Подготовка к ОГЭ. Решение задач по геометрии 2 часть №24,25.
методическая разработка по математике (9 класс) на тему

Практикум

по теме «Решение планиметрических задач из банка заданий ОГЭ № 24-25»

в 9 классе на 24.03.2018 г.

1. Приветствие.

2. Обзор модуля «Геометрия», часть 2, задания 24-25.

3. Примеры решение задач (№24-25) из Демо-версии 2018 года

4. Практикум по решению задач.

I часть. Задача №24:

А) Фронтальное решение 2-3-х задач.

Б) Самостоятельное решение задачи на выбор (с дальнейшим представлением решения 1-2-х задач на доске  учащимися по желанию, которое при необходимости  корректируется после обсуждения).

 II часть. Задача №25:

А) Фронтальное решение 2-3-х задач.

Б) Самостоятельное решение задачи на выбор (с дальнейшим представлением решения 1-2-х задач на доске  учащимися по желанию, которое при необходимости  корректируется после обсуждения).

 5.  Подведение итогов занятия. Рефлексия.

Примечание:

- на столах у учащихся лист с перечнем задач из открытого банка ОГЭ  по математике, из которых учащиеся выбирают те, которые будем решать и фронтально и самостоятельно,

- в ходе обсуждения представленного решения задачи педагог при необходимости задает вопросы, которые могли бы возникнуть у эксперта на проверке.

Перечень заданий для решения

Часть 1.

1. В треугольнике угол равен 72°, угол равен 63°, . Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Решение:

‹А = 180 –(72°+ 63°) = 45°, используя расширенную т. синусов имеем:  2R = ВС/sinA,

2R = ВС/sin45, R = 4

2. Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 18, а сторона AC в 1,2 раза больше стороны BC.

Решение:

Рассмотрим четырехугольник PKBC. PKBC вписан в окружность, следовательно выполняется условие: сумма противоположных углов четырехугольника равна 180° (условие того, что четырехугольник можно вписать в окружность). Т.е. ∠PKB+∠BCP=180° ∠PKB+∠AKP=180° (т.к. это смежные углы). Следовательно, ∠AKP=∠BCP Рассмотрим треугольники ABC и AKP. ∠AKP=∠BCP (это мы выяснили чуть выше) ∠A - общий, тогда эти треугольники подобны (по признаку подобия). Следовательно, KP/BC=AK/AC=AP/AB (из определения подобных треугольников). Нас интересует равенство KP/BC=AP/AB KP/BC=18/(1,2BC) KP=18BC/(1,2BC)=15 Ответ: KP=15

3. Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О — центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 100°.

Решение: 

Треугольник ACO прямоугольный по свойству касательной (радиус к   ней перперпендикулярен). Угол AOD центральный и равен 100 градусам (градусной мере дуги AD, на которую он опирается).

Он внешний угол треугольника ACO. Тогда 

Ответ 10.

3.            4.В треугольнике АВС углы А и С равны 40° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.

BD - биссектриса  =>  угол СBD = 1/2 АВС = 1/2 *(180°  -  (20°+60°)) =

= 1/2 *(180°  -  80°) = 1/2 *100° =  50°

Рассм. треуг. ВСH  (угол СНВ  - прямой по условию).  По теореме о сумме острых углов прямоугольного треугольника  НСВ + НВС  = 90°.

По условию   НСВ  =  60°.  Значит угол НВС = 90° - 60° = 30°

Угол между высотой ВН и биссектрисой BD - это угол HВD.  Он равен:

угол HВD =  угол СBD  - угол НВС= 50°  -  30° = 20°.

Ответ: 20°.

     5. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне       BC. Найдите BC, если AB = 34.

BC||AD (по определению параллелограмма) ∠BAE=∠EAD (т.к. AE - биссектриса) ∠EAD=∠BEA (т.к. это накрест-лежащие углы) Следовательно, ∠BAE=∠BEA Получается, что треугольник ABE - равнобедренный (по свойству), и AB=BE (по определению равнобедренного треугольника). Аналогично с треугольником ECD: ∠CED=∠CDE EC=CD Так как AB=CD (по свойству параллелограмма), то получается, что AB=BE=EC=CD = 34. Значит, ВС = 34 + 34 = 68

             Ответ 68

6. Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 12 и CH = 3. Найдите высоту ромба.

             Решение.

  Поскольку ABCD — ромб, AD = DC = DH + HC = 15.

   Треугольник ADH прямоугольный, поэтому:  

          Ответ: 9.

7. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 10.

Углы BAD и ABC — внутренние односторонние при прямых AD || BC и секущей AB,
следовательно, углы BAD+ABC =180°. AF и BF — биссектрисы углов BAD и ABC
Углы BAF и ABF будут равны половине суммы углов BAD+ABC =180°, то есть 180:2=90°.
Треугольник ∆AFB — прямоугольный, тогда по т. Пифагора находим AB:

AB2=BF2+AF2, AB2=102+242  AB2=100+576  AB2=676   AB=26

                  Ответ: 26.

8. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Найдите AB, если BC = 34.

9. Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 5, AC = 20.

Решение:

Рассмотрим треугольники ABC и ABH. ∠A - общий ∠AHB=∠ABC Следовательно, эти треугольники подобны (по признаку подобия) Тогда AC/AB=AB/AH (гипотенуза большого треугольника относится к гипотенузе маленького как малый катет большого треугольника к малому катету маленького треугольника) 20/AB=AB/5 20*5=AB2, 100=AB2, AB=10

Ответ: AB=10

10. Прямая AD, перпендикулярная медиане ВМ треугольника АВС, делит её пополам. Найдите сторону АС, если сторона АВ равна 4.

Решение : AD для треугольника ABM является и медианой, и высотой. А это свойство медианы для равнобедренного треугольника. Следовательно, треугольник ABM - равнобедренный с основанием BM. По определению равнобедренного треугольника AB=AM. Т.к. BM - медиана для треугольника ABC, следовательно AM=MC (по определению медианы). Тогда AC=AM*2. Как мы выяснили ранее AM=AB => AC=AB*2=4*2=8.

Ответ: AC=8.

11. Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH = 16.

            Решение:

Вписанный угол РВК - прямой по условию задачи. Так как  центральный угол равен двум прямым углам, т.е. 180°, отрезок РК - диаметр и равен другому  диаметру ВН. 

РК=16. 

    Если короче - вписанный угол, если он равен 90°, опирается на диаметр. Отсюда РК - диаметр.

Часть 2.

1. В окружности с центром О проведены две хорды АВ и CD так, что центральные углы АОВ и СОD равны. На эти хорды опущены перпендикуляры ОК и OL. Докажите, что ОК и OL равны.

Решение

Треугольники АОВ и СОD равны по двум сторонам и углу между ними (AO = BO = CO = DO как радиусы окружности, ∠AOB = ∠COD по условию). Следовательно, высоты OK и OL равны как соответственные элементы равных треугольников.

2. На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.

Решение:

1) По условию задачи BD=BE, следовательно треугольник BDE - равнобедренный (по определению). По свойству равнобедренного треугольника /BDE=/BED. Смежные им углы тоже равны, /BDA=/BEC. 2) Рассмотрим треугольники ABD и CBE. AD=CE (по условию), BD=BE (По условию), /BDA=/BEC (из п.1), следовательно эти треугольники равны (по первому признаку равенства треугольников), а это значит, что BA=BC. Следовательно треугольник ABC - равнобедренный (по определению).

3. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны.

     Решение:                                                                              

 ∠АBD и ∠ACD опираются на отрез AD и равны друг другу. Значит мы можем провести окружность через точки AD и вершины этих углов. Эти углы окажутся вписанными в окружность, опирающимися на одну дугу. Получится, что мы описали окружность вокруг четырехугольника. Заметим, что углы DAC и DBC тоже являются вписанными и опирающимися на одну и ту же дугу, т.е., используя теорему о вписанном угле, получаем, что они равны друг другу . ч.т.д.

4. В треугольнике угол равен 36°,  — биссектриса. Докажите, что треугольник  — равнобедренный.

Доказательство:

АВ=ВС значит треугольник АВС равнобедренный значит угол А= углу С(по свойству)

угол В=36, т.к А+В+С= 180.Значит угол А+ угол С =144. угол А=углуС=72

АД-биссектриса значит угол ВАД равен 72 делить на 2=36 треугольник АВД равнобедренный так как угол ВАД = углу В

5. В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС 

Докажите, что ВFDЕ — параллелограмм.

1) Рассмотрим треугольники ABE и CDF. AB=CD (по свойству параллелограмма). /BAE=/DCF (т.к. это внутренние накрест-лежащие углы для параллельных BC и AD и секущей AC). /BEA=/DFC (т.к. оба эти угла прямые по условию).Значит прямоугольные треугольники равны по гтпотенузе и острому углу). Отсюда следует, что BE=FD

2) Рассмотрим треугольники BFE и DEF. BE=FD (из пункта 1), EF-общая сторона, /BEF=/DFE (т.к. это прямые углы по условию). Следовательно треугольники BFE и DEF равны (по второму признаку равенства треугольников). Отсюда следует, что BF=ED. 3) В итоге получаем, BF=ED и BE=FD, следовательно ВFDЕ — параллелограмм (по свойству параллелограмма).

6. В параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём АЕ = CK, BF = DM. Докажите, что EFKM — параллелограмм.

7. В параллелограмме проведены высоты и . Докажите, что подобен .

Решение

Треугольники АВЕ и CBF подобны по первому признаку подобия: два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого. Углы ВЕА и BFC прямые, т.к. ВЕ и BF - высоты, а углы А и С равны как противоположные углы параллелограмма.

8. В параллелограмме проведены биссектрисы противоположных углов. Докажите, что отрезки биссектрис, заключенные внутри параллелограмма, равны.

Доказательство: рассмотрим треугольники ADN и CBM

1. AD = DC  как противоположные стороны параллелограмма,
2. угол DAN равен углу BCM как половины равных углов А и В параллелограмма
3. угол AND равен углу CBM как противоположные углы параллелограмма

Треугольники равны по второму признаку, следовательно AN = MC как соответственные стороны в равных треугольника

9. Середины сторон параллелограмма является вершинами ромба. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

 Доказательство: Рассмотрим треугольники AEH и BEF:

1.ВЕ = ВA так как Е – середина АВ

2. ВА = AH как половины равных сторон  параллелограмма

3. EF = EH  как стороны ромба. Отсюда следует, что данные треугольники равны по третьему признаку. Значит угол В = углу А,  а так как они являются внутренними односторонними и в сумме дают 180 градусов, то каждый из них равен 90 градусов. Аналогично доказываем, что угол С равен 90 грабусов и угол D = 90 градусов. По определению ABCD – прямоугольник.