ВПР - 2019 по математике (6 класс) Задания 6-13
учебно-методический материал по математике (6 класс)

ВПР – 2019    6 класс

№ 13. Логические задачи повышенной сложности

1. Задание 13 № 13

На доске написано число. Олег играет в арифметическую игру: он может либо стереть последнюю цифру написанного числа, либо прибавить к написанному числу число 2018 и записать полученный результат, стерев предыдущее число. Может ли Олег, действуя таким образом, в конце концов получить число 1? Если да, покажите как; если нет, объясните почему.

2. Задание 13 № 381

Друзья Алеша, Боря и Витя учатся в одном классе. Один из них ездит домой от школы на автобусе, другой — на трамвае, а третий — на троллейбусе. Однажды после уроков Алёша пошёл проводить своего друга до остановки автобуса. Когда мимо них проходил троллейбус, третий друг крикнул из окна: «Боря, ты забыл в школе тетрадку!» Кто на чем ездит домой?

3. Задание 13 № 382

На одном заводе работают три друга: слесарь, токарь и сварщик. Их фамилии: Борисов, Иванов и Семёнов. У слесаря нет ни братьев, ни сестёр, он самый младший из друзей. Семёнов старше токаря и женат на сестре Борисова. Назовите фамилии слесаря, токаря и сварщика.

4. Задание 13 № 383

В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода, причём вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, в банке не лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. В какой сосуд налита каждая из жидкостей?

5. Задание 13 № 384

На даче поселились пятеро мальчиков: Андрюша, Боря, Володя, Гена и Дима. Все были разного возраста: одному был 1 год, другому — 2 года, остальным 3, 4 и 5 лет. Володя был самым маленьким, Диме было столько лет, сколько Андрюше и Гене вместе. Сколько лет Боре? Возраст кого еще из мальчиков можно определить?

6. Задание 13 № 385

Племя людоедов поймало Робинзона Крузо. Вождь сказал: «Мы рады бы отпустить тебя, но по нашему закону ты должен сказать какое-нибудь утверждение. Если оно окажется истинным, мы съедим тебя. Если оно окажется ложным, тебя съест наш ручной лев.» Что сказать Робинзону, чтобы людоеды его отпустили?

7. Задание 13 № 386

В Стране Чудес проводилось следствие по делу об украденной муке. На суде Мартовский Заяц заявил, что муку украл Болванщик. В свою очередь Болванщик и Соня дали показания, которые по каким-то причинам не были записаны. В ходе судебного заседания выяснилось, что муку украл лишь один из трёх подсудимых и что только он дал правдивые показания. Кто украл муку?

8. Задание 13 № 387

На суде каждый из троих подсудимых обвинял одного из двух других. Оказалось, что первый был единственным, кто говорил правду. Если бы каждый стал обвинять другого из них (но не себя), то второй был бы единственным, кто сказал правду. Кто виновен?

9. Задание 13 № 388

Как, имея лишь два сосуда ёмкостью 5 и 7 л, налить из крана 6 л воды?

10. Задание 13 № 389

В первый сосуд входит 9 л, во второй — 5 л, а в третий — 3 л. Первый сосуд наполнен водой, а остальные два пусты. Как с помощью этих сосудов отмерить 1 л воды? Как отмерить 4 л воды?

11. Задание 13 № 390

В бочке находится не менее 13 вёдер бензина. Как отлить из неё 8 вёдер с помощью 9-вeдёрной и 5-вeдёрной бочек?

12. Задание 13 № 391

12-вeдёрная бочка наполнена керосином. Как разлить его на две равные части, пользуясь пятивeдёрной и восьмиведёpной бочками?

13. Задание 13 № 392

Как взвесить груз на чашечных весах с гирями, если гири правильные, а весы неправильные?

14. Задание 13 № 393

Есть четыре камня, разной массы. За какое наименьшее число взвешиваний на весах без гирь можно найти самый тяжёлый и лёгкий камни?

15. Задание 13 № 394

Среди любых натуральных чисел найдутся два числа, которые при делении на n дают одинаковые остатки.

16. Задание 13 № 395

Среди любых натуральных чисел найдутся два числа таких, что их разность делится на n.

17. Задание 13 № 396

Доказать, что из любых трёх целых чисел можно найти два, сумма которых чётна.

18. Задание 13 № 397

Можно ли 25 рублей разменять десятью купюрами по 1, 3 и 5 рублей?

19. Задание 13 № 398

Даны шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Разрешается к любым двум из них прибавлять 1. Можно ли все числа сделать равными?

20. Задание 13 № 399

На столе семь перевёрнутых стаканов. Разрешается одновременно переворачивать любые два стакана. Можно ли добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?

21. Задание 13 № 400

На чудо-яблоне растут бананы и ананасы. За один раз разрешается сорвать два плода. Если сорвать два банана или два ананаса, то вырастет ещё один ананас, а если сорвать банан и ананас, то вырастет банан. В итоге остался один плод. Какой это плод, если известно, сколько бананов и ананасов росло вначале?

22. Задание 13 № 401

Иван-царевич имеет два волшебных меча, один из которых может отрубить Змею Горынычу 21 голову, а второй — 4 головы, но тогда у Змея Горыныча отрастает 2020 голов. (Однако если, например, у Змея Горыныча осталось лишь 3 головы, то рубить их ни тем, ни другим мечом нельзя.) Может ли Иван отрубить Змею Горынычу все головы, если в самом начале у него было 100 голов?

23. Задание 13 № 402

За один ход число, написанное на доске, разрешается либо заменить на удвоенное, либо стереть у него последнюю цифру. Вначале на доске написано число 456. Можно ли из него получить число 14?

24. Задание 13 № 407

Двое играют в следующую игру. Имеется три кучки камней: в первой — 10, во второй — 15, в третьей — 20. За ход разрешается разбить любую кучку на две меньшие; проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет?

25. Задание 13 № 408

Двое по очереди ломают шоколадку 6 х 8. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре, тот, кто делает первый ход, или второй?

26. Задание 13 № 409

На доске написаны 10 единиц и 10 двоек. За ход можно стереть две любые цифры и, если они были одинаковыми, написать 2, а если разными — 1. Если последняя оставшаяся на доске цифра — 1, то выиграл первый игрок, если 2 — то второй.

27. Задание 13 № 410

Двое по очереди ставят ладей на шахматную доску так, чтобы ладьи не били Друг друга. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто из игроков выиграет?

28. Задание 13 № 411

Двое игроков по очереди расставляют между числами от 1 до 20, выписанными в строчку, «+» и «−». После того. как все места заполнены считается результат. Если он чётен, то выигрывает первый игрок, если нечётен, то — второй. Кто из игроков выиграет?

29. Задание 13 № 412

В строчку написаны 10 единиц. Лёша и Витя по очереди ставят между какими-нибудь соседними числами знак: «+» или «−». Когда между всеми соседними числами поставлен какой-нибудь знак, вычисляется результат. Если полученное число чётное, то выигрывает Лёша, а если нечётное, то — Витя. Кто из ребят выиграл?

30. Задание 13 № 413

Вася и Петя выписывают 12-значное число, ставя цифры по очереди, начиная со старшего разряда. Докажите, что какие 6ы цифры он не писал, Петя всегда сможет добиться, чтобы получившееся число делилось на 4.

31. Задание 13 № 414

Двое выписывают шестизначное число, выставляя по очереди по одной цифре, начиная со старшего разряда. Если получившееся число разделится нацело на 7, то выигрывает сделавший последний ход, иначе — начинающий.

32. Задание 13 № 415

Докажите, что произведение любых трёх последовательных натуральных чисел делится на 6.

33. Задание 13 № 416

Докажите, что произведение любых пяти последовательных чисел делится на 30.

34. Задание 13 № 417

Коля и Петя купили одинаковые беговые лыжи. Сколько стоит одна пара лыж, если Петя уплатил стоимость лыж трёхрублёвыми купюрами, Коля — пятирублёвыми, а всего они дали в кассу меньше 10 купюр?

35. Задание 13 № 418

Найти такие четыре натуральных числа, что произведение любых трёх из них, сложенное с единицей, делится на четвёртое.

36. Задание 13 № 419

Чтобы узнать, является ли число 1601 простым, его стали последовательно делить на 2, 3, 5 и т. д. На каком простом числе можно прекратить испытания?

37. Задание 13 № 420

Вася написал на доске пример на умножение двух двузначных чисел, а затем заменил в нем все цифры на буквы, причём одинаковые цифры — на одинаковые буквы, а разные — на разные. В итоге у него получилось АБ · ВГ = ДДЕЕ. Докажите, что он где-то ошибся.

38. Задание 13 № 421

Сколько имеется четырёхзначных чисел, которые делятся на 45, а две средние цифры у них 97?

39. Задание 13 № 422

К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.

40. Задание 13 № 423

Найти наименьшее натуральное число, делящееся на 36, в записи которого встречаются все 10 цифр.

41. Задание 13 № 472

Тренер купил несколько мячей, скакалок, обручей и заплатил за все покупки 1690 рублей. Скакалка стоит 260 рублей, обруч — 130 рублей, мяч — 100 рублей. Сколько мячей, скакалок и обручей купил тренер? Ответ поясните.

42. Задание 13 № 485

Тренер купил несколько мячей, скакалок, обручей и заплатил за все покупки 1540 рублей. Скакалка стоит 330 рублей, обруч — 220 рублей, мяч — 90 рублей. Сколько мячей, скакалок и обручей купил тренер? Ответ поясните.

43. Задание 13 № 602

Задумали двузначное число. Когда это число умножили на произведение его цифр, получили 255. Какое число задумали? Напишите свое решение.

44. Задумали двузначное число. Когда это число умножили на произведение его цифр, получили 744. Какое число задумали. Напишите свое решение.

45. Задумали двузначное число. Когда это число умножили на произведение его цифр, получили 819. Какое число задумали. Напишите свое решение.

46. Задумали двузначное число. Когда это число умножили на произведение его цифр, получили 312. Какое число задумали. Напишите свое решение.

47. Задумали двузначное число. Когда это число умножили на произведение его цифр, получилось 912. Какое число задумали? Напишите своё решение.

48. Задумали двузначное число, которое делится на 15. Когда к этому числу приписали справа его последнюю цифру, получилось трёхзначное число, которое при делении на 9 даёт остаток 3. Какое число задумали? Напишите своё решение.

49. Задумали двузначное число, которое делится на 15. Когда к этому числу приписали справа его последнюю цифру, получилось трёхзначное число, которое при делении на 9 даёт остаток 6. Какое число задумали? Напишите своё решение.

50. Задумано двузначно число, которое делится на 5. К нему справа приписали это же число еще раз. Оказалось, что получившееся четырехзначное число делится на 11. Какое число задумали? Напишите свое решение.

51. Саша и Костя по очереди вычеркивают по одной цифре из числа 456127, пока не останется трехзначное число. Саша начинает, и его задача — сделать трехзначное число как можно меньше. а Костя хочет, чтобы трехзначное число было как можно больше. Может ли Саша получить число меньше 445, как бы ни действовал Костя? Напишите свое решение.

52. Саша и Костя по очереди вычеркивают по одной цифре из числа 179284, пока не останется трехзначное число. Саша начинает, и его задача — сделать трехзначное число как можно меньше. а Костя хочет, чтобы трехзначное число было как можно больше. Может ли Саша получить число меньше 295, как бы ни действовал Костя? Напишите свое решение.