"Формирование эвристических приёмов при обучении математике школьников 5-6-х классов"
статья по математике (5, 6 класс)

Формирование эвристических приёмов при обучении математике

школьников 5-6-х классов

Проблема эвристического обучения является актуальной в современной школе. Актуальность данной проблемы заключается в том, что она предполагает отказ от готовых знаний, их непосредственного воспроизведения (репродукции). Основывается же на поиске, добычи информации, которые предъявляют новые требования к профессиональному, личностному развитию человека в условиях информатизации общества, когда быстрыми темпами увеличивается объем информации, стремительно устаревают знания. Постоянный рост объёма информации требует от человека наличия таких качеств, как, изобретательность, инициативность, умение быстро и безошибочно применять те или иные решения, что невозможно без умения работать творчески, самостоятельно.

По мнению многочисленных исследователей (П.Я. Гальперин, И.Я. Лернер), именно творческая или «проблемная познавательная задача» является формой передачи опыта эвристической деятельности, основным средством формирования творческого мышления. Сущность такой задачи состоит в том, что на основе некоторых данных в условии задачи, предъявляемых явно или предполагаемых известными ученику, и требований задачи, решающий должен разрешить проблему, найти искомое. И.И. Ильясов дает такую характеристику типовых, выводных и творческих задач : «... Задачи, которые приходится решать человеку, могут быть такими, что их можно решить путем простого воспоминания и применения знаний о способе их решения. В этом случае задача является типовой, стандартной... Если же формула решающему неизвестна, то задача приобретает уже другой характер. Сначала надо найти нужную формулу. Поиск может осуществляться либо путем выведения из каких-то других общих знаний, либо путем угадывания, пробами и ошибками и т.п. В первом случае задача является вводной, во втором - творческой…»

Рассмотрим теперь различные эвристические приемы, используемые при решении творческих задач. К эвристическим приемам мы относим приемы второго этапа решения творческих задач. Приемы 1-го и 3-го этапов достаточно стандартны и используются в обучении с первых уроков в первом классе. Заметим также, что творческие задачи встречаются во многих сборниках как учебного, так и развлекательного плана. Мы в своей работе смещаем акцент на характеристику эвристических приемов, используемых при решении творческих задач.

Система творческих задач, нацеленная на формирование приёмов эвристической деятельности учащихся 5-6 классов, представляет собой пять групп задач. Каждая группа включает серию задач, направленную на формирование определённого эвристического приёма. В каждой последующей группе возможно использование приёмов, введённых в предыдущих группах.

I группа - задачи на формирование эвристического приёма выдвижения гипотез.

II группа - задачи на формирование эвристического приёма моделирования с помощью прямой, таблиц или графов.

III группа - задачи на формирование эвристического приёма конкретизации условия.

IV группа - задачи на формирование эвристического приёма переструктурирования условия задачи.

V группа - задачи на формирование эвристического приёма разбиения задачи на части.

Группы задач вводятся последовательно, таким образом, последовательно происходит знакомство с различными эвристическими приёмами. Причем в задачах последующей группы возможно применение приёмов, освоенных в предыдущих группах.

Приемы работы с гипотезами (выдвижения любых гипотез, их проверка, анализ).

Этот прием подробно исследовался в работах П.Я. Гальперина и В.Л. Даниловой. «Его особенность составляли «бухгалтерия догадок» и систематическая их проверка; каждая догадка немедленно записывалась, потом все они проверялись, строго по очереди, и не только по результату, но и по источнику и по общему значению в системе условий». Обычно, решая задачу на смекалку, учащиеся беспорядочно высказывают гипотезы, тут же бегло их проверяют, часто не доведя проверку до конца перескакивают с одной гипотезы на другую, многократно возвращаются к уже предложенным, проверенным и отвергнутым гипотезам. Прием фиксации и последовательной проверки любых, даже самых невероятных гипотез, воспитывает систематичность мышления и, вместе с тем, повышает эффективность поискового процесса. Кроме того, следует заметить, что иногда гипотезы, возникающие сразу уже в ходе анализа являются несостоятельными, а «случайные идеи», кажущиеся абсурдными, могут оказаться правильными или полезными. Рассмотрим реализацию этого приема на примере конкретной задачи.

Задача. Некий человек должен был перевезти в лодке через реку волка, козу и капусту. В лодке мог поместиться только один человек, а с ним или волк, или коза, или капуста. Но если оставить волка с козой без человека, то волк съест козу; если оставить козу с капустой, то коза съест капусту. Человек все - таки перевез свой груз через реку. Как он это сделал?

Решение. 1 - ый этап - анализ условия задачи: учитель предлагает следующие вопросы: «Что известно в задаче?», «Что требуется узнать?», «Можно ли перевезти всех за один рейс?»

2 - этап - поиск решения.

Учитель: С чего можно начать переправу?

Далее все предположения детей записываются на доске.

а) перевезти капусту,

б) перевезти волка,

в) перевезти козу

Учитель: Мы выписали несколько предположений - гипотез, которые необходимо проверить. Проверяем гипотезу а). Можно ли перевезти капусту?

Ученик: Нет, т.к. волк съест козу.

Учитель: Значит предложение а) неверно, его можно вычеркнуть.

Проверяем гипотезу б). Можно ли перевезти волка?

Ученик: Нет, т.к. коза без присмотра съест капусту.

Учитель: Значит, предположение б) неверно, его можно вычеркнуть. Проверяем гипотезу в). Можно ли перевезти козу?

Ученик: Можно, волк не съест капусту.

Учитель: Итак, гипотеза в) верна: первым рейсом человек перевезет козу. Что же дальше? Что можно перевести вторым рейсом? Выпишем все предложения.

а) перевезти капусту,     б) перевезти волка     ………………….,    д) увезти козу

Аналогично, все гипотезы проверяются в строгом порядке. К вычеркнутым гипотезам не возвращаемся. У учащихся возникают две гипотезы а) и б). Когда же проверка показывает их несостоятельность, возникают различные предложения, в которых учащиеся пытаются обойти конфликт. Решение заходит в тупик. Поэтому следующим шагом может служить анализ отвергнутых гипотез.

Учитель: У нас было выдвинуто множество гипотез, но все они не верны. Что же в этих гипотезах нам мешало? Давайте обсудим неудачу гипотез а) и б).

Ученики: В гипотезе а) коза съест привезенную капусту. Значит капусту нельзя вести. Если бы не было козы, то капусту можно было бы привезти.

В гипотезе б) волк съест козу, поэтому волка нельзя привозить. Вот если бы не было козы, тогда можно было бы привезти волка.

Учитель: Нам все время мешает коза. Что же делать?

Ученики: Увезти козу.

Учитель: Итак, у нас возникла еще одна гипотеза д) увезти козу. Проверим ее.

Дальнейшие рассуждения приводят к правильному результату.

Задача 2. Проводник. В страну рыцарей и лжецов приехал турист. Первый местный житель, которого он встретил, утверждал, что является рыцарем. Турист обрадовался и нанял его себе в проводники. Через некоторое время они встретили еще одного местного жителя. Турист отправил проводника спросить у него рыцарь он или лжец. Проводник вернулся и ответил, что абориген утверждает, что он рыцарь. Кем был проводник, рыцарем или лжецом?

Решение. Предположим, что проводник - лжец, тогда: а) если абориген рыцарь, проводник ответит, что он лжец; б) если абориген лжец, то он все равно скажет, что он рыцарь, а проводник ответит, что он лжец. Если проводник - рыцарь, тогда: а) если абориген рыцарь, проводник ответит, что он рыцарь; б) если абориген лжец, то проводник ответит, что он рыцарь. Следовательно, проводник - рыцарь.

Задача 3. В гостиницу приехал путешественник. У него была цепочка из 7 звеньев. За

каждый день пребывания в гостинице он должен расплатиться одним звеном цепочки, но при этом хозяин гостиницы предупредил, что согласен взять не более одного распиленного звена. Какие звенья надо распилить, чтобы прожить в гостинице 7 дней и ежедневно расплачиваться с хозяином?

Решение. Следует распилить третье звено. При этом цепочка распадется на куски, состоящие из одного, двух и четырех звеньев. В первый день он должен отдать одно звено, во второй - два звена, получив при этом в сдачу одно, в третий день вновь одно звено, в четвертый - четыре звена и получить в сдачу обрывки в одно и два звена и далее повторить операции первых трех дней.

Приемы моделирования.

По определению Л.М. Фридмана «моделью некоторого объекта А (оригинала, прототипа) называется объект В, в каком-то отношении подобный (аналогичный) оригиналу А, но отличающийся от него». В нашем случае целью построения модели является «замена А в некотором мысленном (воображаемом) или реальном действии, исходя из того, что В более удобно для этого действия в данных условиях». Иными словами, при решении задач мы будем использовать модели - заместители. А моделированием Л.М. Фридман называет «особую деятельность по построению или выбору модели...». Все обучение математике связано с изучением различных математических моделей: число, функция, уравнение, геометрические фигуры и т.д. Однако, работая с моделями, изучая их, учащиеся не осознают свою деятельность в этом аспекте. Необходимо «явное введение в содержание обучения понятий... модели и моделирования»; учащиеся должны осознавать сущность и роль моделирования в математике и не только в ней. Школьники должны сами строить модели, сами изучать какие-то явления с помощью моделирования. Это «существенно меняет отношение школьников к учебным занятиям, делает их учебную деятельность более осмысленной и продуктивной». В 5-6-х классах мы предлагаем обучение приемам моделирования на таких доступных и понятных школьникам примерах, как таблицы, схемы, графы...Эти примеры имеют, быть может, не столько математическое, сколько общеинтеллектуальное, эвристическое значение. Рассмотрим различные приемы моделирования на примере конкретных задач.

1. Прием моделирования на полупрямой.

Если в задаче имеется множество объектов и требуется установить взаимоотношение между элементами этого множества (например, временной зависимости), то задачу можно решать на полупрямой.

Задача. На вечеринку собрались четверо друзей: Аня, Вика, Миша и Коля. Коля пришел раньше Ани, но не был первым. Определите, в какой последовательности друзья приходили к месту встречи, если Вика пришла последней.

Решение. Построим модель описанной ситуации, считая обычный луч «линией времени». Условимся пришедшего на вечеринку раньше обозначать на полупрямой (первой буквой его имени) правее, пришедшего позже – левее. По порядку каждое условие отметим на полупрямой

а) Коля пришел раньше Ани:

б) Коля не был первым, то есть кто-то из друзей опередил Колю:

в) Вика пришла последней:

г) Значит, Миша пришел раньше всех:

Ответ: Миша, Коля, Аня, Вика.

2. Прием моделирования с помощью графов.

Ситуации, в которых требуется найти соответствие между элементами различных множеств, можно моделировать с помощью графов. В этом случае элементы различных множеств будем обозначать точками, а соответствия между ними - отрезками. Пунктирные линии будут обозначать известное отсутствие соотношений.

Задача. Андрей, Борис, Виктор и Григорий после возвращения из спортивного лагеря подарили на память друг другу свои фотографии. Причем каждый мальчик подарил каждому из своих друзей по одной фотографии. Сколько всего фотографий было подарено?

Решение. I способ. С помощью стрелок на ребрах полного графа с вершинами А, Б, В и Г показан процесс обмена фотографиями. Очевидно, стрелок в 2 раза больше, чем ребер, т.е. 6*2 = 12. Столько же было подарено и фотографий.

II способ. Каждый из четверых мальчиков подарил друзьям 3 фотографии, следовательно, всего было роздано 3 • 4 = 12 фотографий.

3. Приемы моделирования с помощью таблиц.

Задача. Перед соревнованиями по плаванию каждого из четырех участников А, Б, В, Г спросили, на какое место он рассчитывает. А сказал: «Я буду первым», Б сказал: «Я не буду последним», В сказал: «Я не буду ни первым, ни последним» и Г сказал: «Я буду последним». После заплыва оказалось, что только один из них ошибочно предсказал результат. Кто из пловцов ошибся?

Решение. Составим таблицу, в которой знаком «плюс» укажем предполагаемые результаты.

Предположим, что ошибся А, тогда он мог занять 2-е или 3-е место (4-е место занял пловец Г, который, если ошибся А, правильно предсказал свой результат, так как по условию ошибся только один пловец). В этом случае возможны следующие варианты распределения мест:

а) А – 2, Б – 1, В – 3, Г – 4;                  б) А – 3, Б – 1, В – 2, Г – 4.

Докажем, что действительно ошибся пловец А. Если бы ошибся Б, т.е. занял 4-е место, то ошибся бы и пловец Г, что противоречит условию задачи. Если бы ошибся В, тогда он должен быть или первым или последним. В таком случае ошибся бы еще один пловец – А или Г. Если бы ошибся Г, то ошибся бы еще один пловец, в противном случае последнее место не занял бы никто. Так как по условию задачи мог ошибиться только один пловец, то Г не ошибся.     Ответ: ошибся пловец А.

4. Приемы моделирования с помощью блок-схемы.

Если в задаче необходимо рассмотреть различные варианты ситуации, проанализировать их и сделать соответствующие выводы, такую ситуацию можно наглядно представить блок-схемой, где каждый шаг в рассуждении выделен отдельным блоком (прямоугольником).

Задача. На некотором острове отдельными селениями живут правдолюбы и шутники. Правдолюбы всегда говорят только правду, а шутники постоянно шутят, а поэтому всегда лгут. Жители одного племени бывают в селении другого, и наоборот. В одно из селений попал путешественник, но не знает, в какие именно. Доказать, что путешественнику достаточно первому встречному задать вопрос: «Вы местный?», чтобы по ответу определить, в селении какого племени он находится.

Решение. Путешественник может попасть или в селение, или в селение «шутников» - появляются два различных варианта. В селении «правдолюбов» путешественник может встретить как «правдолюба», так и «шутника». Аналогично, в селении «шутников» путешественник может встретить как «шутника», так и «правдолюба». Возможных вариантов стало уже четыре.

Блок-схема позволяет их представить наглядно и заметить, что положительный ответ в любом случае возможен только в селении «правдолюбов», а ответ «нет» - только в селении «шутников».

На этих примерах моделей (полупрямая с точками, таблица, граф, блок-схема) отчетливо видна «главная эвристическая функция» моделей (Д.Б. Богоявленская - порождающая, т.е. с модели «как бы считывается тот или иной принцип решения (идея, гипотеза, концепция)».

Прием конкретизации задачи.

Прием конкретизации задачи «состоит в нахождении более частной задачи путем введения дополнительных видовых свойств явлений и конкретных примеров общей задачи» (И.И. Ильясов ). Рассмотрим этот прием на конкретных примерах задач.

Задача. Три ученицы - Галя, Лида и Наташа - в соревнованиях по гимнастике заняли три первых места. Когда же девочек спросили, кто из них занял первое место, они ответили так:

Галя: Я заняла первое место.

Лида: Я заняла не первое место.

Наташа: Я заняла не третье место, однако, вы учтите, что один из ответов моих подруг правильный, а другой - неправильный.

Кто занял в соревнованиях первое место, если Наташин ответ во всем правдив?

Решение. Итак, Наташин ответ правдив, значит, Наташа заняла не третье место, а первое или второе. Проанализируем ответы других девочек. Галя сказала, что заняла первое место. Правдив ли ее ответ? Это не известно. Конкретизируем задачу: пусть Галя сказала правду. Тогда Галя заняла первое место. В этом случае по условию задачи, Лида сказала неправду. Т.е. не верно, что Лида заняла не первое место. Следовательно, Лида заняла первое место. Но тогда получилось, что и Галя, и Лида заняли первое место, что противоречит условию. Выполним конкретизацию по-другому: пусть Галя сказала неправду. Т.е. неверно что, что Галя заняла первое место. Следовательно, Галя заняла второе или третье место. Тогда, в соответствии с условием задачи, известно, что Лида сказала правду, т.е. Лида также заняла не первое место, а второе или третье. Тогда получим, что первое место заняла сама Наташа.

Прием переструктурирования задачи.

Прием переструктурирования задачи, по словам И.И. Ильясова заключается в изменении «расположения уже имеющихся элементов как путем извлечения соотношений между ними в новой диспозиции, так и перестановкой или перегруппировкой этих элементов».

Рассмотрим прием переструктурирования явлений за счет перестановки элементов.

Задача.

Акробат и собачонка

Весят два пустых бочонка.

Шустрый пес без акробата

Весит два мотка шпагата.

А с одним мотком ягненок

Весит, видите, бочонок.

Сколько весит акробат

В пересчете на ягнят?

Решение. Изобразим условие задачи наглядно, обозначив акробата буквой А,собачонка буквой С, ягненка буквой Я, бочонки и мотки шпагата соответствующими изображениями букв.

                А+С=2Б

                С=2Ш

                Ш+Я=Б

                2Ш+2Я=2Б

                С+2Я=2Б

                А=2Б-С

                2Я=2Б-С

                А=2Я

Элементы из третьего равенства переставим в первое условие, заменив каждый бочонок ягненком с мотком шпагата.

В равенство А+С=Я+ +Я+ подставим элементы второго условия, т.е. заменим два мотка шпагата собаченкой.

А+С=2Я+С

Итак, А = 2Я, акробат весит столько же, сколько и два ягненка. Задача решена.

Прием разбиения задачи на части.

В случае, когда в задаче можно выделить такие части, которые составляют самостоятельные задачи, то можно сформулировать их отдельно в виде подзадач и решить по очереди.

Задача. Заспорили три мудреца о том, кто из них самый мудрый. Наконец, они обратились к судье, славившемуся своей мудростью. «Скажи нам, справедливейший из судей, кто из нас самый мудрый?»

Задумался судья, а потом и говорит: «Вот перед вами лежат 5 тюбетеек: 3 из красного бархата, а 2 - из черного. Сейчас вам завяжут глаза и наденут тюбетейки на головы. Когда повязки с ваших глаз снимут, самый мудрый из вас скажет, какая тюбетейка у него на голове».

Так и сделали. Сняли повязки с глаз: видит каждый перед собой красные тюбетейки на головах товарищей, а какая на своей голове - не знает. Наконец, один мудрец сказал: «О справедливейший из судей! Ты велел надеть на меня красную тюбетейку».

«Вот ты и есть самый мудрый из вас троих» - решил судья.

Как мудрец догадался, что на нем красная тюбетейка?

Решение. Так как всего было 5 тюбетеек:

3 красные и 2 черные, то возможны три различных варианта:

а) на трех мудрецов надели 2 черные и 1 красную тюбетейку;

б) на трех мудрецов надели 1 черную и 2 красные тюбетейки;

в) на трех мудрецов надели 3 красные тюбетейки.

Каждый случай можно рассмотреть отдельно. Причем любая предыдущая подзадача помогает разобраться в последующей подзадаче.

В случае а) кто-то из мудрецов увидел бы или 2 черные тюбетейки (если на нем самом была красная), или 1 черную (если на нем была черная). А это противоречит условию, где сказано, что каждый увидел только красные тюбетейки.

В случае б) любой из собратьев обладателя черной тюбетейки увидел бы ее. А это тоже противоречит условию.

Остается случай в). К нему можно прийти без всяких дополнительных рассуждений.

Но тот, кто догадался о цвете своей тюбетейки, не знал, что каждый из спорщиков увидел только красные тюбетейки. Он мог предполагать, что на нем - черная. Но ему подсказало верный ответ молчание товарищей. Если бы кто-то из них увидел два черных головных убора, то сразу бы дал верный ответ относительно себя. Но молчание обоих свидетельствовало о том, что любой из них сомневался относительно того, какая тюбетейка у него на голове. А это могло быть только тогда, когда каждый увидел две красные тюбетейки.

Итак, резюмируя вышеизложенное, отметим: во-первых, на уроках математики в 5-6-х классах может проходить работа по формированию следующих эвристических приёмов:

- работа с гипотезами (выдвижение, проверка, анализ);

- моделирование проблемной ситуации;

- прием конкретизации проблемной ситуации;

- прием переструктурирования задачи;

- прием разбиения задачи на части.

Во-вторых, одним из важнейших средств формирования приёмов эвристической деятельности учащихся 5-6-х классов могут служить творческие задачи, способствующие развитию творческого мышления.

Обучение по данной системе задач может осуществляться либо на специальных занятиях в виде факультатива по развитию творческого мышления, либо в рамках обучения математики. Основной метод обучения эвристический. Этот метод целесообразно использовать при ознакомлении учащихся с новым эвристическим приемом.

На уроках математики в 5 - 6 классах может проходить работа по формированию следующих эвристических приемов:

- работа с гипотезами;

- моделирование проблемной ситуации;

- прием конкретизации проблемной ситуации;

- прием переструктурирования задачи;

- прием разбиения задачи на части.

Литература

1. Скафа Е., Власенко Е., Гончарова И. Комплексный подход к развитию творческой личности через систему эвристических заданий по математике: Книга для учителя [Текст]. - Донецк: ТЕАН, 2003.

2. Семенов Е.Е. Размышления об эвристиках //Математика в шк. - 1995. - № 5. - C. 39-43.

3. Хуторской А.В. «Эвристическое обучение», Москва, 2000.

4. Гурова Л.Л. Психологический анализ решения задач. - Воронеж: Изд - во Воронеж. ун - та, 1976.

5. Ильина Т.А. Педагогика. - М.: Просвещение, 1984.

6.Богословская Д.Б. Об эвристической функции модели проблемной ситуации //сб. «Проблемы эвристики». - М.: изд-во «Высшая школа»,1969.

7. Кулюткин Ю.К., «Эвристические методы в структуре решений», М.: Педагогика, 1970.

8. Коменский Я.А. Великая дидактика. - М.: Педагогика, 1989.

9. Выготский Л.С. Педагогическая психология / Под ред. В.В.Давыдова. - М.: Педагогика-Пресс, 1996.

10. Гальперин П.Я., Данилов, В.Л. Воспитание систематического мышления в процессе решения малых творческих задач. // Вопросы психологии. - 1980. - №1.

11. Андреев В.И. Диалектика воспитания и самовоспитания творческой личности. Основы педагогики творчества. - Казань: 1988.

12. Андреев В.И. Диалектика воспитания и самовоспитания творческой личности. Основы педагогики творчества. - Казань: 1988.

13. Лернер И.Я. Дидактические основы методов обучения. - М.: Педагогика, 1981.

14. Окунев А.А. Как учит не уча. - Спб.: Питер-пресс, 1996.

15. Кулюткин Ю.Н., Сухобская, Г.С. Развитие творческого мышления школьников. - Л.: 1967.

16. Воробьёв Г.Г. Школа будущего начинается сегодня. - М., 199117. Сойер, У.У. Прелюдия к математике. - М.: Просвещение, 1972.

18. Фридман Л.М. Теоретические основы методики обучения математики. - М.: Флинта, 1998.

19. Ильясов И.И. Система эвристических приемов решения задач. - М.: РОУ, 1992.

20. Пойа Д. Как решать задачу. // Квантор. - 1991. - № 1.

21. Пойа Д. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание. - М.: Наука, 1970.