Олимпиадные задания по математике для 7 класса
олимпиадные задания по математике (7 класс)

Стартовый этап Всероссийской олимпиады школьников по математике

2019-2020 учебный год, 7 класс

ЗАДАНИЯ (1 вариант)

1. Поставьте вместо звездочек цифры:

2. В шестизначном числе первая цифра совпадает с четвертой, вторая – с пятой, третья- с шестой. Докажите, что это число кратно 7, 11, 13.

3. Разместите восемь козлят и девять гусей в пяти хлевах так, чтобы в каждом хлеве были и козлята и гуси, а число их ног равнялось 10.

4. Как разделить круг тремя прямыми на 4, 5, 6, 7 частей?

5. Если треть числа разделить на его семнадцатую часть, в остатке будет 100. Найдите это число.

Стартовый этап Всероссийской олимпиады школьников по математике

2019-2020 учебный год, 7 класс

ЗАДАНИЯ (2 вариант)

1. Поставьте вместо звездочек цифры:

2. В записи 52*2* замените звездочки цифрами так, чтобы  полученное число делилось на 36. Укажите все возможные решения.

3. Три подруги вышли в белом, синем, зеленом платьях и туфлях таких же цветов. Известно, что только у Ани цвет платья и туфель совпадает. Ни платье, ни туфли Вали не были белыми. Наташа была в зеленых туфлях. Определить цвет платья и туфель каждой подруги.

4. Расположите на плоскости 6 отрезков так, чтобы каждый из них пересекался ровно с тремя другими.

5. Разделите семь яблок поровну на 12 человек, не разрезая яблоки более чем на 4 части.

Стартовый этап Всероссийской олимпиады школьников по математике

2019-2020 учебный год, 7 класс

РЕШЕНИЯ (1 вариант)

2. Обозначим соответственно первую, вторую и третью цифру числа за a, b, c. Тогда число можно записать

100 000а + 10 000b + 1 000c + 100a + 10b + c= 100 100a + 10 010b + 1 001c = 1001(100a + 10b + c)=7*11*13*(100a + 10b + c).

Данное число делится на 7, на 11, на 13.

3. Обозначим число гусей в одном хлеве за х, а число козлят за у, тогда, учитывая, что ног в одном хлеве должно быть 10, получим уравнение: 2х+4у=10. Из данного уравнения имеем, что число козлят может быть только 1 или 2, соответственно гусей будет 3 или 1. Тогда размещение будет такое: в двух хлевах будет по 1 козленку и 3 гусям, в трех хлевах – по 2 козленка и 1 гусю.
4. 

5. Так как у числа есть треть и семнадцатая часть, то оно делится на 51, т.е. имеет вид 51х. Тогда треть его будет 17х, а семнадцатая часть – 3х. По условию задачи составим уравнение: 17х=3рх+100. Выразим х: .

Учитывая, что х и р натуральные, подбором найдем р=5. Тогда х=50. В итоге получим, что число будет 2550.

Стартовый этап Всероссийской олимпиады школьников по математике

2019-2020 учебный год, 7 класс

РЕШЕНИЯ (2 вариант)

2. Число делится на 36, если оно делится и на 4 и на 9. Так сумма цифр 5, 2, 2 равна 9, то сумма двух недостающих цифр должна равняться 0, 9 или 18. Учитывая, что число должно делиться на 4, а предпоследняя цифра равна 2, то последняя цифра может быть лишь 0 или 4 или 8. Тогда ответами будут числа: 52524, 52128, 52020, 52920.

3. Так как Наташа в зеленых туфлях, а Валя не в белых, то Валя в синих туфлях. Значит, Аня в белых туфлях. Так как цвет платья и туфель у Ани совпадает, то Аня в белом платье. Так как у остальных девочек цвет платья и туфель не совпадают, то Валя в зеленом платье, а Наташа – в синем.

5. Так как 7 : 12 = , то надо разделить 3 блока на 4 части, а 4 яблока каждое на 3 части и каждому человеку дать по   и по   яблока.

Критерии оценивания олимпиадных заданий

Задания математических олимпиад являются творческими, допускают несколько различных вариантов решений.

В соответствии с регламентом проведения математических олимпиад каждая задача оценивается из 7 баллов.

Соответствие правильности решения и выставляемых баллов приведено в таблице.

Помимо этого:

а) любое правильное решение оценивается в 7 баллов. Недопустимо снятие баллов за то, что решение слишком длинное, или за то, что решение школьника отличается от приведенного в методических разработках или от других решений, известных жюри; при проверке работы важно вникнуть в логику рассуждений участника, оценивается степень ее правильности и полноты;

б) олимпиадная работа не является контрольной работой участника, поэтому любые исправления в работе, в том числе зачеркивание ранее написанного текста, не являются основанием для снятия баллов; недопустимо снятие баллов в работе за неаккуратность записи решений при ее выполнении;

в) баллы не выставляются «за старание Участника», в том числе за запись в работе большого по объему текста, но не содержащего продвижений в решении задачи;

г) победителями олимпиады в одной параллели могут стать несколько участников, набравшие наибольшее количество баллов, поэтому не следует в обязательном порядке «разводить по местам» лучших участников олимпиады.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике

2019-2020 учебный год, 7 класс

ЗАДАНИЯ (1 вариант)

1.Сколько имеется четырёхзначных чисел, которые делятся на 45, а две средние цифры в которых 9 и 7?

2.Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограмм пресной воды нужно добавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли в смеси составило 2%?

3.Теплоход проходит путь между двумя пристанями по течению за 3 часа, а возвращается обратно за 4 часа. За какое время плот преодолеет это расстояние?

4.От прямоугольника 324х141см отрезают несколько квадратов со стороной в 141 см, пока не останется прямоугольник, у которого длина одной стороны меньше 141 см. От полученного прямоугольника отрезают квадраты, стороны которых равны по длине его меньшей стороне, до тех пор, пока это возможно, и т.д. Какова длина стороны последнего отрезанного квадрата?

5.Руководитель математического кружка нашёл ошибку в совместной работе трёх учеников: Дмитрия, Ильи и Алексея. На занятии кружка они стали оправдываться.

Илья.1) Не я ошибся. 2)Ошибку допустил Алексей.  3)Я написал другую часть работы.

Дмитрий. 1) Ошибку сделал Алёша. 2) Я знаю, как её исправить.  3)Ошибались и великие математики.

Алексей. 1)Не я ошибся. 2) Я давно подозревал, что здесь что-то не так. 3) Илья действительно писал другую часть работы.

Руководитель кружка знал, что два из трёх утверждений каждого верны, а одно - неверно. Кто из учеников допустил в работе ошибку?

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике

2019-2020 учебный год, 7 класс

ЗАДАНИЯ (2 вариант)

1.Можно ли число 203 представить в виде суммы нескольких натуральных чисел так, чтобы произведение всех этих чисел тоже было равно 203?

2.Ученику прислали задание, состоящее из 20 задач. За каждую верно решённую задачу ему ставят 8 баллов, за каждую неверно решённую – минус 5 баллов, за задачу, за которую он не брался решать – 0 баллов. Ученик получил в сумме 13 баллов. Сколько задач  он брался решать?

3.Фонтан на площади города связан с часами на башне: он работает, когда хотя бы одна из стрелок часов находится между цифрами 3 и 4 или между цифрами 8 и 9. Сколько времени в течение суток этот фонтан работает?

4. Свежая вишня содержала 99% воды. После усушки влажность составила 98%. На сколько процентов надо поднять цену подсушенной вишни, чтобы выручить намеченную прежде сумму?

5.О натуральном числе Х получено 5 сообщений:

1) Х - двузначное число, 2) Х делится на 5, 3) Х не больше 14, 4) Х является квадратом целого числа, 5) Х - нечётное число. Известно, что четыре из этих сообщений истинны, а одно ложно. Чему равно Х?

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике

2019-2020 учебный год, 7 класс

РЕШЕНИЯ (1 вариант)

1.Ответ: 2790, 2970, 6795, 6975.

Четырёхзначное число, средние цифры которого 9 и 7, имеет вид: *97* или *79*. Так как число должно делиться на 45, значит оно должно делиться на 5 и 9( так как 45=5х9). Значит, эти четырёхзначные числа оканчиваются на 5 или 0 ( т.к. делятся на 5). Т.е. имеют вид: *970, *790, *795, *975. Но они делятся и на 9, значит, сумма цифр тоже делится на 9. 9+7=16, не хватает 2. 7+9+5=21, не хватает 6. Значит, эти числа 2970, 2790, 6795, 6975.

2.Ответ: 60 кг.

Пусть добавили Х кг пресной воды. Масса смеси (Х+40) кг. Первоначально в морской воде было 40х0,05=2 кг соли. В смеси стало (Х+40)0,02 кг соли и так как её количество осталось неизменным, то

 (Х+40)0,02=2.

0,02Х=1,2

Х=60.

3. Ответ: 24 часа.

Пусть х км/ч - собственная скорость теплохода, а у км/ч скорость течения. За 3 часа по течению теплоход пройдёт 3(х+у) км, а за 4 часа против течения

 4(х-у) км. Так как теплоход проходит одинаковое расстояние, то

3(х+у)=4(х-у)

7у=х.

Найдём расстояние между пристанями 3(7у+у)=24у. Так как у км/час – это скорость течения, а, значит и скорость плота, то ему потребуется 24 часа, чтобы преодолеть расстояние 24у км.

4.Ответ: 3 см.

Сначала отрежем 2 квадрата со стороной 141 см, т.к. 324=141х2+42. Остаётся прямоугольник с размерами 141см и 42 см. Теперь отрезаем квадраты со стороной 42 см, можем отрезать 3 таких квадрата, т.к. 141=42х3+15. Остаётся прямоугольник со сторонами 42 см и 15 см. Отрезаем квадраты со стороной 15 см, их отрезаем 2, т.к. 42=15х2+12. Остаётся прямоугольник со сторонами 15 см и 12 см. Далее отрезаем квадраты со стороной 12 см, можем отрезать 1, т.к.15=12х1+3. Остаётся прямоугольник со сторонами 12см и 3см.  Осталось отрезать квадраты со стороной 3 см, их можем отрезать 4, т.к. 12=3х4.

5. Ответ: Дмитрий.

Предположим, что ошибся Илья. Тогда неверны сразу два первых его высказывания, а это противоречит условию задачи. Значит, ошибиться Илья не мог.

Предположим, что ошибся Дмитрий. Тогда первое его утверждение неверно, а два других верно. Т.е. противоречий с условием нет, значит, Дмитрий мог ошибиться.

Составим таблицу. Знаком «_»отметим заведомо  неверные высказывания, а знаком «+» те, которые могут быть верными.

Предположим, что ошибся Алексей. Тогда неверно третье высказывание Ильи, т.к. два первых его высказывания верны, поэтому неверно третье высказывание Алексея (оно точно такое же).  Тогда верно первое высказывание Алексея (только одно из его высказываний-третье-неверное), а это противоречит предположению. Т.е. Алексей ошибиться не мог.

Значит, ошибся Дмитрий.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике

2019-2020 учебный год, 7 класс

РЕШЕНИЯ (2 вариант)

1.  Ответ: можно.

Число 203 можно разложить на два простых множителя 7 и 29. Тогда представим его в виде суммы этих слагаемых и добавим 167 слагаемых, равных 1, т.е. 203=7+29+1+1+1+…+1. Тогда

203=7х29х1х1х1х1х….х1, где множителей, равных 1, тоже 167.

2. Ответ: Ученик брался решать 13 задач.

Пусть х – количество верно решённых задач, а у – неправильно решённых задач. Баллы, которые набрал ученик 8х-5у=13. Преобразуем уравнение так, чтобы выделить в нём сумму х+у (количество задач, к которым приступал ученик). 8(х+у)=13(1+у). Т.к. 8 не делится на 13, то сумма (х+у) делится на 13 и по условию х+у  не больше 20. Поэтому х+у=13. Тогда х=6, а у=7, т.к. 1+у =8.

3. Ответ: 7 часов 20 минут

Рассмотрим часовую стрелку. В течение суток часовая стрелка попадает между цифрами 3 и 4, 8 и 9 четыре раза по 1 часу. Значит, фонтан будет работать в течение 4 часов.

Рассмотрим минутную стрелку. В течение 1 часа минутная стрелка попадает между цифрами 3 и 4, 8 и 9 два раза по 5 минут. Т.к. в сутках 24 часа, исключаем 4 часа, т.к. фонтан уже работает ( там уже будет часовая стрелка и фонтан будет работать), то 20 х10 мин=200 мин=3 часа 20 мин.

Значит, фонтан будет работать 4 часа+3 часа 20мин=7 часов 20 мин.

4. Ответ: на 100%

Пусть было х кг вишни. Твёрдая масса вишни ( без воды) составляет 0,01х кг. Это количество после усушки составляет 2% массы вишни. Значит, вся вишня после усушки весит 0,01х:0,02=0,5х кг. Т.е. вишня потеряла после усушки половину своей массы. Чтобы выручить намеченную сумму, надо поднять цену в два раза, т.е. увеличит на 100%.

5. Ответ: 25

Допустим, что первое утверждение ложно, тогда оставшиеся четыре верные. Но получаем противоречие, т.к. число, не большее 14, не может быть точным квадратом и делиться на 5. Значит, первое утверждение верно.

Допустим, что второе утверждение ложное. Опять получаем противоречие, т.к. двузначное число, не больше 14, не может быть точным квадратом. Значит, второе утверждение тоже верно.

Допустим, что третье утверждение ложное. Тогда двузначное число, которое делится на 5 и является квадратом целого числа это 25 и оно нечётное. Такое двузначное число единственное. Значит, третье утверждение может быть ложным.

Допустим, что четвёртое утверждение ложно. Тогда А - двузначное число, не больше 14, которое делится на 5. Это число 10. Это противоречит пятому утверждению. Значит, четвёртое утверждение тоже верно.

Допустим, что пятое утверждение ложно, а все остальные верные. Получаем противоречие, т.к. двузначное число, не больше 14, не может быть квадратом целого числа. Значит, пятое утверждение не может быть ложным.

Остаётся единственное решение: третье утверждение ложное, остальные истинны. Это число 25.

Критерии оценивания олимпиадных заданий

Задания математических олимпиад являются творческими, допускают несколько различных вариантов решений.

В соответствии с регламентом проведения математических олимпиад каждая задача оценивается из 7 баллов.

Соответствие правильности решения и выставляемых баллов приведено в таблице.

Помимо этого:

а) любое правильное решение оценивается в 7 баллов. Недопустимо снятие баллов за то, что решение слишком длинное, или за то, что решение школьника отличается от приведенного в методических разработках или от других решений, известных жюри; при проверке работы важно вникнуть в логику рассуждений участника, оценивается степень ее правильности и полноты;

б) олимпиадная работа не является контрольной работой участника, поэтому любые исправления в работе, в том числе зачеркивание ранее написанного текста, не являются основанием для снятия баллов; недопустимо снятие баллов в работе за неаккуратность записи решений при ее выполнении;

в) баллы не выставляются «за старание Участника», в том числе за запись в работе большого по объему текста, но не содержащего продвижений в решении задачи;

г) победителями олимпиады в одной параллели могут стать несколько участников, набравшие наибольшее количество баллов, поэтому не следует в обязательном порядке «разводить по местам» лучших участников олимпиады.