Конспект урока "Функция y = x2 и её график"
план-конспект урока по математике (7 класс) на тему

Урок алгебры в 7 классе

Тема урока: Функция y = x2  и её график.

Цели урока:

1. ввести определение функции y = x2; изучить её свойства; научить строить и   читать график этой функции; показать прикладной характер изучаемого    материала;  показать решение  уравнений графическим способом;
2. развивающие – развитие мышления (учитель ставит ученикам задачу, для решения которой у учеников еще нет необходимых знаний),  развитие памяти (на этапе актуализации опорных знаний и способов действий);  развивать навыки исследовательской работы; графическую культуру учащихся;
3. воспитательные – формирование учебно-коммуникативных, учебно-интеллектуальных умений, воспитание интереса к изучению математики,      воспитывать  целенаправленное отношение к деятельности,  аккуратность,  наблюдательность, интерес к окружающим явлениям.

Тип урока: изучение нового материала

Формы обучения:  в парах, фронтальная

Оборудование:  доска,  компьютер,  проектор,  презентация,    бланки    математического исследования;   тексты самостоятельной работы.

Этапы урока:

1. Организационный момент (1 мин) и  мотивация
2. Актуализация опорных знаний и способов действий (5 мин).
3. Ознакомление с новым материалом (15 мин).
4. Закрепление нового материала (20 мин).
5. Постановка домашнего задания (1 мин).
6. Подведение итогов урока (3 мин).

Ход урока.

1.Организация начала урока и мотивация. ( Обеспечение мотивации)

Выдающийся французский философ,  ученый Блез Паскаль утверждал: «Величие человека в его способности мыслить». Сегодня мы попытаемся почувствовать себя великими людьми, открывая знания для себя.

Девизом к сегодняшнему уроку будут слова древнегреческого математика Фалеса:

             - Что есть больше всего на свете? – Пространство.

             - Что быстрее всего? – Ум.

             - Что мудрее всего? – Время.

             - Что приятнее всего? – Достичь желаемого.

Хочется, чтобы каждый из вас на сегодняшнем уроке достиг желаемого результата.

     2. Актуализация опорных знаний и способов действий и сообщение темы и цели урока

 Задачи:  обеспечение  принятия учащимися цели учебной деятельности, актуализация опорных знаний и умений

Сейчас мы  вспомним и повторим пройденный материал. А вот по какой теме вы узнаете, расшифровав её название, заменив каждую пару чисел буквой.

            у                                                

       функция

     х

                            Повторение теоретических сведений.

     Объясните  предложенные термины.                                                          

      Функция                                                                                    

      Аргумент                                    

      График функции                       

     Область определения.               

    Линейная функция.                            

Укажите область определения функции:   y = 16 – 5x;    y =    

y =    y =                                    

    Как известно, всякая функция описывает процессы движения и изменения, происходящие в окружающем нас мире.

    Рассмотрим, например, зависимость площади квадрата от его стороны.

- Что будет происходить с площадью квадрата, если мы будем изменять длину его стороны?

- Сторону квадрата увеличили в 3 раза. Как измениться  его площадь?

- А если сторону уменьшить в 4 раза, что произойдёт тогда?

- Какой формулой задаётся зависимость площади квадрата от его стороны?.   (S = a2)

- Будет ли зависимость площади квадрата от его стороны являться функцией? Объясните ответ.

     Если в формуле S = a2 площадь обозначить через y, а длину стороны через х, то рассмотренная нами функции задаётся формулой вида y = x2, которую называют квадратичной.  

                                3. Изучение нового материала.

            По словам французского писателя Оноре де  Бальзака «Ключом ко всякой науке является вопросительный знак».   Поэтому мы сейчас проведём небольшое математическое исследование и попытаемся ответить на вопросы: что представляет собой функция y = x2?;  какими свойствами она обладает?; как выглядит её график? Все результаты исследований вы будете заносить в протокол исследования. (У каждого ребёнка на парте специальный бланк). (Приложение).  

    ● Работу начнём с того, что составим таблицу соответственных значений x и y рассматриваемой нами функции. (Задание №1 математического исследования).

   Дети самостоятельно заполняют таблицу, можно использовать таблицу квадратов двузначных чисел.

    ●  Проверьте ваши результаты. (Правильные ответы на слайде).

    ●  Выполним Задание №2. Построим график функции.

  По данным таблицы учащиеся строят график функции, учитель оказывает необходимую помощь «слабым» детям.

    ●  Давайте посмотрим, что у нас получилось. (Изображение графика на слайде).

    ● Итак, мы построили кривую, которая является графиком функции y = x2. Ясно, что этот график неограниченно продолжается вверх, справа и слева от оси y. Обратите внимание, ребята, на вид графика вблизи начала координат. Для значений х, близких к нулю, график практически сливается с прямой Ох. В таком случае говорят, что кривая касается оси абсцисс.

    ● График функции y = x2 называют параболой. Откуда взялось это название и что оно означает?

                                  Презентация «Многоликая парабола».

                                           Историческая справка.

     Древнегреческий математик  Аполлоний Пергский  где – то за 200 лет до нашей эры разрезав конус, линию среза назвал параболой, что в переводе с греческого означает «приложение» или «притча», о чём математик и написал в восьмитомнике  «Конические сечения». И долгое время параболой называли лишь линию среза конуса, пока не появилась квадратичная функция.

   ●  Параболу часто можно встретить на практике.

                                          Знаете ли вы, что:

        Траектория камня, брошенного под углом к горизонту, летящего футбольного или баскетбольного мяча, артиллерийского снаряда является параболой (при отсутствии сопротивления воздуха). То есть всё, что мы бросим под углом к горизонту, будет лететь по параболе, поскольку движение под действием гравитации подчиняется законам квадратичной функции.

       Струйки воды фонтана также описывают траекторию в виде параболы.

       Форму параболы принимают орбиты комет, спутников и космических кораблей.

       Парабола обладает оптическим свойством: все лучи, исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы (определённой точке), отражаются параллельно её оси. Это свойство параболы используется при изготовлении прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков, а также параболических антенн.

    ● Многоликую параболу можно встретить и в природе.

                                     Невероятно, но факт!

    Например, перевал в горном районе Ергаки (Саяны, Сибирь) напоминает по форме параболу. Он так и называется перевал Парабола.

   Или вот это дерево!

        Презентация «Функция y = x2 и её график».                

    ● Продолжим наше исследование. Наша задача выяснить, какими свойствами обладает функция  y = x2 и как эти свойства отражаются на её графике. Для этого выполните Задание №4.

     Опираясь на таблицу значений и график функции, учащиеся заполняют таблицу в бланке исследования, получая при этом свойства функции и отражение этих свойств на графике.

   Учитель контролирует работу и оказывает необходимую помощь.

     ● Обсудим свойства функции y = x2.

   Учащиеся формулируют свойства, а учитель, с помощью  детей, комментирует их  и делает необходимые дополнения, используя слайды.

- Область определения функции D(f): любое число. Действительно, любое число х можно возвести во вторую степень.

-  Если х = 0,  то y = 0. График функции, следовательно, проходит через начало координат.

- Если х ≠ 0,  то y > 0. Действительно, квадрат любого числа, отличного от нуля, есть число положительное. Значит, все точки графика функции, кроме точки (0; 0), лежат выше оси х, т. е. в I и II координатных четвертях.

- Исходя из того, что функция принимает только неотрицательные значения, т. е. y ≥ 0, можно сделать вывод, что область значений функции E(f): все значения y ≥ 0, . т. е. неотрицательные.

- Противоположным значениям х соответствует одно и то же значение y. Это следует из того, что (- х)2 = х2 при любом х. Например, (-3)2 = 32 = 9. Таким образом, точки графика, имеющие противоположные абсциссы, симметричны относительно оси y. Говорят, график функции симметричен относительно оси y. Заметим, что такие функции называются чётными.

    ● Ещё раз вернёмся  к параболе и перечислим её геометрические свойства:

                             Геометрические свойства параболы.   

- Обладает симметрий. Осью симметрии является ось ординат.

- Ось разрезает параболу на две части, которые называют ветвями параболы.

- Точка (0; 0), в которой смыкаются ветви, называется вершиной параболы.

- Парабола касается оси абсцисс.

4. Закрепление изученного материала.

  ● Русский писатель Л. Н. Толстой сказал: «Знание – орудие, а не цель». Давайте учиться использовать полученные вами сегодня знания как орудие для выполнения заданий различного характера.

                                                   ● Начнём с элементарного.

   Выполняя упражнения, учащиеся должны опираться на свойства функции и  графика.

    ● Используя график функции y = x2 (рис. 61 учебника), найдём:

а) значение функции, соответствующее значению аргумента, равному: 1,4; - 1,4;  - 2,6;  3,1; - 3,1;

  Учитывая симметрию графика относительно оси ординат достаточно определить значения y для неотрицательных значений х.

б) значения аргумента, при котором значение функции равно  4;  6;

   Достаточно найти одно из значений, а другое значение будет ему  противоположным.

в) несколько значений х,  при которых  значения функции меньше 4;  больше  4.

    ● Выполните задание №1   Самостоятельной работы.  (Приложение)

    ● Вспомните, как устанавливается принадлежность точки графику заданной функции?

    ● Определим, принадлежит ли графику функции y = x2 точка:

                а) P(-18; 324);         б) R (- 99; - 9081);         в) S(17; 279).

     а) Точка P лежит во II координатной четверти, поэтому она  может принадлежать графику. Подставляя координаты точки P в формулу, получим 324 = (-18)2;  324 = 324 – верное равенство. Точка P принадлежит графику функции.

    б) Точка R лежит в IV координатной четверти, значит, она не может принадлежать графику, поскольку все точки графика функции  y = x2 лежат в верхней полуплоскости, т. е. в I и II координатных четвертях.

    в) Точка S лежит в I координатной четверти, она может принадлежать графику функции. Подставляя координаты точки в формулу, получим 279 = 172; 279 = 289 – неверное равенство. Точка S не принадлежит графику.

    ● Определите, не выполняя вычислений, какие из точек не принадлежат графику функции      y = x2. Ответ объясните. (Упражнение выполняется устно).

           (-1; 1);    (-2; -4);   (0; 8);   (3; -9);   (1,8; 3,24);    (16; 0).

    ● При каких значениях  a точка  P(a; 64)  принадлежит графику функции y = x2. (Упражнение №492 учебника).

    ● Выполните задание №2  Самостоятельной работы.  (Приложение).

      С помощью графиков функций можно найти приближённые значения корней некоторых уравнений, т. е. решить уравнение графическим способом. Разберём на примерах  данный способ решения. Решим графическим способом уравнения:

                     а) х2 = 5;    б) х2 = - 1;     в) х2 = х + 1.

   Объяснение ведётся согласно учебнику (Пример 1).

    ● Следовательно, алгоритм решения уравнения графическим способом состоит в следующем:

 1. Построить в одной системе координат графики функций, стоящих в левой и правой части  уравнения.

  2. Найти абсциссы точек пересечения графиков. Это и будут корни уравнения. Если точек пересечения нет, значит, уравнение не имеет корней.

    ● Выполните задание №3  Самостоятельной работы.  (Приложение).

5. Контрольные вопросы.

     ● Как называется график функции y = x2?

     ● Как на координатной плоскости расположен график функции  y = x2?

     ● Какова область определения функции y = x2?

6. Подведение итогов урока.

Наше занятие подходит концу. Пожалуйста, поделитесь с нами  своими мыслями о сегодняшнем занятии (хотите одним предложением).

Вам для этого помогут слова:

- Я узнал…

- Я почувствовал…

- Я увидел…

- Я сначала испугался, а потом…

- Я заметил, что …

- Я сейчас слушаю и думаю…

- Мне интересно следить за…

7. Домашнее задание.

    ● Изучить п37.

      ● Выполнить упражнения №37.19  (в,г), 37.29