Число π
статья по математике (5 класс)

Число π

Отношение длины окружности к её диаметру – величина постоянная и не зависит от размеров окружности. Число, выражающее это отношение , принято обозначать греческой буквой π (пи) – первой буквой слова «периферия» (греч. «окружность»).

Общеупотребительным такое число стало с середины 18 века. Число π выражается бесконечной непериодической десятичной дробью и приближенно равно 3,141592653589…

Математика Древнего Междуречья, Древнего Египта

В глубокой древности считалось, что окружность ровно в 3 раза длиннее диаметра. Эти сведения содержатся в клинописных табличках Древнего Междуречья. Такое же значение можно извлечь из текста Библии: “ И сделал литое из меди море, - от края его и до края его десять локтей, - совсем круглое… и шнурок в тридцать локтей обнимал его кругом”. Однако уже во 2 тысячелетии до н.э. математики Древнего Египта находили более точное отношение. Важным достижением геометрической науки египтян было очень хорошее приближение числа π, которое получается из формулы площади круга диаметра d:

S = ( d – 1/9d ) 2 = ( 1 – 1/9 ) 2 d2

Этому правилу из 50 – й задачи папируса Райнда (приблизительно 1650 г. до н.э.) соответствует значение π = 4(8/9)2 = 3,1605. Однако каким образом египтяне получили саму формулу, из контекста неясно.

В Московском папирусе есть ещё одна интересная задача: вычисляется поверхность корзины «с отверстием 4 ½». Исследователи толкуют её по – разному, поскольку π в тексте не указано, какой формы была корзина. Но все сходятся во мнении, что и здесь для числа π берётся то же самое приближённое значение 4 (8/9)2. Замечательно, что на всём Древнем Востоке при вычислениях использовалось значение π = 3.

В этом отношении египтяне намного опередили другие народы.

Математические достижения в Древней Греции.

С 6 века до н.э. математическая наука стремительно развивалась в Древней Греции. Древние греки Евдокс Книдский, Гиппократ и др. измерение окружности сводили к построению соответствующего отрезка, а измерение круга – к построению равновеликого квадрата.

Архимед в 3 веке до н.э. , занимаясь вычислениями длины окружности, установил, что «периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых». В своей небольшой работе «Измерение круга» он обосновал три положения: 1) всякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, катеты которого соответственно равны длине окружности и её радиусу; 2) площади круга относятся к квадрату, построенному на диаметре как 11 к 14; 3) отношение любой окружности к её диаметру меньше 3 1/7 и больше 3 10/71. (Вероятно, в первоисточнике третье предложение стояло на месте второго, но при переписке или переводе была допущена погрешность. Нужно заметить, что арабы располагали более точным текстом этой работы, чем мы.) Последнее предложение Архимед обосновал последовательным вычислением периметров правильных вписанных и описанных многоугольников при удвоении числа их сторон. Сначала он удвоил число сторон правильных описанного и вписанного шестиугольников, затем двенадцатиугольников и т.д., доведя до вычисления периметров правильного вписанного и описанного многоугольников с 96-ю сторонами.

Определение. Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Определение. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Определение. Если все стороны многоугольника касаются окружности, то многоугольник называется описанным около этой окружности.

Определение. Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то многоугольник называется вписанным в эту окружность.)

По точным расчётам Архимеда отношение окружности к диаметру заключено между числами 3 10/71 и 3 1/7, а это означает, что π =3,1419… Иначе говоря, Архимед указал границы числа

3,1408 < π < 3,1428 .

Значение 3 1/7 до сих пор считается вполне хорошим приближением числа π для прикладных задач. Более точное приближение 3 17/120 (π =3,14166) нашёл знаменитый астроном, создатель тригонометрии Клавдий Птолемей (2 в.), но оно не вошло в употребление.

Приближения числа π в Индии и Китае

В священной книге джайнизма (одной из древнейших религий, существовавших в Индии и возникшей в 6 веке до н.э.) имеется указание, из которого следует, что число “пи “ принимали равным дроби 3,162… Это значение приводит индийский математик 7 века Брахмагупта.

Китайские учёные в 3 веке использовали для π значение 3 7/50, которое хуже приближения Архимеда. В конце 5 века китайский математик Цзу Чун Чжи получил приближение 355/113 (π =3,1415927). Оно осталось неизвестно европейцам и было вновь найдено нидерландским математиком Адрианом Антонисом лишь в 1585 г.

Число π в Европе (15 – 16 вв.)

В первой половине 15 века в обсерватории Улугбека, возле Самарканда, астроном и математик ал-Каши вычислил π с 16 десятичными знаками.

К концу 16 века в европейской математике сформировались понятия рациональных и иррациональных чисел. (Определение. Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел. Термин «рациональное число» произошёл от латинского слова ratio, что в переводе означает «отношение» (частное). Каждое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной периодической дроби.

Определение. Бесконечные десятичные непериодические дроби представляют числа, не являющиеся рациональными. Их называют иррациональными числами (приставка ир означает отрицание). Хотя многие были убеждены, что число π - иррациональное, доказать это никто не мог.

В то же время некоторые математики продолжали заниматься вычислением числа π. Спустя полтора столетия после ал-Каши в Европе Ф.Виет нашёл число π только с 9 правильными десятичными знаками. Но при этом он первым сделал открытие, имеющее большое значение, так как позволило вычислять π с какой угодно точностью.

Число Лудольфа

Поиски точного выражения числа π продолжались и после работ Ф.Виета. В начале 17 века голландский математик из Кёльна Лудольф ван Цейлен (1540 – 1610) – некоторые историки называют его Л.ван Кейлен – нашёл 32 знака. С тех пор (год публикации 1615) значение числа π с 32 знаками получило название числа Лудольфа.

Идеальный математик

Первым ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом английский математик У.Джонсон в 1706 г. В качестве символа он взял первую букву греческого слова «периферия». Общеупотребительным введённое У.Джонсоном обозначение стало после работ Л.Эйлера, который воспользовался этим символом впервые в 1736 г.

Иррациональность и трансцендентность числа π

В 1766 г. немецкий математик Иоганн Ламберт строго доказал иррациональность числа π: число “пи” не может быть представлено простыми дробями, как бы ни были велики числитель и знаменатель. И, тем не менее, история числа на этом не закончилась.

В конце 19 века профессор Мюнхенского университета Карл Фердинанд Линдеман нашёл строгое доказательство того, что π - число не только иррациональное, но и трансцендентное, т.е. не может быть корнем никакого алгебраического уравнения. Его доказательство поставило точку в истории древнейшей математической задачи о квадратуре круга. ( Определение. Квадратура круга – неразрешимая задача построения при помощи циркуля и линейки квадрата, равного по площади данному кругу; вообще неразрешимая задача.) На протяжении тысячелетий она не поддавалась усилиям математиков, и выражение “квадратура круга “ даже стало синонимом неразрешимой проблемы. “Загадочное упорство” этой задачи, как оказалось, связано именно с природой числа π.

В память об открытии трансцендентности числа π в зале перед математической аудиторией Мюнхенского университета был установлен бюст Линдемана. На постаменте под его именем изображён круг, пересечённый квадратом равной площади, внутри которого начертана буква π.

Число π в современной математике

К концу 19 века, после 20 лет упорного труда, англичанин Вильям Шенкс нашёл 707 знаков числа π. Однако в 1945 г. обнаружено с помощью ЭВМ, что Шенкс в своих вычислениях допустил ошибку в 520-м знаке и дальнейшие его вычисления оказались неверными.

В наше время с помощью ЭВМ число π вычислено с миллионами правильных знаков после запятой. Но такая точность не нужна ни в каких вычислениях и представляет скорее технический, чем научный интерес.

В современной математике число π - это не только отношение длины окружности к диаметру, оно входит в большое число различных формул, в том числе и в формулы неевклидовой геометрии. Входит она и в замечательную формулу Л.Эйлера, которая устанавливает связь числа “пи” и числа “е”. Эта и другие взаимосвязи позволили математикам ещё глубже выяснить природу числа π.

Как запомнить первые цифры числа π

Три первые цифры числа π = 3,14… запомнить совсем несложно. А для запоминания большего числа знаков существуют забавные поговорки и стихи. Например, такие:

Нужно только постараться

И запомнить всё как есть:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть.

С.Бобров. «Волшебный двурог»

Тот, кто выучит это четверостишие, всегда сможет назвать 8 знаков числа π:

3,1415926…

В следующих фразах знаки числа π можно определить по количеству букв в каждом слове:

«Что я знаю о кругах?» (3,1416);

«Вот и знаю я число, именуемое Пи. – Молодец!»

(3,1415927);

«Учи и знай в числе известном за цифрой цифру, как удачу примечать»

(3,14159265359)

А так выглядит 101 знак числа π без округления:

3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.