Конспекты для подготовки к ОГЭ
материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (9 класс)

                        числовые                                 Выражения                                       с   переменными

Состоящие из чисел, записанных  с помощью знаков действий и скобок

Например:   43 : 5;     9 – 3 ∙ 1,2;          5∙(7-4∙2)

Состоящие из чисел, букв, записанных с помощью знаков действий и скобок

Например: 3m – число, кратное 3, где m € Z        ab;        2(a+b);

2m - формулы четного числа,  2m+1 –формула  нечетного числа

Значение  выражения – это результат выполнения действий

Например: 96 –2 ∙62= 96 -2∙36 = 96 – 72 = 24

Например:  10 – 2y;  если y = -2, то  10 - 2∙(-2)= 10 + 4 = 14 

Выражение не имеет смысла,если есть деление на нуль

Например: не имеет смысла, т.к. выражение 4∙2 – 8 = 0

Например:

 1) ay-4; имеют смысл при всех значениях  x

2) не имеет смысла, если b – 3 = 0,  b = 3

3) имеет смысл при всех значениях а,

                                          кроме (a-2)(a+2)=0,  a-2 = 0 или a+2 = 0

                                                                                a=2       или a = -2

Сравнение выражений

Например:   9 : 0,36   и  0,9

                           и 0,9

                           и 0,9

                           25  > 0,9

Например:       5m – 0,8    и  0,8m – 5

                           Если  m = -1,

                           то  5∙ (-1)-0,8   и  0,8 ∙ (-1)-5

                               -5-0,8  =  -0,8 – 5

Преобразование выражений

1. Свойства действий над числами.

Сложение                                                                                 Умножение

a + b = b + a     переместительное свойство сложения

         a + b + с = a + с + b = b + c + a     сочетательное свойство 

Например:

     1,23 + 13,5 + 4,27 = (1,23 + 4,27) + 13,5 = 5,5 + 13,5 = 19

     a∙b = b∙a        переместительное свойство умножения

     a∙b∙с = a∙с∙b = b∙c∙a=c∙b∙a        сочетательное свойство

Например:

     1,8∙0,25∙64∙0,5 = (1,8∙0,5) ∙(0,25∙64) = 0,9∙ 16 = 14,4

     a∙(b + с) =ab + ac    распределительное свойство умножения

Например:   1)

                       2) 3,5∙6,8 + 3,5 ∙3,2 = 3,5 ∙ (6,8 + 3,2)=3,5 ∙10 = 35

                    3) –(4b-c)  =  -4b+c 

                      4) +(b-3c) = +b - 3c

                      5) -3(a-b) = -3a+3b

2. Тождество – это равенство, верное при любых значениях переменных.

Например: 1) a∙(-b) = -ab

2) (-a)∙(-b) = ab

3) a – b = a + (-b)

4) Докажите тождество:

    (a+b) ∙ x + (a-b) ∙x – 2ax = 0

     ax + bx + ax – bx – 2ax = 0

        2ax – 2ax = 0

                     0 = 0, что и требовалось доказать

3. Преобразование выражений.

1. 13a + 2b - 2a - 5b = 11a - 3b
2. 4a – (a+6) = 4a – a – 6 = 3a – 6
3. 6b + (10 – 4,5b) - 17 = 6b + 10 – 4,5b – 17 = 1,5b - 7

Уравнения с одной переменной

Определение: Уравнение – это равенство с переменной.

Например: x + 2 = 0                2x + 1 = 5        x2 = 4                (x-2)(x+3) = 0

Определение: Корень уравнения – это значение переменной при котором уравнение обращается в верное равенство.

Например:         2x + 1 = 5        

Если x = 2, тогда 2∙2+1 = 5

                               5 = 5, т.е.  х = 2 – корень данного уравнения

Определение: Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Определение: Равносильные уравнения – это уравнения, имеющие одни и те же корни или не имеющие корней.

Свойства при решении уравнений:

1. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, изменяя его знак на противоположный.
2. Умножение (деление) всех членов уравнения на одно и то же число, отличное от нуля.

Например:

При каком значении y значение выражения 3(7y-2) больше значения выражения  7y-8    на 30?

Имеем 3(7y-2)> 7y-8    на  30

Линейное уравнение с одной переменной

Определение:  Уравнение вида ax = b, где x – переменная, a и b некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Виды уравнений

План решения задач

(памятка)

1. Составить эскиз задачи.
2. Выбрать действующих лиц (например: девочки и мальчики; квадрат и прямоугольник; машина и мотоцикл; действие по плану и действие фактически; пряники и конфеты)

    и их характеристики (количество детей; длина, ширина и площадь; скорость, время, расстояние; производительность,  время и объем работы; цена, количество, стоимость).

3. Заполнить таблицу по действующим лицам (строки) и по характеристикам (столбцы) по следующему плану:

Если задача

Памятка по оформлению записей

1. 1) а ∙2 = 2а

2) (а+b)∙8 = 8(а+b)

3) с∙(а+b) = с(а+b)

2. 9м 5 см – 4 дм 7 см = 905 см – 47 см = 858 см = 8 м 58 см

3. Если a>b на 4, то надо записывать в виде a – b= 4. Если a>b  в 4 раза, то надо записывать в виде a=4b

4. xy = 10x +y – запись двузначного числа
5. 10x + 2x -5x +x = 8x

6. x +5 +2x – 3 = 3x +2

7. a +5 ≠

         вычитаемое

8. 55 – 8x = 7

8x = 55 – 7

 множитель

8x = 48

x = 48: 8

x = 6

Задача на числовое выражение

Сережа, Костя и Денис собрали 120 марок. Сергей собрал 25 марок, а Костя – в 2 раза больше, чем Сергей. Сколько марок собрал Денис?

1. 25 ∙ 2 – марок собрано Костей
2. 25 + 25 ∙ 2 – марок собрано Костей и Сергеем
3. 120 – (25 + 25 ∙ 2) – марок собрано Денисом

Задача на суммарную величину

В классе девочек в 2 раза больше, чем мальчиков, а всего 30 учеников. Сколько девочек и мальчиков в классе?

        По условию задачи Д + М = 30 человек.

        Составляем уравнение:

2х + х = 30

2х + 1х = 30

х (2 +1) = 30

3х = 30

х = 10

Значит, М – 10 человек, в Д = 2х = 2∙10=20 человек.

        Ответ: 10 и 20 человек.

Задача на движение

Турист предполагал пройти маршрут длиной 60 км с некоторой скоростью. Однако из-за погодных условий его скорость на маршруте оказалась на 1 км/ч меньше и турист прибыл в конечный пункт на 1ч позже, чем рассчитывал. С какой скоростью прошел турист свой маршрут?

 По плану

                                             60 км

               на 1 км/ч <  ,        на 1 ч позже  

Фактически

По условию задачи tфакт > tплан  на 1 ч.

Составляем уравнение:

60: (х-1) – 60: х = 1

 Задача на стоимость

Тетради в клетку дороже тетрадей в линейку на 400 руб. За 8 тетрадей в клетку надо заплатить на 1600 руб. больше, чем за 10 тетрадей в линейку. Какова цена этих тетрадей?

Тет. в кл.  – 1 т. на 400 руб. >    ,   8 тет.,  на 1600 руб. >

Тет. в л.   -                                    , 10 тет.,

        По условию задачи  Ткл  >  Тл на 1600 рублей.

Составляем уравнение:

        8 (х + 400) – 10х = 1600

Задача на геометрические фигуры

   Одну из сторон квадрата увеличили на 9 см, а другую уменьшили в 5 раз. В результате получили прямоугольник, периметр которого равен 66 см. Найти длину стороны квадрата.

        По условию задачи Рпрям  = 66 см

        Составляем уравнение:

(х+9+х : 5)∙2 = 66

Решаем уравнение методом проб и ошибок.

Если  х=15, то (15 +9+15:5)∙2 = 66

                                                 54 ≠ 66

Если  х=20, то (20 +9+20:5)∙2 = 66

                                                 66 = 66

        Значит, сторона квадрата 20 см.

Задача на работу

  Машинистке надо перепечатать рукопись. Она рассчитала, что печатая в час 8 страниц, она закончит работу на 4 часа раньше, чем если будет печатать в час по 6 страниц. Сколько страниц в рукописи?

План            – по 6 стр/ч,                         , стр. ?

Фактически – по 8 стр/ч, на 4 ч раньше, стр. ?

  По условию задачи перепечатана одна и та же рукопись. Значит, количество страниц по плану и фактически одинаково.

Составляем уравнение:

        6х =  8 (х-4)

Задача на числовые зависимости

   Найти двузначное число, которое в два раза больше суммы своих цифр.

xy  - двузначное число

xy = 10x +y

        х, у – цифры,

х от 1 до 9, у от 0 до 9

        х + у – сумма цифр

        По условию задачи  ху  > x + y в 2 раза

Составляем уравнение:

10х + у = 2 (х+у)

10х +у = 2х + 2у (отнимаем по 2х и по 1у)

и получаем

8х = у    или  у=8х  – упрощенное уравнение

 Решаем уравнение методом перебора.

Если х=1, то у= 8 - подходит

Если х=2, то у=16 – не подходит, т.к. у может принимать значения только от 0 до 9. Значит, все х, большие 1, не могут подходить по условию задачи.

Тогда, имеем число 18.

Задача на составление системы уравнений

   В секции фигурного катания 60 человек. Для занятий их разделили поровну на несколько групп. Если бы групп было на 1 больше, то в каждой было бы на 3 человека меньше. Сколько было групп и сколько человек в каждой группе?

План            –                               ,                        , 60 чел.

Фактически – на 3 чел/группе <, на 1 группу >, 60 чел.

  По условию задачи количество человек не изменилось – 60 человек. Значит, всего человек по плану и фактически одинаково.

Составляем систему уравнений:

ху = 60

(х-3)(у+1) = 60

Решаем систему уравнений методом проб и ошибок.

Если  х=9, у=9, то    9∙ 9 = 60                81 ≠ 60

                                (9-3)(9+1) = 60,     60 =60

Эти значения не подходят.

        Если  х=15, у=4, то  15 ∙ 4 = 60               60=60

                                 (15-3)(4+1) = 60,     60=60

Эти значения подходят.

        Значит, групп было 4 по 15 человек в каждой.

Функция

Задача: Сторона квадрата равна a. Найти периметр фигуры.

Решение: Периметр квадрата вычисляется по формуле P = 4a. Таким образом, видно, что переменная P зависит от значения переменной a. Тогда a – независимая переменная, а P - -зависимая.

Определение: Функция – это зависимость зависимой переменной от независимой переменной, где каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.

a – независимая переменная – аргумент

P – зависимая переменная – функция.

Определение: Область определения функции – это значения, которые принимает независимая переменная.

В нашем примере: a>0

Определение: Область значений функции –это значения, которые принимает зависимая переменная.

В нашем случае: P>0

Способы задания функции

функции                             Нахождение значений                        аргумента

по формуле

1. y = 2x – 3,6

 если  x = 2, то y = 2∙2 – 3,6 = 0,4

2. y = x2 – 9

 y(2) =  22 – 9 = 4 -9 =  -5

по графику

Если x = 5, то y = 1

по формуле

1. y = 12x – 3,6

   если  y = 2,4 ;  то

  12x – 3,6 = 2,4

  12x = 2,4+3,6

  12x = 6

      x = 0,5

по графику

    Если y = 1, то x = 5

Определение:     График функции – это множество всех точек координатной плоскости, абсцисса которой является значением аргумента, а ордината – значением функции.

              Например, чтобы построить график данной функции    

найдем значения функции и построим таблицу:

 ,

   ,  

  ,  

  ,

   ,  

 ,    

Линейная функция

Вывод:

1. График функции y = kx + b, где k≠0, есть прямая, параллельная прямой y = kx.
2. y = kx – частный случай линейной функции y = kx + b при b = 0
3. Если k=0, то y = b – прямая, параллельная оси x
4. Если k=0,  b=0, то y = 0 – ось x

Взаимное расположение графиков  линейных функций

Определение: Угловой коэффициент прямой – это число k функции  y = kx + b

Если k>0, то угол наклона к оси х – острый.               Если k<0, то угол наклона к оси х – тупой.

k различны                                                                         k одинаковы

           Прямые пересекаются                                                         Прямые параллельны

Степень с натуральными показателями

Определение: Степенью  числа а с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а.

an = a∙a∙a∙a∙a∙a∙a∙ ......∙a            -   возведение в степень

                                    n  раз

an  - степень числа а

а — основание степени (показывает, какой множитель умножается)

n — показатель степени (показывает, сколько множителей умножается)

Примеры:

1. 42 = 4∙4=16 (читается «четыре в квадрате»)
2. 23 = 2∙2∙2 = 8 (читается «два в кубе»)
3. 34 = 3∙3∙3∙3 = 81 (читается «три в четвертой степени»)
4. (-1)4 = 1 (4 — четное число)
5. (-1)101 = -1 (101 — нечетное число)

      6)

      7) 0,33 = 0,3∙0,3∙0,3 = 0,027

8) -14 + (-2)3 = -1 + (-8) = -9

 9) -62 - (-1)4 = -36 — 1 = -37

10) 8 ∙ 0,53 + 25 ∙ 0,22 = 8 ∙ 0,125 + 25 ∙ 0,04 = 1 + 1 = 2

11) 8 ∙ 0,110 + 4 ∙ 52 = 8 ∙1 + 4∙ 25 = 8 + 100 = 108

Свойства степени с натуральным показателем

Примеры решений:

1)                               2)

3)        

4)

Одночлены

Определение: Одночлен – это произведение чисел, переменных и их степеней.

Например:         5a2x                8y                -7                23                x        -a

Определение: Одночлен стандартного вида – это произведение числового множителя и степеней различных переменных.

Например:

Привести одночлен к стандартному виду:

1) 2b3 (-3)bc2 = -6b4c2        -6 –числовой множитель – коэффициент одночлена

2) 2a2x () a3x2 = a5x3 = -a5x3        -1 – коэффициент одночлена

Определение: Степень одночлена – это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.

Например:   -7x5y6 – одночлен 11 степени (5+6=11)

                   -6m7n – одночлен 8 степени (7+1=8)

                     23 – одночлен нулевой степени.

1. 81x4 = (9x2)2
2. 64x9 = (4x3)3

Одночлены

Определение: Одночлен – это произведение чисел, переменных и их степеней.

Например:         5a2x                8y                -7                23                x        -a

Определение: Одночлен стандартного вида – это произведение числового множителя и степеней различных переменных.

Например:

Привести одночлен к стандартному виду:

1) 2b3 (-3)bc2 = -6b4c2        -6 –числовой множитель – коэффициент одночлена

2) 2a2x () a3x2 = a5x3 = -a5x3        -1 – коэффициент одночлена

Определение: Степень одночлена – это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.

Например:   -7x5y6 – одночлен 11 степени (5+6=11)

                   -6m7n – одночлен 8 степени (7+1=8)

                     23 – одночлен нулевой степени.

3. 81x4 = (9x2)2
4. 64x9 = (4x3)3

Функции

Многочлены

Определение: Многочлен – это сумма одночленов

Например:  + x – 4 – многочлен,

                      где  

Определение: Подобные члены многочлена – это члены, имеющие одинаковую буквенную часть или не имеющие её.

Например:  3x4 - 5x + 7x2 - 8x4 + 5x = -5 x4+ 7x2 – многочлен стандартного вида

Определение: Многочлен стандартного вида – это многочлен, не содержащий подобных членов.

Определение: Степень многочлена стандартного вида – это наибольшая из степеней входящих в него одночленов.

Например:

Умножение многочлена на многочлен

Умножение многочлена на многочлен

Разложение на множители

Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения

Преобразование целых выражений

Определение: Целое выражение - это выражение, составленное из чисел, переменных  и соединенных между собой знаками +, -, ∙  и  : (на число, отличное от 0).

Примеры:  a3bc2        3,5xy-7a3                2b(b-2a)2-(b3-a3)                3a2-+ac

Упрощение

(y-3)(y2+9)(y+3)- (2y2-y)2-19 = (y2-9)(y2+9)- (4y4-4y3+y2)-19 = y4-81-4y4+4y3-y2-19 =

 = -3y4+4y3-y2-100

Доказательство

Докажите, что выражение x2+6x+10 является положительным числом при любых х

 x2+6x+10 = x2+2∙3x+32-32+10 = (x+3)2+1 > 0, т.к. (x+3)2≥0 , 1>0

Уравнения

1)  x3-4x = 0                                                        2) x3-2x2-x+2 = 0

    x(x2-4)= 0                                                    x2(x-2)-(x-2) = 0

   x(x-2)(x+2) = 0                                                    (x-2)(x2-1) = 0

  x=0  или  x-2=0  или  x+2=0                                    (x-2)(x+1)(x-1) = 0

                   x = 2           x = -2                                   x-2 = 0   или   x+1=0  или  x-1=0

Ответ: 0; 2; -2                                                   x =2                x= -1                x =1

                                                                        Ответ: 2; -1; 1

Разложение на множители

Решение систем уравнений с двумя переменными.

Способ подстановки.

План решения:

1. В более простом уравнении выразить одну из переменных.
2. Выраженную переменную подставить в другое уравнение и решить его.
3. Полученное значение переменной подставить в первое действие и сосчитать.
4. Записать ответ.

Пример.

Решение:

1. 4х + у = 3

у = 3 - 4х

2)   6х – 2у = 1

      6х – 2(3-4х) =1

      6х – 6 + 8х = 1

       14х = 7

         х = 0,5        

3)  у = 3 – 4 ∙ 0,5 = 3 -2 = 1

Ответ: (0,5; 1)

Решение систем уравнений с двумя переменными.

Способ сложения.

План решения:

1. Умножением всех членов уравнений на некоторые числа получить противоположные коэффициенты.
2. Сложить почленно уравнения системы и решить получившееся уравнение.
3. Найденное значение переменной подставить в более простое уравнение данной системы и найти значение другой переменной.
4. Записать ответ.

Примеры:

1)   

Решение:

1)            2)  х + у = 6

                        4 + у = 6

                         у = 6 – 4

                        у = 2

Ответ: (4; 2)                        

3)    Переставим в первом уравнении:        

Решение:

1)          2)  7х + 4у =90

             31 х = 310                 7∙10 + 4у = 90

                        4у = 90 - 70

х =10                          4у = 20

у =5         Ответ: (10; 5)

Решение задач с помощью систем уравнений

№ 1175

Решение:

1)

        По условию задачи Sпо + Sпр = 240 км

        Составляем уравнение: 3(х+у) + 2(х-у) = 240

                                                5х + у = 240

2)

По условию задачи Sпр > Sпо на 35 км

Составляем уравнение: 3(х-у) - 2(х+у) = 35

                                                х -5у = 35

3) Составляем систему уравнений:

   ∙ (-5)                

                                                26у = 65

                                                    у = 2,5

x – 5y = 35

x – 5∙2,5 = 35

x = 35+12,5

x = 47,5

4) По смыслу задачи х>0, y>0, x>y. Этому условию удовлетворяет найденное решение. Значит, Vпо= х+у = 47,5 + 2,5 = 50 км/ч   и

   Vпр= х-у = 47,5 - 2,5 = 45 км/ч  

Ответ: 50 км/ч, 45 км/ч

Линейные уравнения с двумя переменными

Определение: Линейные уравнения с двумя переменными – это уравнение вида ax+by+c=0, где x,y        - переменные, a,b,c – некоторые числа.

Например: 5х + 2у = 10;        -7х+у = 5;                х – у =2

Определение: Решение уравнения с двумя переменными – это пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

 2х – 3у = 10

Если х=4, у=1,5 , то 2 ∙ 4 – 3 ∙ 1,5 = 10

                          8 – 4,5 = 10

                          3,5 = 10   неверно,

 т.е. пара чисел (4; 1,5) не  является решением уравнения.

Определение:  Равносильные уравнения – это уравнения, имеющие одни и те же решения или не имеющие их.

Свойства уравнений:

1. В уравнении можно перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак.
2. Обе части уравнения можно множить или разделить на одно и то же отличное от нуля число.

Например:

Выразить одну переменную через другую:

1. 2х +у = 5        2)                                3)

у = 5 -2х

График линейного уравнения с двумя переменными

Определение: График уравнения с двумя переменными – это множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

1. Пример:         3х + 2у = 6, где а=3, b=2, c=6

План                1) Выразить переменную у

                        2у = 6-3х

                         у =  

                         у = 3 – 1,5х

                         у = -1,5х +3        линейная функция вида  y = kx + b,

                                                                             где k = -1,5 ; b=3

                2) Составить таблицу значений х и у

                3) Построить график

2. Частные случаи построения графика ax + by = c

        Решение систем уравнений с двумя переменными. Графический способ.

Определение: Система уравнений – это  несколько уравнений, для которых находят общее решение.

Определение:  Решение системы уравнений с двумя переменными – это пара значений переменных, обращающая каждое уравнение в верное равенство.

                        Если х=7, у=5, то , , верно,

                                    т.е. (7; 5) – решение системы уравнений.

Определение:  Решить систему – это значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.

План решения системы уравнений графическим способом

1. Выразить переменную у в первом уравнении.
2. Выразить переменную у во втором уравнении.
3. В одной системе построить графики данных функций.
4. Координаты точки пересечения графиков и является решением системы уравнений.

Пример:

1) х +у = 6   →        у = 6-х   линейная функция, график вида у = kx + b,  k = -1, b = 6

2) х -у = 2   →        x -2 = у

y = x-2   линейная функция, график вида у = kx + b,  k = 1, b = -2

3) Строим графики функций.

Сколько решений имеет система уравнений?

Если k1=k2, , b1=b2 , то графики совпадают, система имеет бесконечное множество решений.

Если k1=k2, b1≠b2 то графики параллельны, система не имеет решений.

Если k1≠k2, b1=b2 , то графики пересекаются, система имеет одно решение: (0, b).

Если k1≠k2, b1≠b2 , то графики пересекаются, система имеет одно решение (x1, y1).

1. 

Решение:

1. 11x+10y = 120                2) 6x + y = 18                3) k1=-1,1   k2=-6   b1 = 12   b2 = 18

10y = 120-11x                    y = 18 – 6x                        k1≠k2, b1≠b2

    y =-1,1x+12                    y = -6x +18                        система имеет одно решение

2.

Решение:

1)   8x+20y = 3        2) 2x + 5y = 16        3) k1=   k2=   b1 =    b2 = 

20y = 3-8x            5y = 16 – 2x                        k1=k2, b1≠b2

y =               y =                 система не имеет решений

        у =

3.  

Решение: 1)   5x+2y = -18                2) 15x + 6y = -54        3) k1=-2,5   k2= -2,5  b1 =-9   b2 =-9

     2y = -18-5x                        6y = -54 – 15x                k1=k2, b1=b2

       y =-2,5х - 9                          y =                 система  имеет бесконечное

                                       у = -2,5х – 9                 множество решений

Вашему вниманию предлагается пошаговая система изучения материала курса алгебры с использованием опорных конспектов.

Выражения (числовые, с переменными). (Приложение 1)

Уравнения с одной переменной (Приложение 2)

Линейные уравнения с одной переменной (Приложение 3)

Решение задач с помощью уравнений (Приложение 4)

Функция (Приложение 5)

Нахождение значения аргумента и функции (Приложение 6)

Линейная функция. (Приложение 7)

Взаимное расположение графиков линейных функций (Приложение 8)

Степень с натуральными показателями. Свойства степени с натуральным показателем. (Приложение 9)

Одночлены. (Приложение 10)

Функции. (Парабола. Кубическая парабола). (Приложение 11)

Умножение одночлена на многочлен. Вынесение общего множителя за скобки. (Приложение 12)

Многочлены (Приложение 13)

Умножение многочлена на многочлен. (Приложение 14)

Разложение на множители способом группировки (Приложение 15)

Формулы сокращенного умножения. (формула (a±b)2) (Приложение 16)

Формулы сокращенного умножения (формула a2 – b2) (Приложение 17)

Формулы сокращенного умножения (формула a3 ± b3). (Приложение 18)

Преобразование целых выражений. (Приложение 19)

Линейные уравнения с двумя переменными. График линейного уравнения с двумя переменными. Решение систем уравнений с двумя переменными. Графический способ. Сколько решений имеет система уравнений? (Приложение 20)

Решение систем уравнений с двумя переменными. Способ подстановки. Решение систем уравнений с двумя переменными. Способ сложения. Решение задач с помощью систем уравнений. (Приложение 21)

Поделиться…