Практическое занятие по теме Операции над множествами
учебно-методическое пособие по математике (11 класс) на тему

Практическое занятие

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

Цель практического занятия: научиться выполнять операции дополнения, пересечения, объединения, разности, симметрической разности над множествами.  

1. Краткие теоретические сведения

Операции над множествами

1. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее их всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно (обозначается: А∩В). Используя характеристическое свойство, данное определение можно записать следующим образом:

А∩В= {x ⎪x∈A и x∈B}={x ⎪ x∈A ∧ x∈B}.                                        

Графическая иллюстрация пересечения двух множеств приведена на рис 1.

рис.1

2. Объединением двух множеств А и В называется такое множество, которое состоит из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В (обозначается: А∪В). Данное определение можно записать с помощью характеристического свойства:

        А ∪ В={x⎪ x∈A или x∈B}.                                                        

Графическая иллюстрация объединения двух множеств показана на рис. 2.

рис. 2              

Отметим  некоторые очевидные свойства операции объединения двух множеств:

        А∪А=А,           А∪∅=А,         А∪U=U.                                                        

Замечание1.

        Если А1, А2,…, Аn – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их пересечение, т.е. составляется множество, представляющее их общую часть:

        Р= А1∩ А2∩…∩ Аn={x ⎪ x∈∀ Ai, i=},

Замечание 2.

        Если А1, А2,…, Аn – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их объединение – составляется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному их них:

        C= A1∪A2∪…∪An={x ⎪ x∈A1 или x∈A2  или …или x∈An}.

Замечание 3.

        Если в выражении есть знаки ∪ и ∩ и нет скобок, то сначала выполняется операция пересечения, а потом – операция объединения (аналог сложению и умножению в арифметике).

3. Разностью двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех  и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В (обозначается: А  В). С помощью характеристического свойства данное определение запишется следующим образом:

                A  B={x ⎪ x∈A и x∉B}                                                        (8)

рис. 3                

4. Симметрической разностью двух множеств А и В называется множество, определенное характеристическом свойством:

Графическая иллюстрация симметрической разности двух множеств показана на рис. 4.

рис. 4              

5. Пусть А – некоторое множество, являющееся частью универсального (основного) множества U. Дополнением множества А называется множество, состоящее из всех  тех и только тех элементов их множества U, которые не принадлежат А. Его обозначают .

 Это определение может быть записано в виде:

 = {x ⎪ x∉A}.                                                        (10)

Графически дополнение изображено соответственно, на которых дополнения заштрихованы.

2. Выполните задание в соответствии с номером варианта:

1. Осуществить операции над множествами:

2. Заданы множества A, B, C, U.

Найти множества: ,  , ,  ,  , ,  ,  , ,  .

3. Решение типовых примеров:

Осуществить операции над множествами E1={2; 4; 6} и E2={6; 8; 10}, если U={2; 4; 6; 8; 10}.

={6},

= {2; 4; 6; 8; 10},

={2; 4},  

{8;10},

={2; 4; 8; 10},

{8;10},

={2; 4},