Задания по олимпиаде ( математика 9-11 классы)
олимпиадные задания по математике (9, 10, 11 класс)

Олимпиада  по математике 9 класс

1. Цифры от 1 до 9 нужно разместить в фигуре на рис.1 так, чтобы одна цифра была в центре восьмиугольника, другие – у концов каждой диагонали и сумма каждого ряда составляла 15.

2. У любителя головоломок спросили, сколько ему лет? Ответ был замысловатый: «Возьмите трижды мои годы через три года, да отнимите трижды мои годы три года назад, - у вас как раз и получается мои годы». Сколько же ему теперь лет?

      3. Разрезать прямоугольник по прямой линии на две части, из которых можно сложить треугольник.

4. Крестьянин, покупая товары, сначала уплатил первому купцу половину своих денег и еще один рубль; потом уплатил второму купцу половину оставшихся денег, да еще два рубля и, наконец, уплатил третьему купцу половину оставшихся денег да еще один рубль. После этого денег у крестьянина совсем не осталось денег. Сколько денег было у крестьянина первоначально?

5. Отправляясь за покупками, я имел в кошельке около 15 рублей, отдельными рублями и 20-копеечными монетами. Возвратившись, я принес столько отдельных рублей, сколько у меня было первоначально 20-копеечных монет, и столько 20-копеечных монет, сколько я имел раньше отдельных рублей. Всего же уцелела у меня в кошельке треть той суммы, с которой отправился я за покупками. Сколько стоили

Олимпиада  по математике 9 класс

1. Цифры от 1 до 9 нужно разместить в фигуре на рис.1 так, чтобы одна цифра была в центре восьмиугольника, другие – у концов каждой диагонали и сумма каждого ряда составляла 15.

2 У любителя головоломок спросили, сколько ему лет? Ответ был замысловатый: «Возьмите трижды мои годы через три года, да отнимите трижды мои годы три года назад, - у вас как раз и получается мои годы». Сколько же ему теперь лет?

      3. Разрезать прямоугольник по прямой линии на две части, из которых можно сложить треугольник.

4. Крестьянин, покупая товары, сначала уплатил первому купцу половину своих денег и еще один рубль; потом уплатил второму купцу половину оставшихся денег, да еще два рубля и, наконец, уплатил третьему купцу половину оставшихся денег да еще один рубль. После этого денег у крестьянина совсем не осталось денег. Сколько денег было у крестьянина первоначально?

5. Отправляясь за покупками, я имел в кошельке около 15 рублей, отдельными рублями и 20-копеечными монетами. Возвратившись, я принес столько отдельных рублей, сколько у меня было первоначально 20-копеечных монет, и столько 20-копеечных монет, сколько я имел раньше отдельных рублей. Всего же уцелела у меня в кошельке треть той суммы, с которой отправился я за покупками. Сколько стоили

1

2.  Сколько лет?

3(х+3)-3(х-3)=х,   х=18

3.

4. Третий купец получил, два рубля, значит, эта сумма была у крестьянина, когда он уходил от второго купца. Сумма, заплаченная второму купцу, без двух рублей составляет, поэтому 4рубля, и крестьянин, уходя от первого купца, имел 8 рублей. Деньги заплаченные первому купцу без одного рубля, составляют 9 рублей, значит, первоначально крестьянин имел вдвое больше, то есть 18 рублей.

5. х - число отдельных рублей, у - число 20 копеечных монет

(100х+20у) – коп. денег первоначально

(100у+20х) – коп. денег после покупки

3(100у+20х)=100х+20у

х=7у,    

у=1, то х=7, то 7руб.20коп

у=2, то х=14, то 14руб.40 коп.

у=3, то х=21, то 21руб.60коп.  

Ответ: 14руб 40 коп, (так как имел около 15 рублей)

Олимпиада по математике  10 класс

1. Используя каждую из цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9  ровно по одному разу, а также знаки арифметических  действий  и скобки, получите число 2012. (Из цифр можно составлять числа.)

2. а+в+с=5,  ав+вс+ас=5. Чему равна сумма а2+в2+с2 ?

3. Постройте график функции  у =
4. В королевстве 1001 город. Король приказал проложить между городами дороги, чтобы из каждого города выходили ровно 7 дорог. Смогут ли подданные справиться с приказом короля?

5. Из вершины  В  треугольника АВС проведены медиана и высота, которые разделили угол АВС на три равные части. Определите углы  треугольника АВС.

Олимпиада по математике 10 класс

1. Используя каждую из цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9  ровно по одному разу, а также знаки арифметических  действий  и скобки, получите число 2012. (Из цифр можно составлять числа.)

2. а+в+с=5,  ав+вс+ас=5. Чему равна сумма а2+в2+с2 ?

3. Постройте график функции  у =
4. В королевстве 1001 город. Король приказал проложить между городами дороги, чтобы из каждого города выходили ровно 7 дорог. Смогут ли подданные справиться с приказом короля?

5. Из вершины  В  треугольника АВС проведены медиана и высота, которые разделили угол АВС на три равные части. Определите углы  треугольника АВС.

Олимпиада по математике 10 класс

6. Используя каждую из цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9  ровно по одному разу, а также знаки арифметических  действий  и скобки, получите число 2012. (Из цифр можно составлять числа.)

7. а+в+с=5,  ав+вс+ас=5. Чему равна сумма а2+в2+с2 ?

8. Постройте график функции  у =
9. В королевстве 1001 город. Король приказал проложить между городами дороги, чтобы из каждого города выходили ровно 7 дорог. Смогут ли подданные справиться с приказом короля?

10. Из вершины  В  треугольника АВС проведены медиана и высота, которые разделили угол АВС на три равные части. Определите углы  треугольника АВС.

Ответы 10 класс

1.Например, 1985+23+4*(7-6)=2012

2. Ответ  15

3.Постройте график  у =

На прямой y = 3 - x выколоть точки с абсциссами x=2 и x= -2

4.

.

5.

Олимпиада по математике 11 класс

1. Два автомобилиста проехали по 240км. Первый автомобилист половину всего пути делал остановки через каждые 4км, а другую половину – через каждые 5км. Второй автомобилист четверть всего пути делал остановки через каждые 3км, а оставшуюся часть – через каждые 6км. Какой автомобилист сделал больше остановок и на сколько?

2. Составьте уравнение параболы у = ах2 + вх + с, если она проходит через точку А(1; 3), а точка

В(0,5; 16) является её вершиной.

3.  Доказать, что для любых чисел х и у справедливо неравенство:  х2 – 2х + 4у2 – 16у + 17 ≥ 0.

4.  Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам треугольника. Докажите, что периметр образовавшегося четырехугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника.

5. Доказать, что если натуральное число не делится на 3, то остаток от деления квадрата этого числа на 3 равен 1.

Олимпиада по математике 11 класс

1. Два автомобилиста проехали по 240км. Первый автомобилист половину всего пути делал остановки через каждые 4км, а другую половину – через каждые 5км. Второй автомобилист четверть всего пути делал остановки через каждые 3км, а оставшуюся часть – через каждые 6км. Какой автомобилист сделал больше остановок и на сколько?

2. Составьте уравнение параболы у = ах2 + вх + с, если она проходит через точку А(1; 3), а точка

В(0,5; 16) является её вершиной.

3.  Доказать, что для любых чисел х и у справедливо неравенство:  х2 – 2х + 4у2 – 16у + 17 ≥ 0.

4.  Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам треугольника. Докажите, что периметр образовавшегося четырехугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника.

5. Доказать, что если натуральное число не делится на 3, то остаток от деления квадрата этого числа на 3 равен 1.

Олимпиада по математике 11 класс

1. Два автомобилиста проехали по 240км. Первый автомобилист половину всего пути делал остановки через каждые 4км, а другую половину – через каждые 5км. Второй автомобилист четверть всего пути делал остановки через каждые 3км, а оставшуюся часть – через каждые 6км. Какой автомобилист сделал больше остановок и на сколько? (4 б)

2. Составьте уравнение параболы у = ах2 + вх + с, если она проходит через точку А(1; 3), а точка

В(0,5; 16) является её вершиной. (5 б)

3.  Доказать, что для любых чисел х и у справедливо неравенство:  х2 – 2х + 4у2 – 16у + 17 ≥ 0. (4 б)

4.  Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам треугольника. Докажите, что периметр образовавшегося четырехугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника. (6 б)

5. Доказать, что если натуральное число не делится на 3, то остаток от деления квадрата этого числа на 3 равен 1. (7 б)    Всего 26 б

Ответы 11 класс

1).Первый автомобилист на первых 120км через каждые 4км сделал 30 остановок, на следующих 120км через каждые 5км он сделал 23 остановки, всего 53 остановки.

Второй автомобилист на первых 60км через каждые 3км сделал 20 остановок, на следующих 180км через каждые 6км он сделает 29 остановок, всего 49 остановок.

Значит, больше сделал остановок первый, на 4.

2).Так как точка А(1; 3) лежит на параболе, то а + в + с = 3.

    Так как абсцисса вершины равна 0,5, то .

    Так как ордината вершины равна 16, то

   Составляем и решаем систему трёх уравнений, получим

  Откуда:  а = - 52, в = 52, с = 3.

  Ответ: у = - 52х2 + 52х = 3.

3). (х2 – 2х + 1) + (4у2 – 16у + 16) = (х – 1)2 + (2у – 4)2 ≥ 0 при любых значениях х,у.

4).Пусть ∆АВС – равнобедренный, с основанием АВ. Р∈АВ. Проведем РК||ВС и РМ||АС, образовавшийся 4-угольник СКРМ – параллелограмм (по определению), тогда СМ = КР,            РМ = СК. Периметр СКРМ равен 2(СМ + СК). Сумма боковых сторон ∆АВС равна АС + ВС =                    = АК + СК + СМ + ВМ, но АК = КР, РМ = ВМ как боковые стороны равнобедренных треугольников АКР и ВМР. Итак, АК = КР = СМ, СК = РМ = ВМ. Тогда АС + ВС = 2(СМ + СК).

5).Пусть х – данное натуральное число. Так как х не делится на 3, то х = 3к + 1 или х = 3к + 2, где к∈N. Тогда х2 = (9к2 + 6к) + 1 или х2 = (9к2 + 12к + 3) + 1. В обоих случаях число х2 при делении на 3 даёт остаток 1.