Задачи на проценты
методическая разработка по математике (5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класс)

Слайд 1

Задачи на проценты. Аттар Лариса Борисовна, учитель математики ГБОУ школы 588

Слайд 2

Содержание Процент . Сокращенные процентные соотношения. Разминка. Основные задачи на проценты: Нахождение процентов числа. Нахождение числа по его процентам Нахождение процентного отношения двух чисел 4. Задачи на смеси.

Слайд 3

Процент Проце́нт ( нем. Prozent , от новолат . per centum «на сотню; сотая») — сотая часть; обозначается знаком « % »; используется для обозначения доли чего-либо по отношению к целому https://ru.wikipedia.org /

Слайд 4

100% = 1 10% = 1/10 50% = ½ 5% = 1/20 25% = 1/4 200% = 2 1% = 1/100 Сокращенные процентные соотношения

Слайд 5

Задание 1. Какие из утверждений означают одно и то же: величины относятся как 1:2 А) одна величина вдвое меньше другой; Б) вторая величина на 300% больше первой ; В) вторая величина на 100% больше первой; Г) одна величина составет от другой 50%;

Слайд 6

50% от 200р =…….. 150р. 250р. 100р. Задание 2 . Молодцы!

Слайд 7

Задание 3 . Установите соответствие 7 % 16% 113% 0,4% 25% 0,04 0,25 0,07 0,16 1,13

Слайд 8

Основные задачи на проценты р % = 0,01р = р /100 1. Нахождение процентов данного числа. Чтобы найти р % от а , надо а·0,01р 2 . Нахождение числа по его процентам. Если известно, что р% числа равно b , то а = b : 0,01р 3 . Нахождение процентного отношения чисел. Чтобы найти процентное отношение чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100% а/ b · 100

Слайд 9

Задание 4 . Произвести расчеты 1. Найти 25% от 56 14 2. Сколько % составит 30 от 75? 40 Какое число, увеличенное на 13% составит 339? 300 3.Найдите число, 20% которого равны 12 60 5. В избирательном округе нашего посёлка 1005 человек. В голосовании приняло 40%.Сколько человек голосовало? 402 Банк начисляет на вклад ежегодно 8% от вложенной суммы. Сколько рублей будет начислено через год на вклад в 5000 р .? 400 р.

Слайд 10

Задание 5 Выполните тест :

Слайд 11

Физкультминутка

Слайд 12

Задачи на проценты экономического содержания

Слайд 13

При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 5%. Терминал принимает суммы кратные 10 рублям. Аня хочет положить на счет своего мобильного телефона не менее 300 рублей. Какую минимальную сумму она должна положить в приёмное устройство данного терминала? Решение: 300 · 0,05= 15 (р) – комиссия 300+15 = 315 (р) – можно положить 320 р. надо положить на счёт Ответ:320р. ЗАДАЧА 1.

Слайд 14

ЗАДАЧА 2. На покупку планшета взяли кредит 20000 р. на 1 год под 20 % годовых . Вычислите, сколько денег необходимо вернуть банку? Какова ежемесячная сумма выплат? Решение : 20000 · 0,20 = 4000(р ) составляют проценты 20000 + 4000 = 24000 (р) вся сумма выплат 24000:12 = 2000(р )- за 1 месяц Ответ:24000р., по 2000р.в месяц.

Слайд 15

ЗАДАЧА 3. Мобильный телефон стоил 5000 рублей. Через некоторое время цену на эту модель снизили до 3000 рублей. На сколько процентов была снижена цена? Решение : 5000 – 3000 = 2000(р) – на столько снижена цена на телефон (2000: 5000) · 100% = (2:5) · 100% = 0,4 · 100 = =40 % на столько снижена цена Ответ: на 40 %.

Слайд 16

Задачи для дополнительного решения: 1.В магазине цены были сначала повышены на 10%, а потом снижены на 10%. Как изменились цены? 2.На сколько процентов новая цена меньше старой и на сколько процентов старая цена больше новой, если: Цена снижена наполовину; Цена повышена наполовину; Цена увеличена в 4 раза; Цена уменьшена в 3 раза? 3.Фирма платит рекламным агентам 5% от стоимости заказа. На какую сумму надо найти заказ, чтобы заработать 1000р.? 4.Предприниматель покупает кондитерские изделия по оптовой цене 96 р. и продает их в розницу с надбавкой в 30%. Какова розничная цена ?

Слайд 17

5.Владелец дискотеки имел стабильный доход. В погоне за прибылью он увеличил цену на билеты на 25%. Количество посетителей резко уменьшилось, и он стал нести убытки. Тогда он вернулся к первоначальной цене билетов. На сколько процентов владелец дискотеки снизил новую цену билетов, чтобы она стала первоначальной? 6.После уплаты всех налогов, которые в сумме составили 30% от дохода, предприниматель оставил себе на законном основании 35000р.Какова была величина чистого дохода предпринимателя? 7.В Санкт-Петербурге месячный проездной билет для студентов стоит 350р. Сколько процентов составляет от стипендии цена проездного билета, если стипендия -900р.?

Слайд 18

8.Владелец дискотеки имел стабильный доход. В погоне за прибылью он увеличил цену на билеты на 25%. Количество посетителей резко уменьшилось, и он стал нести убытки. Тогда он вернулся к первоначальной цене билетов. На сколько процентов владелец дискотеки снизил новую цену билетов, чтобы она стала первоначальной? 9.После уплаты всех налогов, которые в сумме составили 30% от дохода, предприниматель оставил себе на законном основании 35000р.Какова была величина чистого дохода предпринимателя? 10.В Санкт-Петербурге месячный проездной билет для студентов стоит 350р. Сколько процентов составляет от стипендии цена проездного билета, если стипендия -900р.?

Слайд 19

11.В одном магазине на товар установили цену 200р., а в другом аналогичный товар стоит 180р. а) На сколько процентов в первом магазине цена на товар выше, чем в первом? б)На сколько процентов во втором магазине цена ниже, чем в первом? 12.Первоначально цена на аналогичный товар в двух магазинах была одинакова. В первом магазине цену сначала снизили на 20%, а потом еще на 20%, а во втором магазине ее сразу снизили на 40%. Одинаковы ли стали цены в магазинах? 13.Цена на бензин в первом квартале увеличилась на 20%, а во втором- на 30%. На сколько процентов увеличилась цена на бензин за два квартала? 14.Зарплату рабочему повысили на 10%, а через год еще на 20%. На сколько процентов повысилась зарплата по сравнению с первоначальной? 15.Определите первоначальную стоимость продукта, если после подорожания на 120%,200%,100% его конечная стоимость составила 264р.?

Слайд 20

Задачи по теме « Проценты» по банковским операциям 1.Банк выплачивает вкладчикам каждый год 8% от внесенной суммы. Клиент сделал вклад в размере 200000р. Какая сумма будет на его счете через 5 лет. Через 10 лет? 2.При какой процентной ставке вклад на сумму 55р. Возрастет за 6 месяцев до 650р. 3.Каким должен быть начальный вклад, чтобы при ставке 4% в месяц он увеличился за 8 месяцев до 33000р. 4.Вкладчик открыл счет в банке, внеся 200р. На вклад, годовой доход по которому составляет 12%, и и решил в течение 6 лет не брать процентные начисления. Какая сумма будет лежать на его счете через 6 лет? 5.Каким должен быть первоначальный капитал, чтобы при начислении 5% в месяц получить через полгода 10000р.? Какой должна быть процентная ставка в банке, чтобы каждые три года капитал увеличивался в 4 раза?

Слайд 21

Задачи по теме «Проценты» геометрического содержания. 1.Каждую сторону квадрата увеличили на 20%. На сколько процентов увеличилась площадь квадрата? 2.На сколько процентов увеличится объем куба, если его ребро увеличили на 10%. 3.Длину прямоугольника уменьшили на 20%. На сколько процентов надо увеличить ширину прямоугольника, чтобы его площадь не изменилась?

Слайд 22

Задачи по теме «Проценты » произвольного содержания. 1.Произведение двух чисел равно 10, а их сумма составляет 70% от произведения. Найдите эти числа. 2.В одном из городов часть жителей умеет говорить только по-грузински, часть только по-русски. По-грузински говорят 85% всех жителей, а по-русски-75%. Сколько процентов всех жителей говорят на обоих языках? 3.Ученик прочитал в первый день 15% всей книги, что составило 60 страниц, во второй день прочитал 200страниц. Сколько страниц ему осталось прочитать? 4.Сравните числа а и в, если 3% числа а равны 27, а 5% числа в равны 45. Определите, какую массу картофеля (сырья) нужно взять для получения 120кг полуфабриката, если потери при холодной обработке составляют 20% массы сырья. 5.В двух бочках было воды поровну. Количество воды в первой бочке сначала уменьшили на 10%, а затем увеличили на 10%. Количество воды во второй бочке сначала увеличили на 10%, а затем уменьшили на 10%. В какой бочке стало больше воды? 6.За три года население города увеличилось с 2000000 до 2315250 человек. Найдите годовой прирост населения в процентах. 7.Производительность труда на заводе снизилась на 20%. На сколько процентов ее надо повысить, чтобы достигнуть первоначальной?

Слайд 23

Задачи по теме «Проценты » с историческими сюжетами. 1. Завещание Бенджамина Франклина: «Препоручаю 1000 фунтов стерлингов бостонским жителям. Если они примут эту тысячу фунтов, то должны поручить ее отборнейшим гражданам, а они будут давать ее с процентами по 5 на 100 в год в заем молодым ремесленникам. Сумма эта через 100 лет возвысится до 131000 фунтов. Я желаю, чтобы тогда 100000 фунтов употреблены были на постройку общественных зданий, а остальные 31000 фунтов отданы были в проценты на 100 лет. По истечении второго столетия сумма возрастет до 4061000 фунтов, из коих 1061000 фунтов оставляю в распоряжение бостонских жителей, а 3000000 фунтов правлению Массачусетской общины. Далее не осмеливаюсь простирать своих видов».мы видим, что завещав всего 1000 фунтов, Б.Франклин распоряжается миллионами. Проверьте, не ошибся ли он в своих расчетах.

Слайд 24

Задачи на смеси и сплавы

Слайд 25

Наименова-ние веществ, растворов, смесей, сплавов % содержание вещества (доля содержания вещества) Масса раствора (смеси, сплава) Масса вещества Алгоритм оформления задачи:

Слайд 26

Задача 4 . Смешали 8 литров 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 12 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? % сод-ние вещества Масса раствора Масса вещества 1 раствор 15% = 0,15 8 л. 8 ∙ 0,15 =1,2л. 2 раствор 25% = 0,25 12 л. 12 ∙ 0,25 =3л. смесь 20 л. 4,2л.

Слайд 27

С =( m вещества ‏ : m раствора) ·100% где, С-концентрация раствора Решение. С=( 4,2 : 20)·100%= 21% Ответ: 21%.

Слайд 28

% сод-ние вещества Масса раствора Масса вещества 1 раствор 20%=0,2 х гр. 0,2х гр. 2 раствор 70%=0,7 у гр. 0,7у гр. смесь 50%=0,5 100 гр.. 0,2х+0,7у гр.. Задача 5 . Один раствор содержит 20 % соли, а второй – 70 %. Сколько граммов первого и второго раствора нужно взять, чтобы получить 100 г 50% раствора. .

Слайд 29

Решение. 50% от 100гр = 50 гр. Система уравнений: х + у = 100 0,2х + 0,7 у = 50 {

Слайд 30

Задача 6 . Первый сплав содержит 10 % меди, второй - 25 % меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 3 кг, содержащий 20 % меди. Какое количество каждого сплава было использовано?

Слайд 31

% содержания вещества Масса сплава Масса меди 1 сплав 10% = 0,1 Х кг. 0,1 х кг. 2 сплав 25% = 0,25 У кг. 0,25 у кг. сплав 20 % = 0,2 3 кг. 3 ∙ 0, 2=0,6 кг. 0 , 1х + 0,25 у = 3 ∙ 0 ,2 х + у = 30 ( 3 – у ) ∙ 0,1 + у ∙ 0,25 = 0,6 0,15 у = 0,3 у = 2 , значит х = 1. Ответ : 1 сплав – 1 кг, 2 сплав – 2 кг . ( 3 – у ) ∙ 0,1 + у ∙ 0,25 = 0,6 х = 3 - у 1способ

Слайд 32

% содержания вещества Масса сплава Масса меди 1 сплав 10% = 0,1 х кг 0,1 х 2 сплав 25% = 0,25 ( 3 - х ) кг ( 3 – х) ∙ 0,25 сплав 20 % = 0,2 3 кг 3 ∙ 0, 2 х ∙ 0,1 + ( 3 - х ) ∙ 0,25 = 3 ∙ 0,2 х ∙ 0,1 + 0,75 - х ∙ 0,25 = 0,6 - 0,15 х = - 0,15 х = 1 , значит 3 – 1 = 2. Ответ : 1 сплав – 1 кг, 2 сплав – 2 кг 2 способ

Слайд 33

По формуле m1·p1 +m2·p2 + …+ · =p(m1+ m2 + … + ) , где m 1 , m2 , - массы растворов, Р –процентное содержание нового раствора, p1 и p 2, - процентное содержание растворов. 3 способ Решение: Пусть масса первого раствора Х кг, масса второго раствора у кг. Используя формулу составим систему уравнений. 10х +25у =20·3 Х + у =3 10х +25у =60 Х =3-у 10(3-х)+25у=60 15у=30 У=2 Х=3-2=1 Ответ:1 сплав – 1 кг, 2 сплав – 2 кг.

Слайд 34

При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получился раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы? Решение. 20%=1/5 30%=3/10 50%=1/2 Составим уравнение: 1/5 · х + 1/2 · у = 3/10 · ( х + у) х у х + у получили Задача 7

Слайд 35

Решаем уравнение: 1/5 · х + 1/2 · у = 3/10 · ( х + у) 1/5 · х + 1/2 · у = 3/10 · х + 3/10 · у 1/5 · х - 3/10 · х = 3/10 · у - 1/2 · у х (1/5 - 3/10) = у (3/10 - 1/2 ) Надо найти отношение первого и второго растворов, т.е. как х : у, поэтому уравнение делим на у : Получаем: х /у · (-1/10) = -1/5 х /у = ( -1/5 ) : (-1/10 ) = -1/5 · (-10/1 ) = + 2 Значит х : у = 2:1 Ответ: 2:1

Слайд 36

Задачи по теме «Проценты » на растворы, сплавы, смеси. 1. Сколько граммов воды можно выпарить из 80г 6%- го раствора соли, чтобы получить раствор, содержащий 10% соли? 2. Имеется два кислотных раствора: один 20%, другой 30%.Взяли 0,5л первого и 1,5л второго и образовали новый раствор. Какова концентрация кислоты в новом растворе? 3. Смешали 300г 50% и 100г 30% раствора кислоты. Определите процентное содержание кислоты в полученной смеси. 4. Сколько чистой воды надо добавить к 300г морской воды, содержащей 4% соли, чтобы получить воду, содержащую 3% соли? 5. Имеется два сосуда, содержащие 4кг и 6кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 35% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то получим раствор, содержащий 36% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в каждом растворе?

Слайд 37

6. имеется два раствора серной кислоты в воде, первый 40%, второй 60%. Эти растворы смешали, после чего добавили5 кг чистой воды и получили 20% раствор кислоты. Если бы вместо 5кг воды добавили 5кг 80% раствора, то получили бы 70% раствор. Определите количество 40% и 60% раствора. 7. Имеются две смеси апельсинового и ананасового соков. Первая смесь содержит 40% апельсинового сока, а вторая -80%. Сливаются р литров первой смеси и g литров второй, в результате получается 20л смеси, содержащей 70% апельсинового сока. Определите р и g. 8. Имеется раствор№1 и раствор №2 некоторой кислоты в воде. При смешивании 5л раствора №1, 6л раствора №2 и 3л чистой воды получается раствор с концентрацией кислоты, равной 30%. При смешивании 10л раствора№1, 3л расивора№2 и 2л чистой воды получается раствор с концентрацией кислоты равной 33 %. Определите α- и β- концентрации раствора№1 и раствора № 2 соответственно. 9. Сколько граммов воды надо добавить к 50г раствора, содержащего 8% соли, чтобы получить 5% раствор?

Слайд 38

10. Сколько граммов 30%- го раствора надо добавить к 80г 12%- го раствора этой же соли, чтобы получить 20% раствор соли? 11. Кусок сплава меди и цинка массой 36кг содержит 45% меди. Сколько килограммов меди нужно добавить к этому куску, чтобы получить новый сплав. Который будет содержать 60% меди? 12. Два слитка, один из которых содержит 35% серебра, а другой 65%, сплавляют и получают слиток массой 30г, содержащий 47% серебра. Какова масса каждого из слитков? 13. В 500кг руды содержится некоторое количество железа. После удаления из руды 200кг примесей, содержащих в среднем 12,5%железа, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20% Определите, какое количество железа осталось еще в руде?