глава 5. Десятичные дроби
план-конспект урока по математике (5 класс)

Деление на десятичную дробь

Задача. Площадь прямоугольника равна 2,88 дм2, а его ширина равна 0,8 дм. Чему равна длина прямоугольника?

Р е ш е н и е. Так как 2,88 дм2 = 288 см2, а 0,8 дм = 8 см, то длина прямоугольника равна 288 : 8, то есть 36 см = 3,6 дм. Мы нашли такое число 3,6, что 3,6 • 0,8 = 2,88. Оно является частным от деления 2,88 на 0,8.

Пишут: .

Ответ 3,6 можно получить, не переводя дециметры в сантиметры. Для этого надо умножить делитель 0,8 и делимое 2,88 на 10 (то есть перенести в них запятую на одну цифру вправо) и разделить 28,8 на 8. Снова получим: .

Чтобы разделить число на десятичную дробь, надо: 
1) в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе; 
2) после этого выполнить деление на натуральное число.

Пример 1. Разделим 12,096 на 2,24. Перенесём в делимом и делителе запятую на 2 цифры вправо. Получим числа 1209,6 и 224.

Так как , то и .

Пример 2. Разделим 4,5 на 0,125. Здесь надо перенести в делимом и делителе запятую на 3 цифры вправо. Так как в делимом только одна цифра после запятой, то припишем к нему справа два нуля. После переноса запятой получаем числа 4500 и 125.

Так как , то и .

Из примеров 1 и 2 видно, что при делении числа на неправильную дробь это число уменьшается или не изменяется, а при делении на правильную десятичную дробь оно увеличивается: , а .

Разделим 2,467 на 0,01. После переноса запятой в делимом и делителе на 2 цифры вправо получаем, что частное равно 246,7 : 1, то есть 246,7. Значит, и 2,467 : 0,01 = 246,7. Отсюда получаем правило:

Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001, надо перенести в ней запятую вправо на столько цифр, сколько в делителе стоит нулей перед единицей (то есть умножить её на 10, 100, 1000).

Если цифр не хватает, надо сначала приписать в конце дроби несколько нулей.

Например, .

1443. Найдите частное и выполните проверку умножением:

а) 0,8 : 0,5;     б) 3,51 : 2,7;     в) 14,335 : 0,61.

1444. Найдите частное и выполните проверку:

а) 0,096 : 0,12;     6)0,126:0,9;     в) 42,105 : 3,5.

1445. Выполните деление:

1446. Запишите выражения:

а) частное от деления суммы а и 2,6 на разность b и 8,5; 
б) сумму частного х и 3,7 и частного 3,1 и у.

1447. Прочитайте выражение:

а) m : 12,8 - n : 4,9; б) (х + 0,7) : (у + 3,4);    в) (а : b) • (8 : с).

1448. Шаг человека равен 0,8 м. Сколько шагов надо ему сделать, чтобы пройти расстояние 100 м?

1449. Алёша проехал на поезде 162,5 км за 2,6 ч. С какой скоростью шёл поезд?

1450. Найдите массу 1 см3 льда, если масса 3,5 см3 льда равна 3,08 г.

1451. Верёвку разрезали на две части. Длина одной части 3,25 м, а длина другой части в 1,3 раза меньше первой. Какова была длина верёвки?

1452. В первый пакет вошло 6,72 кг муки, что в 2,4 раза больше, чем во второй пакет. Сколько килограммов муки вошло в оба пакета?

1453. На приготовление уроков Боря затратил в 3,5 раза меньше времени, чем на прогулку. Сколько времени ушло у Бори на прогулку и на приготовление уроков, если прогулка заняла 2,8 ч?

1454. За 2,4 ч мальчик прошёл 7,2 км. Сколько километров он пройдёт с той же скоростью за 1,6 ч? Придумайте задачи с теми же числами в условии и в ответе:

а) про стоимость и количество товара; 
б) про площадь поля и урожай; 
в) про время работы и количество выпущенной продукции.

1455. Алюминиевый шар, объём которого 50 см3, имеет массу 135 г. Чему равна масса стального шара того же объёма, если масса 1 см3 алюминия на 5,2 г меньше массы 1 см3 стали?

1456. Питательный раствор для подкормки растений поступает в теплицу по двум трубам. Первая была открыта 0,6 ч, а вторая 0,4 ч. В результате поступило 3,32 л раствора. Сколько питательного раствора подаётся за 1 ч по второй трубе, если по первой поступает 3,6 л раствора за 1 ч?

1457. Выполните деление:

а) 4,9 : 0,1;  7,54 : 0,1;  0,8939 : 0,1;  0,8 : 01; 
б) 5,453 : 0,01;  25,43 : 0,01;  0,84 : 0,01;  0,006 : 0,001;  4 : 0,01; 
в) 0,00081 : 0,001;  7,8 : 0,001;  0,0001 : 0,001;  4 : 0,001;  0,0102 : 0,001.

1458. На сколько килограммов масса 1 м3 пробки меньше массы 1 м3 воды, если масса 1 см3 воды равна 1 г, а масса 1 см3 пробки равна 0,22 г?

1459. Решите уравнение:

1460. В двух цистернах было 119,88 т бензина. В первой цистерне бензина было больше, чем во второй, в 1,7 раза. Сколько бензина было в каждой цистерне?

1461. С трёх участков собрали 87,36 т капусты. При этом с первого участка собрали в 1,4 раза больше, а со второго в 1,8 раза больше, чем с третьего участка. Сколько тонн капусты собрали с каждого участка?

1462. Кенгуру ниже жирафа в 2,4 раза, а жираф выше кенгуру на 2,52 м. Какова высота жирафа и какова высота кенгуру?

1463. Два пешехода находились на расстоянии 4,6 км друг от друга. Они пошли навстречу друг другу и встретились через 0,8 ч. Найдите скорость каждого пешехода, если скорость одного из них в 1,3 раза больше скорости другого.

1464. Выполните действия:

а) (130,2 - 30,8) : 2,8 - 21,84; 
б) 8,16 : (1,32 + 3,48) - 0,345; 
в) 3,712 : (7 - 3,8) + 1,3 • (2,74 + 0,66); 
г) (3,4 : 1,7 + 0,57 : 1,9) • 4,9 + 0,0825 : 2,75; 
д) (4,44 : 3,7 - 0,56 : 2,8) : 0,25 - 0,8; 
е) 10,79 : 8,3 • 0,7 - 0,46 • 3,15 : 6,9.

1465. Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной и найдите значение выражения:

1466. Вычислите устно:

1467. Найдите произведение:

а) 0,1 • 0,1;       г) 0,4 • 0,4;       ж) 0,7 • 0,001; 
б) 1,3 • 1,4;       д) 0,06 • 0,8;       з) 100 • 0,09; 
в) 0,3 • 0,4;       е) 0,01 • 100;       и) 0,3 • 0,3 • 0,3.

1468. Найдите: 0,4 числа 30; 0,5 числа 18; 0,1 числа 6,5; 2,5 числа 40; 0,12 числа 100; 0,01 числа 1000.

1469. Каково значение выражения 5683,25а при а = 10; 0,1; 0,01; 100; 0,001; 1000; 0,00001?

1470. Подумайте, какие из чисел могут быть точными, какие жёнными:

а) в классе 32 ученика; 
б) расстояние от Москвы до Киева 900 км; 
в) у параллелепипеда 12 рёбер; 
г) длина стола 1,3 м; 
д) население Москвы 8 млн человек; 
е) в пакете 0,5 кг муки; 
ж) площадь острова Куба 105 000 км2; 
з) в школьной библиотеке 10 000 книг; 
и) одна пядь равна 4 вершкам, а вершо́к равен 4,45 см (вершок — длина фаланги указательного пальца).

1471. Найдите три решения неравенства:

а) 1,2 < х < 1,6; в) 0,001 < х < 0,002; 
б) 2,1 < х < 2,3; г) 0,01 < х < 0,011.

1472. Сравните, не вычисляя, значения выражений:

а) 24 • 0,15 и (24 • 15) : 100; б) 0,084 • 0,5 и (84 • 5) : 10000.

Объясните полученный ответ.

1473. Округлите числа:

1474. Выполните деление:

а) 22,7 : 10; 23,3 ; 10; 3,14 : 10; 9,6 : 10; 
б) 304 : 100; 42,5 : 100; 2,5 : 100; 0,9 : 100; 0,03 : 100; 
в) 143,4 : 12; 1,488 : 124; 0,3417 : 34; 159,8 : 235; 65,32 : 568.

1475. Велосипедист выехал из села со скоростью 12 км/ч. Через 2 ч в противоположном направлении из того же села выехал другой велосипедист, причём скорость второго в 1,25 раза больше скорости первого. Какое расстояние будет между ними через 3,3 ч после выезда второго велосипедиста?

1476. Собственная скорость лодки 8,5 км/ч, а скорость течения 1,3 км/ч. Какое расстояние пройдёт лодка по течению за 3,5 ч? Какое расстояние пройдёт лодка против течения за 5,6 ч?

1477. Завод изготовил 3,75 тыс. деталей и продал их по цене 950 р. за штуку. Расходы завода на изготовление одной детали составили 637,5 р. Найдите прибыль, полученную заводом от продажи этих деталей.

1478. Ширина прямоугольного параллелепипеда 7,2 см, что составляет  длины и  высоты. Найдите объём этого параллелепипеда и округлите ответ до целых.

1479. Папа Карло пообещал каждый день давать Пьеро по 4 сольдо, а Буратино в первый день 1 сольдо, а в каждый следующий день на 1 сольдо больше, если он будет вести себя хорошо. Буратино обиделся: он решил, что, как бы ни старался, никогда не сможет получить в сумме столько же сольдо, сколько Пьеро. Подумайте, прав ли Буратино.

1480. На 3 шкафа и 9 книжных полок пошло 231 м досок, причём на шкаф идёт в 4 раза больше материала, чем на полку. Сколько метров досок идёт на шкаф и сколько — на полку?

1481. Решите задачу:

1) Первое число равно 6,3 и составляет  второго числа. Третье число составляет  второго. Найдите второе и третье числа.

2) Первое число 8,1. Второе число составляет  от первого числа и  от третьего числа. Найдите второе и третье числа.

1482. Найдите значение выражения:

1) (7 - 5,38) • 2,5;      2) (8 - 6,46) • 1,5.

1483. Найдите значение частного:

1484. Путь от дома до школы равен 1,1 км. Девочка проходит этот путь за 0,25 ч. С какой скоростью идёт девочка?

1485. В двухкомнатной квартире площадь одной комнаты 20,64 м2, а площадь другой комнаты в 2,4 раза меньше. Найдите площадь этих двух комнат вместе.

1486. Двигатель за 7,5 ч расходует 111 л горючего. Сколько литров горючего израсходует двигатель за 1,8 ч?

1487. Металлическая деталь объёмом в 3,5 дм3 имеет массу 27,3 кг. Другая деталь из этого же металла имеет массу 10,92 кг. Каков объём второй детали?

1488. В цистерну через две трубы налили 2,28 т бензина. Через первую трубу поступало 3,6 т бензина в час, и она была открыта 0,4 ч. Через вторую трубу поступало за час на 0,8 т бензина меньше, чем через первую. Сколько времени была открыта вторая труба?

1489. Решите уравнение:

1490. Товар массой в 13,3 т распределили на три автомашины. На первую автомашину погрузили в 1,3 раза больше, а на вторую — в 1,5 раза больше, чем на третью автомашину. Сколько тонн товара погрузили на каждую автомашину?

1491. Два пешехода вышли одновременно из одного места в противоположных направлениях. Через 0,8 ч расстояние между ними стало равным 6,8 км. Скорость одного пешехода была в 1,5 раза больше скорости другого. Найдите скорость каждого пешехода.

1492. Выполните действия:

а) (21,2544 : 0,9 + 1,02 • 3,2) : 5,6; 
б) 4,36 : (3,15 + 2,3) + (0,792 - 0,78) • 350; 
в) (3,91 : 2,3 • 5,4 - 4,03) • 2,4; 
г) 6,93 : (0,028 + 0,36 • 4,2) - 3,5.

1493. В школу пришёл врач и принёс для прививки 0,25 кг сыворотки. Скольким ребятам он может сделать уколы, если для каждого укола нужно 0,002 кг сыворотки?

1494. В магазин завезли 2,8 т пряников. До обеда было продано  этих пряников. Сколько тонн пряников осталось ещё продать?

1495. От куска ткани отрезали 5,6 м. Сколько метров ткани было в куске, если отрезали  этого куска?

Тема. Округление десятичных дробей

Цель: ознакомить учащихся с понятием округления числа до определенного разряда; формировать умение использовать правило округления чисел для решения упражнений.

Тип урока: усвоение новых знаний.

Оборудование: таблица округление десятичных дробей.

Ход урока

Актуализация опорных знаний

Вопрос к классу

1. Назовите разряды числа 53,6171.

2. Найдите координаты точек, изображенных на рис. 129.

Между какими соседними натуральными числами лежат координаты точек А, В, С? К какому из натуральных чисел ближе каждое из этих чисел? Какие числа находятся на одинаковом расстоянии? 

II. Мотивация учебной деятельности

Вопрос к классу

1. Или знаете ли вы:

1) Сколько людей живет в России?

2) Сколько кубических метров воды содержит Черное море?

3) Сколько волос растет на голове человека?

4)к примеру, зарплата одного из родителей 10 000 рублей и около 4 000 она заплатила за коммунальные услуги.

 Или можно найти точные числа, являющиеся ответами на предыдущие вопросы?

(Учитель подчеркивает, что при определенных причин точных ответов найти невозможно, поэтому вместо них берут другие значения, близкие к искомых, которые являются круглыми и на примере довольно часто мы имеем дело именно с приближенными значениями величин.)

Наша цель - установить правило округления.

III. Формирование знаний учащихся о десятичные дроби

Рассмотрим числа: 1,2; 1,5; 1,9 - они имеют целую часть - 1, следовательно, лежат между соседними натуральными числами 1 и 2. Но 1,2 ближе к 1, а 1,9 - 2. Поэтому можно сказать, что 1,2 = 1 (примерно равен 1), а 1,9 = 2. Среди других десятичных дробей с одной цифрой после запятой и целой частью 1 есть еще несколько чисел, что лежат ближе к 1 (это 1,1; 1,3; 1,4), и несколько чисел, лежащих ближе к 2 (до 1,6; 1,7; 1,8), поэтому 1,1 = 1; 1,3 = 1; 1,4 = 1, но 1,6 = 2; 1,7 = 2; 1,8 = 2 при этом можно заметить, что в полученных числах цифры, идущие после запятой, отсутствуют, а последняя цифра, что осталась, есть цифрой разряда единиц, и она совпадает с цифрой разряда единиц, что были в данном числе, если за ней шли цифры 1; 2; 2; 4, и эта последняя цифра увеличилась на 1 в случае, когда за ней шли цифры 6, 7, 8, 9.

Эту операцию называют округлением десятичных дробей к разряд > единиц и правило, что описывает решения подобных задач, можно сформулировать так:

1) При округлении десятичной дроби до единиц (десятых, сотых и т. д.), все следующие за этим разрядом цифры отбрасывают.

2) Если при этом первая из цифр, которые отвергают, 0,1,2,3,4, то последняя из цифр, которую оставляют, не меняется.

3) Если же первая из цифр, которые отвергают, равна 5,6,7, 8 или 9, то последнюю из цифр, которую оставляют, увеличивают на 1.

(Если у учащихся возникли вопрос про цифру 5, которая не рассматривалась в примерах, следует помнить, что существует договоренность относительно этой цифры, которая и положена в правило.)

После этого стоит рассмотреть, прокомментировать и записать несколько примеров на округление. Записи можно делать так:

Пример 1. Округлить: 1) до единиц; 2) до сотых; 3) до тысячных число 53,6171.

1) 53,6171  54; 2) 53,6171  53,62; 3) 53,6171  53,617.

Заметим, что под время округления натуральных чисел  правило немного изменится, а именно: вместо цифр, стоящих в натуральном числе после данного разряда, до которого округляют, пишут нули.

Пример 2. Округлить число 9762:

1) до десятков; 2) к сотен; 3) до тысяч.

1) 9762  9760; 2) 9762  9800; 3) 9762  10000.

IV. Закрепления знаний. Формирование умений

Устные упражнения

1. Прочитайте и скажите, к какому разряду округлили число:

1) 3,543  3,5;

2) 7,318  7;

3) 14,5 10;

4) 0,6173  0,617.

2. Работа с таблицей «Округление десятичных дробей»

Округлите дроби:

Письменно по учебником учащиеся выполняют упражнения №

@ Заметим, что не надо требовать от учеников заучивания текста, выделенного в в параграфе жирным курсивом. Целесообразно только требовать усвоения алгоритма, который можно записать и использовать в виде схемы:

1) Найди цифру того разряда, до которого округлили десятичная дробь (натуральное число).

2) Посмотри на следующую (читая слева направо) цифру; если она 0, или 1, или 2, или 3, или 4 - цифру в п. 1 не меняй, в других случаях - увеличь ее на 1 (+ 1).

3) Все цифры, предшествующих найденной в п. 1, - перепиши, те, что идут за ней, - отбрось (запиши нулями).

V. Итог урока
Вопрос к классу

Найдите пропущенное число (рис. 130)

(Объясняя, как найдено правильный ответ - 9,5, учащиеся повторяют алгоритм округления чисел.)

VI. Домашнее задание

Сложение и вычитание десятичных дробей

Цели урока:

− образовательные: ознакомить учащихся с приёмом выполнения сложения и вычитания десятичных дробей; закрепить правила при решении примеров и задач;

− развивающие: развитие умений преодолевать трудности при решении упражнений; развитие познавательного интереса учащихся; математической культуры речи;

−воспитательные: воспитывать прилежание, активность, самостоятельность.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Формы организации учебной деятельности: фронтальная, индивидуальная.

Оборудование: карточки с индивидуальными заданиями, карточки с условием задачи.

Структура урока:

• Организационный момент (2 мин)
• Актуализация опорных знаний. Создание проблемной ситуации (8 мин)
• Объяснение нового материала (9 мин)
• Закрепление изученного материала (18 мин)
• Подведение итогов урока (2 мин)
• Домашнее задание (1 мин)
• Резерв.

Ход урока:

• Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! Сегодня на уроке мы продолжим знакомство с десятичными дробями. На предыдущих уроках вы узнали, какие дроби называют десятичными, научились записывать десятичные дроби, а также сравнивать их. Итак, открыли тетради, записали число, классная работа.

• Актуализация опорных знаний

Но прежде, чем перейти к изучению новой темы, мы с вами вспомним уже изученный материал.

− Индивидуальная работа по карточкам.

Карточка 1.

1) Сравнить числа:

1. 8,57 и 4,56

• 0,7 и 0,69
• 0,957 и 0,964
• 0,90 и 0,900

2) Записать в порядке возрастания числа: 8,02; 9,4; 8,2; 8,22.

Карточка 2.

1. Сравнить числа:

1. 3,61 и 1,69

• 0,034 и 0,035
• 0,6 и 0,59
• 0,6 и 0,600

• Записать в порядке убывания числа: 4,5; 5,72; 4,05; 4,55.

Карточка 3.

1) Сравнить числа:

а) 23,43 и 23,9

б) 3,5601 и 4,48

в) 85,113 и 85,13

г) 148,05 и 14,805

2) Записать в порядке возрастания числа: 4,28; 3,289; 4,249; 3,78.

− Фронтальная работа с классом (Задания выписаны на доске)

• Прочитайте десятичные дроби:

0,761                  13,75                        5,8                          0,80                8,02               1,200

• Запишите десятичную дробь в виде обыкновенной дроби или смешанного числа:

6,1; 76,07; 0,003; 2,0002.

• Найдите равные дроби: 0,073; 7,3; 0,73; 7,03; 0,7300; 7,30.

• Сравните десятичные дроби:

6,99          7,1

21,9          21,59

0,701        0,71

1,434        1,43

− Решите задачу.

(условие задачи заранее раздается на каждую парту)

В первой корзине 20,5 кг ягод, во второй – 17, 2 кг. Сколько килограммов ягод в двух корзинах и насколько килограммов ягод меньше во второй корзине?

(Решают задачу, осознают невозможность решить задачу из-за недостатка знаний. Желание приобрести недостающие знания)

− Перечислите те знания, которых не достает для решения поставленной задачи.

− Чему хотели бы научиться?

− Итак, цель нашего урока – выяснить, как складываются и вычитаются десятичные дроби.

− Записываем тему сегодняшнего урока: «Сложение и вычитание десятичных дробей».

• Объяснение нового материала

− Сложим десятичные дроби 3,724 и 2,651.

− Теперь найдем разность этих же чисел:

И здесь ответ можно получить короче:

3,724

2,651

1,073

− Что можно заметить в записи примеров?

− Запятая записывается под запятой.

Постановка проблемы: а если количество знаков после запятой различно?

−Вычислите: 15,3 + 9,138

72,5 – 6,24

(Если учащиеся не смогут ответить на поставленный вопрос, то алгоритм формулирует учитель)

Учащиеся самостоятельно воспроизводят алгоритм сложения и вычитания десятичных дробей: разряд записывается под соответствующим разрядом, запятая ставится под запятой, недостающие знаки заменяются нулями.

− Запишем в тетрадь:

Алгоритм сложения (вычитания) десятичных дробей:

• Уравнять количество знаков после запятой.
• Записать дроби одну под другой так, чтобы запятая была под запятой.
• Сложить (вычесть) дроби, не обращая внимания на запятую.
• Поставить в сумме (разности) запятую под запятой.

• Закрепление изученного материала.

− Решение упражнений.

№ 863, 864

Аналогично в столбик выполняются все примеры.

5,8 + 22, 191 = 27, 991

95,381 + 3,219 = 98,6

8,9021 + 0,68 = 9, 5821

2,7 + 1,35 + 0,8 = 4,85

13,75 + 8,2 + 0,115 = 22,065

Аналогично в столбик выполняются все примеры.

16,78 – 5,48 = 11,3

7,79 – 3,79 = 4

11,1 – 2,8 = 8,3

88,252 – 4,69 = 83,562

6,6 – 5,99 = 0,61

− Решение примеров  на вычитание. № 866

V. Подведение итогов (2 мин)

− Что нового для себя узнали?

− В чём затруднялись?

− Чему научились?

− Какую проблему ставили на уроке?

− Удалось ли нам её решить?

VI. Домашнее задание (1мин)

№№ 865, 867 выучить алгоритм сложения (вычитания) десятичных дробей.

• Резерв.

Вычислите:

2,3 + 8,4

6,3 + 49,756

10 − 4,939

2,1045 − 0,87

7,324 + 732,4

7,5 + 0,75

48,9 − 4,82

Умножение десятичных дробей. Правила

Повторим устно правило умножения десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.

 Найдем произведение 3,12 • 10 .
А теперь отделяем запятой две цифры справа и получаем:  
                           3,12 • 10   =   31,20   =   31,2 .  
        Значит, при умножении   3,12   на   10   мы перенесли запятую на одну  
цифру вправо. Если умножить 3,12 на 100 , то получим 312 , то есть  
запятую перенесли на две цифры вправо.  
                           3,12 • 100   =   312,00   =   312 .    
        При умножении десятичной дроби на   10 , 100 ,   1000   и т. д., надо  
в этой дроби перенести запятую вправо на столько знаков, сколько нулей  
стоит в множителе. Например:   0,065 • 1000   =   0065,   =   65 ;    
 2,9 • 1000   =   2,900 • 1000   =   2900,   =   2900 .

На доске примеры: 1. 1,5*10=                                    4. 67,431*10=

2. 3,678*100=                                                                5. 7, 38*1000=

3. 5,845*1000=                                                              6. 8,457*100 000=

Хорошо, ребята, эти примеры вы научились решать, а как же быть, если одну десятичную дробь умножают на другую?