг. Он определяется формулой  где  Дж/(кгК) − теплоёмкость воды,  Дж/кг — удельная теплота сгорания дров. Определите наименьшую массу дров, которую понадобится сжечь в кормозапарнике, чтобы нагреть  кг воды от 10 °C до кипения, если известно, что КПД кормозапарника не больше 21%. Ответ выразите в килограммах.

13.1 При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон  где p — давление газа (в Па), V — объём газа (в м3),  Найдите, какой объём V (в м3) будет занимать газ при давлении p, равном 2·105 Па.

Комментарии

2·

=

==

13.2 При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон  Пам4, где p − давление газа в паскалях, V − объeм газа в кубических метрах,  Найдите, какой объём V (в куб. м) будет занимать газ при давлении p, равном  Па.

13.3 При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон  Пам5, где p − давление газа в паскалях, V − объeм газа в кубических метрах,  Найдите, какой объём V (в куб. м) будет занимать газ при давлении p, равном  Па.