Школьный этап Всероссийской олимпиады по математике, 2018 г.
олимпиадные задания по математике (5, 9 класс)

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике

Тугулымский городской округ

2018 – 2019 учебный год

5 класс

Дорогой друг!

Вам предлагается выполнить 6 заданий по математике. За каждое правильно выполненное задание начисляется 7 баллов, максимальная сумма 42 балла.

Задания необходимо выполнять на отдельном листе в любом удобном для вас порядке. Перед записью решения указать номер задания. Условие записывать необязательно, а вот решение запишите как можно подробнее. Пользуйтесь черновиком для поиска решения, черновик не забудьте сдать вместе с чистовиком.

Пишите разборчиво, яркой пастой!

При решении заданий можно пользоваться только ручкой, карандашом и линейкой. Использовать калькулятор, сотовый телефон, планшет и другие электронные средства, справочные материалы не разрешается.

Время выполнения заданий 2 часа.

Желаем успеха!

Задания для 5 класса

Задание 1.

Найти значение выражения:

2018 – 2017 + 2016 – 2015 + 2014 – 2013 + 2012 – … + 4 – 3 + 2 – 1.

Задание 2.

Расшифруйте следующую запись примера на сложение, в котором разным буквам соответствуют разные цифры, а одинаковым буквам – одинаковые цифры:

 Задание 3.

Для нумерации книги для детей понадобилось 204 цифры. Сколько страниц в книге, если нумерация книги начинается с первой страницы?

Задание 4.

Соедините точки А и В линией длиной 19 см, так чтобы она прошла через все точки, изображенные на рисунке (расстояние между двумя соседними точками по горизонтали и по вертикали равно 1 см).

Задание 5.

Лебедь, Щука и Рак тянут груз. Лебедь тянет в небо и говорит: «Рак не самый сильный», Рак: «Я сильнее Лебедя!», Щука: «Рак сильнее меня». Двое из них говорили правду, а самый сильный соврал. Кто самый сильный?

Задание 6.

Емеля Дурачок однажды стал хвастаться размерами Волшебной Щуки, которую выловил в проруби: «Эта такая рыбища! У нее хвост весит 1 кг, голова весит столько, сколько хвост и половина туловища, а туловище – столько, сколько голова и хвост вместе». Сколько весила Волшебная Щука?

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике

Тугулымский городской округ

2018 – 2019 учебный год

9 класс

Дорогой друг!

Вам предлагается выполнить 6 заданий по математике. За каждое правильно выполненное задание начисляется 7 баллов, максимальная сумма 42 балла.

Задания необходимо выполнять на отдельном листе в любом удобном для вас порядке. Перед записью решения указать номер задания. Условие записывать необязательно, а вот решение запишите как можно подробнее. Пользуйтесь черновиком для поиска решения, черновик не забудьте сдать вместе с чистовиком.

Пишите разборчиво, яркой пастой!

При решении заданий можно пользоваться только ручкой, карандашом и линейкой. Использовать калькулятор, сотовый телефон, планшет и другие электронные средства, справочные материалы не разрешается.

Время выполнения заданий 4 часа.

Желаем успеха!

Задания для 9 класса

Задание 1.

Все трехзначные числа записаны в ряд: 100  101  102 … 998  999. Сколько раз в этом ряду после двойки идет нуль?

Задание 2.

Вычислите  

Задание 3.

Имеются два сосуда, в первом из них 1 л воды, второй сосуд пустой. Последовательно проводятся переливания из первого сосуда во второй, из второго в первый и т. д., причем доля отливаемой воды составляет последовательно 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. от количества воды в сосуде, из которого вода отливается. Сколько воды будет в сосудах после 2019 переливаний?

Задание 4.

На острове рыцарей и лжецов (лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду) каждый болеет ровно за одну футбольную команду. В опросе приняли участие все жители острова. На вопрос «Болеете ли Вы за «Спартак»?» ответили «Да» 40% жителей. На аналогичный вопрос про «Зенит» утвердительно ответили 30%, про «Локомотив» - 50%, а про ЦСКА – 0%. Какой процент жителей острова действительно болеет за «Спартак»?

Задание 5.

Дан ромб 𝐴𝐵𝐶𝐷 с углом 𝐵𝐴𝐷 равным 600. На стороне 𝐴𝐵 взяли точку 𝑇, а на стороне 𝐵𝐶 — точку 𝑁 так, что 𝐴𝑇 = 𝐵𝑁. Докажите, что 𝑇𝑁 = 𝐷𝑇.

Задание 6.

В параллелограмме ABCD биссектриса угла С пересекает сторону А в точке М и прямую АВ  в точке К. Найдите периметр параллелограмма, если АК = 12, СМ = 24, МК = 18.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике

Тугулымский городской округ

2018 – 2019 учебный год

5 класс

Уважаемые коллеги!

Для единообразия проверки работ Участников в разных школах необходимо придерживаться  критериев оценивания работ.

На всех уровнях олимпиад (школьном, муниципальном и других уровнях) используется 7-балльная шкала. Каждая задача оценивается целым числом баллов от 0 до 7. Итог подводится по сумме баллов, набранных Участником.

Основные принципы оценивания приведены в таблице.

Любое правильное решение оценивается в 7 баллов. Недопустимо снятие баллов за то, что решение слишком длинное, или за то, что решение школьника отличается от приведенного в методических разработках или от других решений, известных жюри; при проверке работы важно вникнуть в логику рассуждений участника, оценивается степень ее правильности и полноты;

Олимпиадная работа не является контрольной работой участника, поэтому любые исправления в работе, в том числе зачеркивание ранее написанного текста, не являются основанием для снятия баллов; недопустимо снятие баллов в работе за неаккуратность записи решений при ее выполнении;

Баллы не выставляются «за старание Участника», в том числе за запись в работе большого по объему текста, но не содержащего продвижений в решении задачи;

Победителями олимпиады в одной параллели могут стать несколько участников, набравшие наибольшее количество баллов. Поэтому не следует в обязательном порядке «разводить по местам» лучших участников олимпиады.

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ! если вы считаете, что участник заслуживает за решение баллы, но это не отражено в критериях, то выставляйте ему баллы в соответствии с общей таблицей критериев.

Решение заданий для 5 класса

Задание 1.

Найти значение выражения:

2018 – 2017 + 2016 – 2015 + 2014 – 2013 + 2012 – … + 4 – 3 + 2 – 1.

Ответ: 1009

Решение:

Разность 2018 и 2017 равна 1, следующая разность 2016 и 2015 также равна 1 и т.д. Всего таких разностей будет 1009. Значит значение выражения равно 1009.

Задание 2.

Расшифруйте следующую запись примера на сложение, в котором разным буквам соответствуют разные цифры, а одинаковым буквам – одинаковые цифры:

Решение:

Задание 3.

Для нумерации книги для детей понадобилось 204 цифры. Сколько страниц в книге, если нумерация книги начинается с первой страницы?

Ответ: в книге 104 страницы.

Решение:

Для нумерации страниц с первой по девятую понадобится 9 цифр, для нумерации страниц с 10 по 99 понадобится 90∙2 = 180 цифр. Итак, использовано 189 цифр. Осталось 204 – 189 = 15 цифр. Так как с сотой страницы на нумерацию одной страницы потребуется 3 цифры, то всего страниц в книге будет 99 + 15:3 = 99 + 5 = 104.  

Задание 4.

Соедините точки А и В линией длиной 19 см, так чтобы она прошла через все точки, изображенные на рисунке (расстояние между двумя соседними точками по горизонтали и по вертикали равно 1 см).

 Ответ:

Задание 5.

Лебедь, Щука и Рак тянут груз. Лебедь тянет в небо и говорит: «Рак не самый сильный», Рак: «Я сильнее Лебедя!», Щука: «Рак сильнее меня». Двое из них говорили правду, а самый сильный соврал. Кто самый сильный?

Ответ: самая сильная – Щука.

Решение: Пусть самый сильный – это Лебедь. Тогда он солгал, сказав, что Рак не самый сильный. Значит, Рак должен быть самый сильный. Но Лебедь и Рак не могут быть одновременно самыми сильными. Значит, Лебедь не самый сильный и он сказал правду, что Рак не самый сильный. Тогда получается, что самая сильная Щука. Действительно, так как самый сильный соврал, то получается, что Рак не сильнее Щуки. А так как Рак и Лебедь сказали правду, то все сходится.

Задание 6.

Емеля Дурачок однажды стал хвастаться размерами Волшебной Щуки, которую выловил в проруби: «Это такая рыбища! У нее хвост весит 1 кг, голова весит столько, сколько хвост и половина туловища, а туловище – столько, сколько голова и хвост вместе». Сколько весила Волшебная Щука?

Ответ:  Щука весила 8 килограмм

Решение:  Из условия задачи ясно, что голова весит 1 кг и половина туловища. Туловище 1 кг (хвост) + 1 кг + половина туловища, т.е. 2 кг + половина туловища. Следовательно, половина туловища – это 2 кг. Все туловище – 4 кг, голова 3 кг. Общий вес 4 + 3 + 1 = 8 кг. 

Задача может быть решена и другими способами, в том числе с помощью уравнения.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике

Тугулымский городской округ

2018 – 2019 учебный год

9 класс

Уважаемые коллеги!

Для единообразия проверки работ Участников в разных школах необходимо придерживаться  критериев оценивания работ.

На всех уровнях олимпиад (школьном, муниципальном и других уровнях) используется 7-балльная шкала. Каждая задача оценивается целым числом баллов от 0 до 7. Итог подводится по сумме баллов, набранных Участником.

Основные принципы оценивания приведены в таблице.

Любое правильное решение оценивается в 7 баллов. Недопустимо снятие баллов за то, что решение слишком длинное, или за то, что решение школьника отличается от приведенного в методических разработках или от других решений, известных жюри; при проверке работы важно вникнуть в логику рассуждений участника, оценивается степень ее правильности и полноты;

Олимпиадная работа не является контрольной работой участника, поэтому любые исправления в работе, в том числе зачеркивание ранее написанного текста, не являются основанием для снятия баллов; недопустимо снятие баллов в работе за неаккуратность записи решений при ее выполнении;

Баллы не выставляются «за старание Участника», в том числе за запись в работе большого по объему текста, но не содержащего продвижений в решении задачи;

Победителями олимпиады в одной параллели могут стать несколько участников, набравшие наибольшее количество баллов. Поэтому не следует в обязательном порядке «разводить по местам» лучших участников олимпиады.

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ! Если участник набрал результат близкий к 50% порогу, т.е. 19 или 20 баллов, то внимательно пересмотрите его решения, может есть смысл его результат повысить до 21 балла и еще раз рассмотреть работу предметной комиссией.

Решение заданий для 9 класса

Задание 1.

Все трехзначные числа записаны в ряд: 100  101  102 … 998  999. Сколько раз в этом ряду после двойки идет нуль?

Ответ: 19 раз.

Решение:  Так как трехзначное число не может начинаться с нуля, то двойка, после которой идет нуль, не может стоять в разряде единиц одного из трехзначных чисел ряда. Пусть двойка стоит в разряде десятков трехзначного числа. Тогда идущий за ней нуль стоит в разряде единиц того же числа, т.е. это число оканчивается на 20.  Таких чисел 9: 120, 220, …, 920. Наконец, если двойка, после которой идет нуль, стоит в разряде сотен, то соответствующее трехзначное число начинается на 20. Таких чисел 10: 200, 201, …, 209. Таким образом, всего после двойки нуль будет встречаться 19 раз.

Задание 2.

Вычислите  

Ответ: 4 060 220.

Решение: Пусть n = 2015, тогда . Преобразовав, получим  Возможен и прямой подсчет и извлечение корня. Если вычислительных ошибок нет, то это решение также оценивается 7 баллами.

Задание 3.

Имеются два сосуда, в первом из них 1 л воды, второй сосуд пустой. Последовательно проводятся переливания из первого сосуда во второй, из второго в первый и т. д., причем доля отливаемой воды составляет последовательно 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. от количества воды в сосуде, из которого вода отливается. Сколько воды будет в сосудах после 2019 переливаний?

Ответ: ½ л воды

Решение: «Просчитав» несколько первых переливаний, нетрудно обнаружить, что после первого, третьего, пятого переливаний в обоих сосудах будет по ½ л воды. Необходимо доказать, что так будет после любого переливания с нечетным номером. Если после переливания с нечетным номером 2k-1 в сосудах было по ½ л, то при следующем переливании из второго сосуда берется 1/(2k + 1) часть, так что в первом сосуде оказывается — 1/2 + (2/ 2(2k + 1)) = (k + 1)/(2k + 1) (л). При следующем переливании, имеющем номер 2k+1, из него берется 1/(2k + 2) часть и остается (k + 1)/(2k + 1)-(k + 1)/((2k + 1)(2k + 1)) = 1/2 (л). Поэтому после седьмого, девятого и вообще любого нечетного переливания в сосудах будет  по ½   л воды.

Задание 4.

На острове рыцарей и лжецов (лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду) каждый болеет ровно за одну футбольную команду. В опросе приняли участие все жители острова. На вопрос «Болеете ли Вы за «Спартак»?» ответили «Да» 40% жителей. На аналогичный вопрос про «Зенит» утвердительно ответили 30%, про «Локомотив» - 50%, а про ЦСКА – 0%. Какой процент жителей острова действительно болеет за «Спартак»?

Ответ: 30%.

Решение: Пусть x% жителей острова составляют лжецы. Тогда (100 – х)% составляют рыцари. Так как каждый рыцарь утвердительно ответил ровно на один из вопросов, а каждый лжец – на три, то (100 – х) + 3х = 40 + 30 + 50, откуда х = 10. Так как ни один из жителей острова не сказал, что болеет за ЦСКА, то все лжецы болеют за ЦСКА. Каждый из них заявил, что болеет за «Спартак», поэтому действительно болеют за «Спартак» 40% — 10% = 30% жителей.

Задание 5.

Дан ромб 𝐴𝐵𝐶𝐷 с углом 𝐵𝐴𝐷 равным 600. На стороне 𝐴𝐵 взяли точку 𝑇, а на стороне 𝐵𝐶 — точку 𝑁 так, что 𝐴𝑇 = 𝐵𝑁. Докажите, что 𝑇𝑁 = 𝐷𝑇.

Решение. Треугольник 𝐴𝐷𝐵 равнобедренный, и угол 𝐵𝐴𝐷 равен 600, значит 𝐴𝐷𝐵 правильный. Отсюда следует, что 𝐴𝐷 = 𝐷𝐵. Диагональ 𝐷𝐵 ромба есть биссектриса угла 𝐴𝐵𝐶, значит ∠𝐷𝐵𝑁 = 600 . И так как 𝐴𝑇 = 𝐵𝑁 по условию, то треугольники 𝐷𝐴𝑇 и 𝐷𝐵𝑁 равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда следует, что 𝐷𝑇 = 𝐷𝑁 и ∠𝑇𝐷𝑁 = ∠𝑇𝐷𝐵 + ∠𝐵𝐷𝑁 = ∠𝑇𝐷𝐵 + ∠𝐴𝐷𝑇 = ∠𝐵𝐷𝐴 = 600. Значит треугольник 𝑇𝐷𝑁 правильный и 𝑇𝑁 = 𝐷𝑇.

Комментарий. Доказано равенство треугольников 𝐷𝐴𝑇 и 𝐷𝐵𝑁 — 3 балла.

Задание 6.

В параллелограмме ABCD биссектриса угла С пересекает сторону А в точке М и прямую АВ  в точке К. Найдите периметр параллелограмма, если АК = 12, СМ = 24, МК = 18.

Ответ: 88.

Решение: 

1) Из подобия треугольников ∆ AMK и ∆ DMC:
MK/MC = AK/DC ⇒ 18/24 = 12/CD, т. е. CD = (24 · 12)/18 = (24 · 2) /3 = 16.
2)ﮮ BCM = ﮮ MCD (CM – биссектриса ﮮ BCD), ﮮ BKM = ﮮ DCM как накрест лежащие при параллельных прямых BK и DC, и секущей KC. Следовательно, ∆ BKC – равнобедренный.
3)Таким образом, PABCD = 2 ∙ (16 + 28) = 88.