Рабочая программа по элективному курсу 11 класс
рабочая программа по алгебре (11 класс) по теме

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ КАЗЕННОЕ

ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«КАЗАНСКОЕ СУВОРОВСКОЕ ВОЕННОЕ УЧИЛИЩЕ

МИНИСТЕРСТВА ОБОРОНЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

ПРОГРАММА ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА ПО МАТЕМАТИКЕ

 «Решение стереометрических задач»

(профильный уровень)

11 класс, 7 курс

преподаватель математики

Гиниятуллин Айрат Минуллович

 первая категория

г. Казань

2016 г.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Рабочая программа элективного курса по математике для обучающихся 11 класса физико-математического и социально-экономического профиля Казанского суворовского военного училища составлена на основе федерального компонента государственного стандарта среднего (полного) общего образования по математике (приказ Министерства образования Российской Федерации № 1089 от 05.03.2004 г.  «Об утверждении федерального компонента государственных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования»), авторской программы  Алфимовой Ю.А. « Решение геометрических задач», рекомендованной экспертным советом  МОУ ДПОПР ЦПКИМР(Муниципальное образовательное учреждение дополнительного профессионального образования педагогических работников «Центр повышения квалификации и информационно методической работы») г. Магнитогорска для обучения учащихся на профильном уровне.  

Данный элективный курс предлагается для изучения учащимся  11-х  классов с целью увеличения часов  подготовки к ЕГЭ для формирования практических навыков по геометрии (1 час в неделю, 34 часа в год).

Основные цели элективного курса:

  -  повышение  интереса ученика  к изучению предмета геометрия;

  -  развитие математических способностей школьников;

  -  обеспечение подготовки к успешной сдаче выпускных экзаменов, поступлению в вуз и продолжению образования, а также к профессиональной деятельности,  требующей высокой математической культуры.

Частные цели курса:

- формирование логического мышления и пространственных представлений учащихся через обучение их решению геометрических задач;

- развитие умения у школьников анализировать математический текст.

Перечисленные выше цели достигаются через реализацию следующего дидактического принципа:

обучение решению задач =  обучение умению разбить данную задачу на типовые подзадачи + обучение алгоритму  решения типовых  задач.

Ведущими методами преподавания курса должны стать частично-поисковый, проблемный, исследовательский. Они призваны обеспечить  реализацию следующих методологических подходов в обучении: задачного, деятельностного и личностно-ориентированного.

Цикл учебных занятий при изучении элективного курса  содержит следующие типы уроков:

               урок-лекция → уроки решения «ключевых задач» → уроки-консультации → 

               уроки-практикумы → зачетные уроки.

Планирование учебного материала составлено таким образом, что оно сопровождает систематический курс геометрии 11 класса  и не привязано к  конкретному учебно-методическому комплексу.

Содержание материала для оценки уровня обученности учащихся по темам элективного курса определяется учителем самостоятельно. Для составления самостоятельных работ и зачетов он  может использовать как дидактические материалы к курсу, так и задачи из собственной методической копилки.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ  УЧЕБНОГО КУРСА

Комбинации тел.

Понятие комбинации тел. Цилиндры, вписанные и описанные около призм. Конусы, вписанные и описанные около пирамид. Комбинации цилиндра и тетраэдра, конуса и призмы.

Сферы, вписанные и описанные около прямых призмы, правильных пирамид. Сферы, вписанные и описанные около произвольных пирамид. Произвольные комбинации сферы с многогранниками. Комбинации сферы и правильных многогранников.  Каркасные многогранники. Комбинации круглых тел.

Выполнение выносных чертежей в решении задач, связанных с комбинациями тел.

Объемы и поверхности тел.  

Объем тетраэдра с попарно перпендикулярными боковыми ребрами. Объем тетраэдра по площади двух его граней, их общего ребра и двугранного угла, образованного этими гранями. Об отношении объемов тетраэдров, имеющих по равному трехгранному углу. Прием достраивания тетраэдра до параллелепипеда при вычислении объемов.

Геометрические задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значения. Задачи на сравнение площадей поверхностей и объемов многогранников. Теорема Менелая.

ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

элективного курса по математике «Решение стереометрических задач»

Курс, класс 7 курс, 11 класс

Преподаватели  Гиниятуллин А.М.

Количество часов

всего34 ч.; в неделю1 ч.

Плановых контрольных уроков  __ , зачетов ___, тестов ___ ч.;

Планирование составлено на основе Основной образовательной программы основного (среднего) общего образования ФГКОУ «Казанское суворовское военное училище Министерства обороны Российской Федерации»

Преподаватель_________________________Гиниятуллин А.М.

ТРЕБОВАНИЯ К ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫМ РЕЗУЛЬТАТАМ

Программа элективного курса способствует формированию у учащихся системного подхода в решении задач с геометрическим содержанием. Это позволяет им при успешном усвоении программы курса, решать задачи части II Единого государственного экзамена.

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА

1. Литвиненко В. Н.       Сборник задач по стереометрии с методами решений: Пособие для учащихся. - М.: Просвещение, 1998.-255 с.: ил.
2. Звавич Л. И. Геометрия. 8- 11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением  математики. – М.: Дрофа, 2000. – 288 с.6 ил.
3. Звавич Л. И. Контрольные и проверочные работы по геометрии. 10 – 11 кл.: Метод. пособие / Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский, Е. В. Такуш. – М.: Дрофа, 2001. – 192 с.: ил.
4. Примерное тематическое планирование уроков повторения в 10 и 11 классах // Первое сентября. Математика. – 1999. - №16.- с. 6 – 8
5. Углубленное изучение математики 8 – 11 классы // Первое сентября. Математика. -  1996. – № 41.- с. 2 – 3
6. Углубленное изучение математики 8 – 11 классы // Первое сентября. Математика. -  1996. – № 44.- с. 2 – 3
7. Сборник задач по геометрии для  проведения устного  экзамена в 9 и 11 кл. Пособие для учителя  / Д. И. Аверянов, Л. И. Звавич, Б. П. Пигарев, А. Р. Рязановский. – М. Просвещение: Уч. лит., 1996. – 96 с.- ил.
8. Бовт Н. Повторяем – решая. Треугольники // Первое сентября. Математика. -  1995. – № 16.
9.  Бовт Н. Повторяем – решая. Четырехугольники // Первое сентября. Математика. -  1995. –  № 17.
10. Бовт Н. Повторяем – решая. Окружность // Первое сентября. Математика. -  1995. –  № 18.
11. Гусев  В. А., Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г. Практикум по элементарной математике. Планиметрия. – М.: Вербум – М, 2000, - 112 с.
12. Сборник задач по математике для поступающих во втузы: Учеб. Пособие /  В. К. Егерев, др.; п.ред. М. И. Сканави.- М.: «Столетие», 1997. – 560 с.: ил.
13. Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С. Геометрия: Задачник к школьному курсу. – М.: Аст-Пресс: Магистр – S, 1998. – 256 с.
14. Шарыгин, Р. К. Гордин. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство    АСТ», 2001. – 400 с.: ил.
15. Зубелевич Г. Задачи на вычисление площадей треугольников и четырехугольников // Первое сентября. Математика. -  1995. – № 4, 10, 11, 14.
16. Селевко  Г.К. Педагогические технологии на основе дидактического и методического усовершенствования УВП. М.: НИИ школьных технологий, 2005.
17. Программы авторских курсов для системы непрерывного образования: Сборник программ / Под общ. ред. Е.И.Шулевой. – Магнитогорск: МаГУ, 2005.

19. КИМ «ЕГЭ. Математика».

Информационно-техническая оснащённость учебного кабинета

Компьютер, интерактивная доска, проектор, комплект чертёжных инструментов, комплект стереометрических тел, раздаточный дидактический материал.

Дидактические материалы

ТЕМА 1. КОМБИНАЦИИ ТЕЛ

        Дидактические цели и задачи: научить строить изображения комбинаций тел и их отдельные виды – выносные чертежи; научить устанавливать взаимосвязь между элементами заданной комбинации; научить сознательно выбирать пути рассуждения и способы решения задач, определять объем и полноту письменного решения.

Цилиндр и многогранники

Уровень А

1. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра. Высота призмы 20 см, сторона основания 16 см.

        Вычислите объем цилиндра.

2. В цилиндр, высота которого 12 см, вписана правильная четырехугольная призма. Площадь ее диагонального сечения равна 120 см2.

        Вычислите объем цилиндра.

3. Правильная треугольная призма вписана в цилиндр. Высота цилиндра 10 см, радиус его основания 4 см.

        Вычислите площадь боковой поверхности призмы.

Уровень Б

1. Около цилиндра описана правильная четырехугольная призма. Ее диагональ равна 17 см, а диагональ боковой грани – 15 см.

        Вычислите объем цилиндра.

2. Призма, основание которой – прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 6 см, описана около цилиндра. Диагональ большей боковой грани призмы наклонена к основанию под углом 45°.

        Вычислите:

        а) диаметр основания цилиндра;

        б) площадь боковой поверхности цилиндра.

3. Параллелепипед вписан в цилиндр.

        Вычислите отношение площадей боковой поверхности цилиндра и диагонального сечения параллелепипеда.

4. В цилиндр вписана призма, основанием которой является равнобедренный треугольник. Его основание 6 см, а боковая сторона 9 см. Площадь боковой поверхности призмы 240 см2.

        Вычислите:

        а) объем цилиндра;

        б) расстояние между образующими цилиндра,  лежащими в равных боковых гранях призмы.

Уровень В

1. В цилиндр вписана треугольная призма. Площадь ее боковых граней равна 54 см2,

56 см2, 72 см2. Ось цилиндра расположена в плоскости одной из боковых граней.         Вычислите площадь полной поверхности цилиндра.

2. Около цилиндра, осевое сечение которого -  квадрат со стороной 8 см, описана призма. Ее основанием является прямоугольная трапеция. Площадь боковой поверхности призмы 288 см2.

        Вычислите:

        а) длину большей стороны  основания призмы;

        б) объем призмы.

3. Около цилиндра, высота которого 15 см, а радиус основания 4 см, описана правильная четырехугольная призма.

        Вычислите площадь полной поверхности призмы.

Задачи повышенной сложности

4. Ребра АВ и СD правильного тетраэдра АВСD являются диаметрами оснований цилиндра.

        Найдите:

        а) отношение объема цилиндра к объему тетраэдра;

        б) угол между образующей цилиндра и прямой АС;

        в) угол между плоскостью основания цилиндра и плоскостью ВСD.

        Ответ. 3π; π/4; arccos /3.

5(ЕГЭ-2004, вариант 001). На окружности основания цилиндра отмечены точки А и В такие, что дуга АВ равна 60°. На окружности другого основания отмечены точки С и D рак, что СD – диаметр, перпендикулярный прямой АВ.

        Найдите объем пирамиды АВСD, если объем цилиндра равен 32π, а плоскость АСD образует с плоскостью основания угол 45°.

        Ответ.  .

Конус и многогранники

Уровень А

1. Правильна четырехугольная пирамида описана около конуса. Высота пирамиды 20 см. Образующая конуса 25 см.

        Вычислите:

        а) объем конуса;

        б) площадь боковой поверхности пирамиды.

2. Правильная треугольная пирамида вписана в конус. Сторона ее основания  12 см, а боковое ребро – 15 см.

        Вычислите площадь боковой поверхности конуса.

3. В конус вписана правильная треугольная пирамида. Сторона ее основания равна 6 см. Высота пирамиды 10 см.

        Вычислите объем конуса.

4. Правильная четырехугольная пирамида вписана в конус. Сторона основания пирамиды равна 5  дм, а ее высота – 8 дм.

        Вычислите объем конуса.

Уровень Б

1. Пирамида, основание которой – прямоугольный треугольник с острым углом 30°,вписана в конус. Меньшая сторона основания пирамиды равна 12 см. Высота ее 16 см.         Вычислите площадь боковой поверхности конуса.

2. В конус вписана правильная треугольная пирамида. Сторона основания равна 6 см, а боковое ребро - 4см.

        Вычислите площадь боковой поверхности конуса.

3. Треугольная пирамида, площадь основания которой 192 см2,а периметр – 48 см, описана около конуса. Высота пирамиды – 15 см.

        Вычислите:

        а) объем конуса;

        б) площадь боковой поверхности конуса.  

4. Около конуса описана пирамида, высота которой 12 дм. Основанием пирамиды является ромб со стороной 4 дм. Угол между плоскостями основания и боковой грани пирамиды равен 60°.

        Вычислите:

        а) объем конуса;

        б) площадь полной поверхности конуса.

Уровень В

1. Пирамида, основанием которой является прямоугольная трапеция с большей боковой  стороной 12 см и острым углом 45°, описана около конуса. Высота пирамиды 8 см.         Вычислите:

        а)площадь полной поверхности конуса;

        б) расстояние от центра основания конуса до плоскости боковой грани пирамиды.

2. Около конуса, высота которого равна 3 дм, описана пирамида. Ее основание – равнобокая трапеция с острым углом 60°. Периметр трапеции 48 см.

        Вычислите:

        а) площадь полной поверхности конуса;

        б) угол при вершине осевого сечения конуса.

Задачи  повышенной сложности

1 (ЕГЭ-2003, вариант 626). Внутри правильной пирамиды САВD с вершиной в точке С расположен конус, вершина которого является центром основания АВD. Основание конуса вписано в сечение пирамиды плоскостью, параллельной плоскости АВD и делящей боковое ребро АС в отношении 2:1, считая от вершины С.

        Определите отношение объема пирамиды к объему этого конуса. Ответ. 81/4π.

2(ЕГЭ-2003, вариант 627-629). В четырехугольной пирамиде FАВСD все двугранные углы при основании равны между собой, а ее основанием является ромб АВСD  с острым углом 60°. Внутри этой пирамиды расположен конус так, что его вершина является точкой пересечения диагоналей ромба, а окружность основания конуса вписана в сечение пирамиды плоскостью, параллельной плоскости АВС и делящей боковое ребро FA в отношении 2:1, считая от вершины F.

        Определите отношение объема этой пирамиды к объему конуса.

Сфера и многогранники

Уровень А

1. Правильная четырехугольная призма описана около шара радиуса 20 см.

        Вычислите площадь полной поверхности призмы.

2. Прямоугольный параллелепипед, стороны основания которого 6 см и 8 см, вписан в шар. Высота параллелепипеда 24 см.

        Вычислите длину диаметра шара.

3. В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар. Его радиус равен 12 см. Угол между плоскостями боковой грани и основания пирамиды равен 60°.

        Вычислите площадь основания пирамиды.

4. В правильную треугольную пирамиду вписан шар. Его радиус равен 18 см. Угол между плоскостями боковой грани и основания пирамиды - 60°.

        Вычислите высоту пирамиды.

5. В шар вписана правильная четырехугольная пирамида. Боковое ребро пирамиды равно 24 см, оно наклонено к плоскости основания под углом 30°.

        Вычислите радиус шара.

Уровень Б

1. Правильная четырехугольная призма, объем которой 64 дм3, описана около шара.         Вычислите отношение площади полной поверхности призмы и объема шара.

2. Около шара описана правильная треугольная призма. Высота ее равна 12 дм.         Вычислите:

        а) площадь поверхности шара;

        б) объем  призмы.

3. Около правильной треугольной призмы описан шар, радиус которого равен 2 дм. Сторона основания призмы – 3 дм.

        Вычислите объем призмы.

4. Около правильной четырехугольной призмы описан шар.

        Вычислите площадь его поверхности, если диагонали основания и боковой грани призмы равны соответственно

 16 см и 14 см.

5. В шар вписана правильная четырехугольная пирамида, боковое ребро которой равно 12 дм, а высота – 8 дм.

        Найдите объем шара.

6. Цент шара, описанного около правильной треугольной пирамиды, делит ее высоту на части, равные 4см и 2см.

        Вычислите объем пирамиды.

7. В правильную четырехугольную пирамиду с высотой 24 дм и стороной основания

 14 дм вписан шар.

        Вычислите объем шара.

8. В правильную четырехугольную пирамиду с высотой 24 дм и стороной  основания 14 дм вписан шар.

        Вычислите объем шара.

Уровень В

1.  Правильная треугольная призма вписана в шар. Его радиус равен 10см. Косинус угла между плоскостью боковой грани и радиусом, проведенным в вершину призмы, равен 0, 4.

        Вычислите объем призмы.

2. В прямую призму, основанием которой является ромб с диагоналями 12 дм и 16 дм, вписан шар.

        Вычислите площадь полной поверхности призмы.

3. В шар, радиус которого равен 14 см, вписана правильная треугольная призма; диагональ ее боковой грани равна 26 см.

        Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.

4. Около шара описана правильная треугольная призма. Ее объем равен 576 см3.         Вычислите объем шара.

5. Прямая призма, основание которой – равнобокая трапеция с боковой стороной 20 см, описана около шара. Разность основания 24 см.

        Вычислите:

        а) объем призмы;

        б) объем шара.

6. Основание пирамиды – правильный треугольник, сторона которого равна 15 дм. Одно из боковых ребер пирамиды перпендикулярно плоскости основания. Оно равно 15 см.         Вычислите длину радиуса шара, описанного около пирамиды.

Задачи повышенной сложности

1 (ЕГЭ-2003, вариант 620-625). В правильной треугольной пирамиде, со стороной основания равной 18 и двугранным углом при основании, равным 60°, расположены два шара. Первый шар касается всех граней пирамиды, а второй шар касается первого шара и всех боковых граней пирамиды.

        Найдите радиус второго шара.

        Ответ. 1.

2 (ЕГЭ-2003, вариант 630-634). В правильной треугольной призме, со стороной основания равной 4 расположены два шара. Первый шар вписан в призму, а второй шар касается одного основания призмы, двух ее боковых граней и первого шара.

        Найдите радиус второго шара.

        Ответ. 3 – .

3.Центр шара, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду, делит ее высоту в отношении 5 : 3.

        Найдите величину двугранных углов при основании пирамиды и при боковом ребре пирамиды.

        Ответ. arcsin4/25.

4. Центр шара, описного около правильной четырехугольной пирамиды. Делит ее высоту в отношении 5 : 3 , считая от вершины пирамиды.

        Найдите величину угла наклона бокового ребра пирамиды к плоскости ее основания.

        Ответ. arctg2.

5. Точка пресечения диагоналей основания правильной четырехугольной пирамиды делит отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром описанной около пирамиды сферы, в отношении 5 : 3.

        Найдите величину угла наклона бокового ребра пирамиды к плоскости ее основания.

        Ответ. arctg/11.

6. В тетраэдр вписан шар радиуса r.

        Найдите расстояние от центра шара до вершин и до ребер этого тетраэдра, если все его ребра равны.

        Ответ. 3r, r.

7.В четырехугольную пирамиду вписан шар радиуса r.

        Найдите расстояние от центра шара до каждой из вершин и до каждого из ребер этой пирамиды, если все ребра пирамиды равны.

8. В шар радиуса r вписана правильная четырехугольная пирамида с плоским углом 90° при вершине.

        Найдите высоту пирамиды.

        Ответ. R.

9.В шар радиуса R вписана правильная треугольная пирамида с плоским углом 60° при ребре основания.

        Найдите сторону основания пирамиды.

        Ответ. .

10. Центр шара, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, совпадает с центром вписанного в нее шара.

        Найдите угол наклона бокового ребра пирамиды к плоскости ее основания.

11. Центр описанного около правильной шестиугольной пирамиды шара является серединой отрезка, соединяющего центр вписанного в пирамиду шара с основанием высоты пирамиды.

        Найдите двугранный угол при ребре основания пирамиды.

12. Центр вписано и описанной около правильной четырехугольной пирамиды сфер симметричны относительно плоскости основания пирамиды.

        Найдите отношение радиуса описанной сферы к радиусу вписанной.

        Ответ. 1 + .

13. Основанием треугольной пирамиды с равными боковыми ребрами является прямоугольный треугольник с гипотенузой 10. Высота пирамиды равна 12.

        Найдите радиус описанного шара.

        Ответ. .

14. Основание пирамиды – ромб с углом 60° и стороной 6. Вершина пирамиды проектируется в точку пересечения диагоналей основания. Высота пирамиды равна 9. Сфера проходит через четыре вершины пирамиды.

        Найдите расстояние от пятой вершины до сферы (рассмотрите все случаи).

        Ответ. 3(-1); 2(4-).

15. Основание ABCD куба ABCDA B C D является основанием правильной четырехугольной пирамиды MABCD. Сфера проходит через все девять указанных точек. Ребро куба равно а.

        Какие значения может принимать высота пирамиды?

        Ответ. а(+1)/2; а(-1)/2.

16. В треугольную пирамиду, все ребра которой раны 2 см, помещены четыре равных шара, каждый из которых касается трех остальных и вписан в один из трехгранных углов пирамиды.

        Найдите радиус этих шаров.

        Ответ. 1/(1 + ).

17. Высота правильной четырехугольной пирамиды, все ребра которой равны в, является радиусом некоторой сферы.

        Найдите длину линии пересечения поверхностей сферы и пирамиды (рассмотрите два случая).

        Ответ. 0; πв/3.

18. Высота правильной шестиугольной пирамиды, все боковые ребра которой равны в и плоский угол при вершине равен 30, является диаметром некоторой сферы.

        Найдите длину линии пересечения поверхности сферы и пирамиды.

        Ответ. πв(-1).

19. В пирамиду вписана сфера радиуса 7, полная поверхность пирамиды равна 33. Найдите произведение площади основания пирамиды на ее высоту.

        Ответ. 77.

Конус, цилиндр и сфера

Уровень А

1. В шар радиуса 4 см вписан конус с углом при вершине осевого сечения 60°.

        Вычислите площадь боковой поверхности конуса.

2. Шар вписан в конус, осевое сечение которого – равносторонний треугольник. Диаметр основания конуса равен 8см.

        Вычислите диаметр шара.

3. Образующая конуса равна 12см и наклонена к плоскости основания под углом 45°.

        Вычислите радиус шара, описанного около этого конуса.

4. Осевое сечение конуса – правильный треугольник. Высота конуса 18 см.

        Вычислите площадь поверхности шара, вписанного в этот конус.

5. В цилиндр, образующая которого равна 16 см, вписан шар.

        На сколько больше площадь полной поверхности цилиндра чем площадь поверхности шара?

6. Шар радиуса 10 см вписан в цилиндр.

        Вычислите:

        а) периметр осевого сечения цилиндра;

        б) объем цилиндра.

Уровень Б

1.  В шар, радиус которого 25 см, вписан конус. Высота конуса 32 см.

        Вычислите площадь боковой поверхности конуса.

2. Около конуса описан шар. Отношение высоты конуса к радиусу шара равно 3:2.

        Найдите отношение объемов шара и конуса.

3. Около конуса, высота и радиус основания которого равны соответственно 6 дм и 6дм, описан шар.

        Вычислите объем шара.

4. В конус, образующая которого равна 10 см, а радиус основания – 6 см, вписан шар.

        Вычислите объем этого шара.

5. Высота конуса в 3 раза больше радиуса вписанного в него шара. Образующая конуса равна 12 см.

        Вычислите площадь боковой поверхности конуса.

6. В шар вписан цилиндр, радиус основания которого равен 4 см, а высота – 15 см.

        Вычислите площадь поверхности шара.

7. Цилиндр вписан в шар. Расстояния от центра шара до образующей и до центра основания цилиндра равны соответственно 9 см и 12 см.

        Вычислите радиус шара.

8. Цилиндр описан около шара.

        Найдите отношение площадей поверхности шара и боковой поверхности цилиндра.

9. Цилиндр вписан в шар, радиус которого 10 см. Образующая цилиндра и диаметр его основания пропорциональны числам 4 и 3.

        Вычислите площадь полной поверхности цилиндра.

10. В шар вписан цилиндр, диагональ осевого сечения которого наклонена к плоскости основания под углом α. Радиус шара равен R.

        Найдите:

        а) высоту цилиндра;

        б) площадь основания цилиндра.

11. Площадь поверхности шара больше суммы площадей оснований описанного около него цилиндра на 50π см2.

        Вычислите:

        а)объем шара;

        б) объем цилиндра.

Уровень В

1. Площадь полной поверхности конуса в два раза больше площади поверхности вписанного в него шара.

        Вычислите косинус угла между образующей конуса и плоскостью его основания.

2. Шар вписан в усеченный конус, радиусы которого 25 см и 9 см.

        Вычислите объем усеченного конуса.

3. Вычислите площадь боковой поверхности усеченного конуса, описанного около шара, если образующая конуса равна 26 см, а радиус шара – 12 см.

4. Радиусы оснований усеченного конуса равны 9 дм и 12 дм, высота – 21 дм.         Вычислите радиус описанного шара.

5. В конус вписан шар. Площадь поверхности шара и площадь основания конуса пропорциональны числам 4 и 3.

        Вычислите градусную меру угла при вершине осевого сечения конуса.

6. Цилиндр вписан в шар радиуса R. Объем части шара, заключенной между основаниями цилиндра, в два раза больше объема цилиндра.

        Найдите расстояние между центрами шара и основания цилиндра.

7. Найдите отношение объема шара, описанного около цилиндра, и объем шара, вписанного в этот цилиндр.

 Произвольные комбинации сферы и многогранников. Комбинации сферы и правильных многогранников. Задачи повышенной сложности

1. В конус помещено два шара, один из которых вписан в конус, а другой касается первого шара и конической поверхности, имея с ней общую окружность.

        Найдите отношение радиусов первой и второй сферы, если образующая конуса в три раза больше радиуса его основания.

2. Высота конуса является диаметром шара радиуса 2.

        Найдите длину линии пересечения конической поверхности и сферической поверхности, если образующая конуса равна 5.

3. В цилиндр помещены четыре попарно касающиеся друг друга сферы радиуса 1 так, что каждая сфера касается цилиндрической поверхности. Две сферы касаются нижнего, а две – верхнего основания цилиндра.

        Найдите радиус основания и высоту цилиндра.

4. В правильный тетраэдр вписан шар. В шар вписан правильный тетраэдр.

Найдите отношение объемов тетраэдров.

Ответ. 27:1. Указание. Введите вспомогательную переменную: ребро одного из тетраэдров – опорный элемент, затем, выразите последовательно через него радиус шара, ребро второго тетраэдра.

5. На сфере даны четыре равные окружности, каждая из которых касается остальных.

 Найдите их радиус, если радиус сферы R.

Ответ.  R.

6. Поверхность шара равна Q.  Вычислите поверхность правильного октаэдра, вписанного в этот шар.

Ответ. Q.

7. Сфера проходит через вершины одной грани куба и касается сторон противоположной грани куба. Найдите радиус сферы, если ребро куба равно а.

        Ответ. а.

8. Внутри правильного тетраэдра с ребром а расположены четыре равных шара так, что каждый касается трех других и граней тетраэдра Определите радиус этих шаров.

Ответ. (-1).

Каркасные многогранники

1. Сфера касается всех ребер правильной шестиугольной пирамиды с ребром основания а и высотой h.

        Найдите радиус сферы.

2. Сфера касается всех ребер правильной четырехугольной пирамиды с боковым ребром 10 и ребром основания 8.

        Найдите радиус этой сферы.

3. Сфера касается всех ребер правильного тетраэдра с ребром а.

        Найдите:

        а) радиус сферы;

        б) расстояние от центра сферы до вершины, грани и ребра тетраэдра.

4. Найдите радиус сферы, касающейся всех ребер основания правильного тетраэдра и проходящей через его вершину, если высота тетраэдра равна h.

5. Шар касается всех ребер правильной треугольной пирамиды.

        Найдите отношение радиуса шара к стороне основания пирамиды, если плоский угол  при вершине пирамиды равен 90°.

6. Все ребра треугольной призмы касаются шара радиуса R.

Найдите объем призмы.

Задача повышенной сложности

1.  Шар касается всех ребер правильного тетраэдра, ребро которого равно а.

Найдите объем образовавшегося тела (объединение объемов шара  и тетраэдра).

Ответ. а3(1+(1- )).

ТЕМА 2. ОБЪЕМЫ И ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛ. ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ СТЕРЕОМЕТРИИ

        Дидактические цели и задачи. Формирование целостного представления о методах решения стереометрических задач на основе обобщения и систематизации, установления внутри- и межпредметных связей посредством развития общеучебных умений и навыков.

Задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значения

Уровень Б

1. Найдите высоту и радиус основания цилиндра наибольшего объема, вписанного в сферу радиуса R..

2. Найдите наибольший возможный объем цилиндра, вписанного в конус, высота которого равна 27 и радиус основания равен 9.

3. Периметр равнобедренного треугольника равен Р.

        Каковы должны быть длины его сторон, чтобы объем тела, полученного вращением этого треугольника вокруг основания, был наибольшим?

4. Основание пирамиды – правильный треугольник, одно из боковых ребер совпадает с высотой пирамиды, длины двух других боковых ребер равны 3.

        При какой высоте пирамиды ее объем является наибольшим? Найдите это наибольшее значение объема.

        Ответ. ; 1,5

5. Прямоугольный треугольник, сумма длин катетов которого равна 3, вращается вокруг одного из них.

        Каким должны быть длины катетов, чтобы объем полученного при вращении конуса был наибольшим? Найдите это наибольшее значение объема.

        Ответ. 2; 1; 4π/3.

6. Найдите наибольший объем конуса с образующей а.

        Найдите радиус основания цилиндра наибольшего объема, вписанного в конус, радиус основания которого – 3.

7. В сферу радиуса R вписан цилиндр.

        Найдите наибольшее значение боковой поверхности цилиндра и отношение его высоты к радиусу сферы в этом случае.

        Вокруг сферы радиуса r описан прямой круговой конус.

        Найдите наименьшее значение объема конуса и отношение его высоты к радиусу сферы в этом случае.

Уровень В

1. Найдите площадь полной поверхности правильной шестиугольной призмы, объем которой равен 4, а сумма длин всех ребер наименьшая.

        Ответ. 8 +4.

2. Середина бокового ребра правильной треугольной пирамиды находится на расстоянии 2 от высоты основания, не пересекающей это боковое ребро.

        При какой длине стороны основания пирамиды она будет иметь наибольшую площадь боковой поверхности? Найдите это наибольшее значение площади.

        Ответ. 4; 12.

3. В сферу радиуса R вписана правильная  четырехугольная пирамида.

        Каков наименьший возможный объем этой пирамиды?

4. Конус описан около куба таким образом: четыре вершины куба лежат в плоскости основания конуса, а четыре другие вершины – на его боковой поверхности.

        Какой наименьший объем может иметь такой конус, если ребро куба равно а?

5. Правильная треугольная призма вписана в шар радиуса 4 так, что одно из боковых ребер лежит на диаметре шара, а все вершины противоположной боковой грани принадлежат поверхности шара.

        При какой высоте призмы сумма длин всех ее ребер является наибольшей?

        Ответ. 2; 24.

6. Одно из оснований правильной треугольной призмы принадлежит большему кругу шара с радиусом 26, а вершины другого основания принадлежат поверхности этого шара.

        Определите высоту призмы, при которой сумма длин всех ее ребер является наибольшей.

        Ответ. 2.

7. Найдите высоту и радиус основания конуса наибольшего объема, вписанного в сферу радиуса R.

Задачи на сравнение объемов геометрических тел

Уровень А

1. Дана правильная четырехугольная пирамида SАВСD. Точка F- середина ребра ВС.

        Найдите, в каком отношении делит объем пирамиды плоскость DSF.

        Ответ. 3:1.

2. Дана правильная четырехугольная пирамида   SАВСD. Точка F делит ребро ВС в отношении 1:2, считая от точки В. Точка Е делит ребро АВ пополам.

        Найдите, в каком отношении делит объем пирамиды плоскость ЕFS.

        Ответ. 1:11.

3. В каком отношении делит объем правильной четырехугольной пирамиды плоскость, проходящая через вершину и центр основания?

        Ответ. 1:1.

4. В каком отношении делится объем правильной п-угольной пирамиды плоскость, проходящей через вершину пирамиды  и пересекающей ее основание?

        Ответ: пирамида делится на части так же, как площади оснований.

5. В каком отношении делит объем пирамиды плоскость, параллельная основанию и пересекающая боковые ребра пирамиды?

Уровень Б

1. В правильной четырехугольной пирамиде SАВСD через середину бокового ребра SC – точку F – и диагональ основания BD проведено сечение.

        Найдите отношение объемов фигур, на которые плоскость сечения делит пирамиду.         Ответ. 3:1.

2. Дана правильная четырехугольная пирамида SАВСD. Точка F делит ребро SC в отношении 1:2, считая от точки S, точка Е – середина ребра ВС.

        Найдите, в каком отношении делит объем пирамиды плоскость DEF.

        Ответ. 5:1.

3. Плоскость, параллельная основанию пирамиды, делит ее на две равновеликие части.

        В каком отношении эта плоскость делит высоту пирамиды?

        Ответ. 1/ .

4. В каком отношении делит объем тетраэдра плоскость, проходящая через середину одного ребра и противолежащее ребро?

        Ответ. 1:1.

5. Дана правильная четырехугольная пирамида SАВСD с вершиной S. Точка F делит ребро ВС в отношении 1:2, считая от точки В.

        Найдите, в каком отношении делит объем пирамиды плоскость DSF.

        Ответ. 1:2.

Уровень В

1. Дана правильная четырехугольная пирамида SАВСD, точка F – середина бокового ребра SC. На продолжении стороны  CD отложен отрезок DE, равный  двум отрезкам CD.

        Найдите отношение объемов фигур, на которые плоскость  BEF делит пирамиду.

        Ответ. 31:29.

2. Дана правильная четырехугольная пирамида SАВСD S – вершина. Точки Е и F – середины ребер АВ и ВС.

        Найдите, в каком отношении делит объем пирамиды плоскость, проходящая через точки Е и F параллельно ребру SВ.

        Ответ. 9:23.

Задачи на сравнение объемов геометрических тел,

в которых применяется теорема Менелая

1. Дана правильная четырехугольная пирамида SАВСD с вершиной S, точка F делит ребро SC в отношении 1:2, считая от точки S, точка Е делит ребро SB пополам.

        Найдите, в каком отношении делит объем пирамиды плоскость DEF.

        Ответ. 11:13.

2. В правильной треугольной пирамиде с вершиной S и основанием АВС на продолжении стороны ВС отложена точка К, такая, что С является серединой ВК. Через точки А, К и середину ребра SC проведена плоскость.

        Найдите отношение объемов фигур, на которые эта плоскость разбивает пирамиду.

        Ответ. 1:5.

3. Дана правильная четырехугольная пирамида SАВСD с вершиной S и основанием АВС. Точка F делит ребро SC в отношении  1:2, считая от точки S; точка Е  делит ребро SA в отношении 1:3, считая от точки S.

        Найдите, в каком отношении делит объем пирамиды плоскость КЕF.

        Ответ. 5:43.

 Задачи на сравнение площадей поверхностей отсеченных многогранников

1. На ребре АВ куба АВСDА1В1С1D1 взяты точки Р1, Р2 и Р3, такие, что ВР1=Р1Р2=Р2Р3=Р3А. Постройте сечения куба плоскостями: а)С1DР1; б)С1DР2; в)С1DР3.

Найдите отношение площадей поверхностей многогранников, на которые рассекается куб в каждом случае.

2. На ребрах В1С1, АD и СD прямоугольного параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 взяты точки Р, К и L – середины этих ребер. Отношение ребер параллелепипеда АВ:АD:АА1=1:2:1.         Постройте сечения параллелепипеда плоскостями, проходящими через точку Р параллельно прямой DD1 и следующим прямым: а)АВ1; б)В1К; в)В1L.

Найдите отношения площадей поверхностей многогранников, на которые рассекается параллелепипед в каждом случае.

3. В основании пирамиды МАВС с высотой МО лежит прямоугольный треугольник АВС, и МО=АС=ВС. Все боковые ребра пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания. На ребре МС взята точка К - середина этого ребра. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку О – основание высоты  перпендикулярно прямой АК.

 Найдите отношение площадей фигур, на которые секущая плоскость разделяет следующие грани: а)АВС; б) МАВ; в)МАС.