Площадь поверхностей цилиндра, конуса, усеченного конуса, шара и его частей
план-конспект урока по математике

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ ТЕМЫ

«Площадь поверхностей цилиндра, конуса, усеченного конуса, шара и его частей»

Изучение темы данной дисциплины ЕН.01 Прикладная математика базируется на знаниях, полученных при изучении таких дисциплин как ОУД.04 Математика.  

Основная задача данной темы – Сформировать умение находить площадь поверхностей цилиндра, конуса, усеченного конуса, шара и его частей

Цилиндр.

Цилиндр — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её. Цилиндрическая поверхность — поверхность, получаемая таким поступательным движением прямой (образующей) в пространстве, что выделенная точка образующей движется вдоль плоской кривой (направляющей).

Цилиндр прямой круговой может быть получен путем вращения прямоугольника вдоль стороны как оси.

Цилиндр получен вращением прямоугольника        ABCD вокруг стороны AB.

Виды цилиндров:

                прямой                                                        наклонный

Площадь боковой поверхности прямого цилиндра вычисляется по его развёртке. Развёртка цилиндра представляет собой прямоугольник с высотой h (H)  и длиной  равной длине окружности основания 2πR.

Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развёртки и вычисляется по формуле: Sб.п.= 2πR•Н

Площадь полной поверхности находиться как сумма боковой поверхности и двух площадей основания (круга), вычисляется по формуле: Sп.п.= 2πR•Н+2πR2

Объем цилиндра вычисляется по формуле: V = πR2H

Сечения цилиндра:

Конус.

Конусом называется тело,  которое состоит из круга - основание конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга - вершины конуса, и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.

• Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса (ℓ).
• Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
• Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса (Н).
• Угол раствора конуса — угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).
• Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.
• Косой (наклонный) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
• Круговой конус — конус, основание которого является кругом.
• Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).

• Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).
• Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом, или коническим слоем.

усеченный конус

Виды конусов:

  наклонный                            прямой

Площадь боковой поверхности прямого конуса вычисляется по его развёртке.

Можно найти как площадь кругового сектора по формуле: S=(πR2α)/360֯

Где R – радиус круга, а α - градусная мера соответствующего центрального угла.

Боковая поверхность конуса можно вычислить по формуле:

Sб.п.= πRℓ, где R — радиус основания, ℓ — длина образующей.

Полная поверхность конуса равна сумме площадей боковой поверхности и площади основания: Sп.п. = πRℓ + πR2 .

Объем кругового конуса: V=1/3πR2•Н

Сечения конуса:

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называют осевым сечением.

(сечением является равнобедренный треугольник)

Сечение плоскостью перпендикулярной оси конуса:

 (сечением является круг).

Конические сечения как результат пересечения плоскости с конусом. Возможны три основных типа конических сечений: эллипс, парабола, гипербола

Центр тяжести любого конуса лежит на четверти высоты считая от основания.

Шар, сфера и их части

      Введем следующие определения, связанные с шаром, сферой и их частями.

      Определение 1. Сферой с центром в точке   O   и радиусом   r   называют множество точек, расстояние от которых до точки   O   равно   r   (рис. 1).

      Определение 2. Шаром с центром в точке   O   и радиусом   r   называют множество точек, расстояние от которых до точки   O   не превосходит   r   (рис. 1).

Рис.1

      Таким образом, сфера с центром в точке   O   и радиусом   r   является поверхностью шара с центром в точке   O   и радиусом   r.

      Замечание. Радиусом сферы (радиусом шара) называют отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром сферы. Длину этого отрезка также часто называют радиусом сферы (радиусом шара).

      Определение 3. Сферическим поясом (шаровым поясом) называют часть сферы, заключенную между двумя параллельными плоскостями (рис. 2).

      Определение 4. Шаровым слоем называют часть шара, заключенную между двумя параллельными плоскостями   (рис. 2).

Рис.2

      Окружности, ограничивающие сферический пояс, называют основаниями сферического пояса.

      Расстояние между плоскостями оснований сферического пояса называют высотой сферического пояса.

      Из определений 3 и 4 следует, что шаровой слой ограничен сферическим поясом и двумя кругами, плоскости которых параллельны между собой. Эти круги называют основаниями шарового слоя.

      Высотой шарового слоя называют расстояние между плоскостями оснований шарового слоя.

      Определение 5. Сферическим сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит сферу пересекающая ее плоскость (рис. 3).

      Определение 6. Шаровым сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит шар пересекающая ее плоскость (рис. 3).

Рис.3

      Из определений 3 и 5 следуtт, что сферический сегмент представляет собой сферический пояс, у которого одна из плоскостей оснований касается сферы (рис. 4). Высоту такого сферического пояса и называют высотой сферического сегмента.

      Соответственно, шаровой сегмент – это шаровой слой, у которого одна из плоскостей оснований касается шара (рис. 4). Высоту такого шарового слоя называют высотой шарового сегмента.

Рис.4

      По той же причине всю сферу можно рассматривать как сферический пояс, у которого обе плоскости оснований касаются сферы (рис. 5). Соответственно, весь шар – это шаровой слой, у которого обе плоскости оснований касаются шара (рис. 5).

Рис.5

      Определение 7. Шаровым сектором называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точки сферического сегмента с центром сферы (рис. 6).

Рис.6

      Высотой шарового сектора называют высоту его сферического сегмента.

      Замечание. Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса с общим основанием. Вершиной конуса является центр сферы.

Сечение шара.

Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей

      В следующей таблице приведены формулы, позволяющие вычислить объем шара и объемы его частей, а также площадь сферы и площади ее частей.

Вопросы для самоконтроля:

1. Дать определение цилиндр, конус, усечённый конус, шар.
2. Виды сечений шара.
3. Виды сечений конуса.
4. Виды сечений шара.
5. Площадь поверхности цилиндра, конуса.
6. Виды конусов.