Сборник задач для работы с одаренными детьми
олимпиадные задания по математике (7, 8, 9 класс)

Система заданий для учащихся 7-9 классов по углублению  школьного курса математики

7 КЛАСС

1. Верно ли, что для любых чисел a и b выполняются условия

2.Известно, что . Верно ли, что ?

3. Известно, что . Запишите в виде двойного неравенства, что среднее арифметическое чисел a и b заключено между числами a и b.

4. При каких значениях коэффициента m уравнение mx=5 имеет единственный корень? Существует ли такое значение m, при котором это уравнение не имеет корней? Имеет бесконечно много корней?

5. Решите уравнения:

а) (х+2)(х-9) = 0

б) (х+1)(х-1)(х-5) = 0

6. Не решая уравнения 7(2х+1)=13 докажите, что его корень не является целым числом.

7. При каких значениях а уравнение ах = 8 имеет а) корень, равный -4; б) не имеет корней; в) имеет отрицательный корень.

8. При каком значении а точка А (а; -1) принадлежит графику функции у=3,5х

9. Задайте формулой линейную функцию, графиком которой служит прямая, проходящая через точку А(2;3) и параллельная графику функции у=1,5x - 3

10. Докажите, что уравнение не имеет положительных корней.

11. Точка А(a;b) принадлежит графику функции у=х•х. Принадлежат ли этому графику точки В(-a;b), C(a; -b), D(-a; -b).

12. Докажите, что сумма чисел и кратна сумме a и b.

13. Трехзначное число оканчивается цифрой 7. Если эту цифру переставить на первое место, то число увеличивается на 324. Найти трехзначное число.

14. Докажите, что значение выражения а•а - а кратно 2 при любом целом значении а.

15. Решите уравнения: 

16. Найдите все корни уравнения |х - 2008| = 2009.

17. Гонцу надо было пробежать 24 мили. Две трети этого расстояния он бежал со средней скоростью 8 миль в час. Сможет ли он, увеличив скорость, пробежать остаток пути так, чтобы его средняя скорость на всем пути оказалась равной 12 миль в час.

18. Дима взял 2008 одинаковых квадратиков. Он хочет сложить из всех этих квадратиков прямоугольник. Сколько различных прямоугольников он может получить?

19. Четверо купцов заметили, что если они сложатся без первого, то соберут 90 рублей, без второго – 85, без третьего – 80, без четвертого – 75 рублей. Сколько у кого денег?

20. Последовательность чисел строится по следующему закону. На первом месте стоит число 7, далее за каждым числом стоит сумма цифр его квадрата, увеличенная на единицу. Например, на втором месте стоит число 14, так как 72 = 49, а 4 + 9 + 1 = 14. На третьем месте стоит число 17 и так далее. Какое число стоит на 2008-м месте?

 8 КЛАСС

1. Докажите, что (а+1)(b+1) – (а-1)(b-1) =18, если а+ b=9

2. Представьте в виде произведения:

а) (х+1)3 + х3;

б) 27а3 – (а - b)3.

3. Решите уравнение х3 - 2х2 - х + 2 = 0.

4. Постройте график уравнения

а) (х-2)(у-3) =0

б)

5. При каком значении k системаимеет единственное решение?

6. Написали два числа. Если первое число увеличить на 30%, а второе уменьшить на 10%, то их сумма увеличится на 6. Если же первое число уменьшить на 10%, а второе на 20%, то их сумма уменьшится на 16. Какие числа были написаны?

7. Построить треугольник:

а) по двум сторонам и высоте, проведенной из одной вершины;
б) по углу, высоте и биссектрисе, проведенным из вершины этого угла;
в) по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и высоте, опущенной на другую сторону;

г) по острому углу и двум высотам, проведенным к сторонам, образующим данный угол.

8. На продолжениях медиан BM и CN треугольника ABC за точки M и N отложены отрезки MP и NQ, соответственно равные BM и CN. Докажите, что прямая PQ проходит через точку A.

9. Медиана AM треугольника ABC перпендикулярна его биссектрисе BK. Найдите AB, если BC=12.

10. Один из углов треугольника равен . Найдите угол между биссектрисами двух других углов.

11. Острый угол прямоугольного треугольника равен 30 градусам, а гипотенуза равна 8. Найти отрезки, на которые делит гипотенузу высота, проведенная из вершины прямого угла.

12.Какой цифрой оканчивается сумма 9 2007 +9 2006 ?

13. В оранжерее было срезано 360 гвоздик. Причем красных на 80 больше, чем белых, а розовых на 160 штук меньше, чем красных.

 Какое наибольшее число одинаковых букетов можно составить из этого количества цветов ?

 Сколько и каких цветов было в каждом букете?

9. КЛАСС

1.Построить графики следующих функций:

2. При каких целых значениях n значение выражения является натуральным числом?

3. Упростить выражения:

  4. Решите уравнения:

5. При каких значениях параметра а один из корней уравнения

 (а2 - 5а + 3)•х2+ (3а - 1)•х + 2 = 0 в два раза больше другого?

6.  При каких значениях параметра b уравнение х2 + bх + 4 = 0: а) имеет один из корней, равный 3; б) имеет различные корни; в) имеет один корень; г) не имеет корней?

7. Сторона треугольника равна а. Найдите отрезок, соединяющий середины медиан, проведенных к двум другим сторонам.

8. Докажите, что расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот вдвое больше, чем расстояние от центра описанного круга до стороны, противолежащей этой вершине.

9. Найти отношение оснований трапеции, если ее средняя линия делится диагоналями на три равные части.

10. Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, равен R. Угол при основании равен. Найдите стороны треугольника.