"Арифметика в правилах"
статья по математике (5, 6, 7, 8, 9 класс) на тему

АРИФМЕТИКА В ПРАВИЛАХ

Натуральные числа  возникли в глубокой древности как результат счета различных предметов: людей, животных, птиц, деревьев, орудий труда и т.д. Ряд натуральных чисел:

     1,  2,  3,  4,  5, …

является бесконечным и называется натуральным рядом.

Сложение является начальным понятием, для которого невозможно дать строгое формальное определение. Тем    не менее, чтобы придать этому действию некоторое разумное представление, мы скажем, что сложение – это операция нахождения суммы двух или нескольких чисел, где под суммой понимается общее количество единиц, содержащихся в рассматриваемых числах вместе. Эти числа называются слагаемыми. Например, 11 + 6 = 17. Здесь 11 и 6 – слагаемые, 17 – сумма. Если слагаемые поменять местами, то сумма не изменится: 11 + 6 = 17 и 6 + 11 = 17.

Вычитание является действием, обратным к сложению, так как это операция нахождения одного из слагаемых по сумме и другому слагаемому. Вычесть из одного числа (уменьшаемого) другое (вычитаемое) - значит найти такое третье число (разность), которое при сложении с вычитаемым  дает уменьшаемое:  17 – 6 = 11. Здесь 17 – уменьшаемое, 6 – вычитаемое, 11 – разность.

Умножение. Умножить одно число n (множимое) на другое целое число m (множитель) - значит повторить множимое n в качестве слагаемого  m  раз. Результат умножения называется произведением. Запись операции умножения:  n ∙  m . Например,

 12 4 = 12 + 12 + 12 + 12 = 48. Таким образом, 12  4 = 48  или       12 ∙ 4 = 48. Здесь 12 – множимое, 4 – множитель, 48 – произведение. Если множимое  n  и множитель  m   поменять местами, то произведение не изменится. Например, 12 · 4 = 12 + 12 + 12 + 12 = 48  и соответственно,       4 · 12 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 48. Поэтому множимое и множитель часто называются сомножителями.

Деление является действием, обратным к умножению, так как это операция нахождения одного из сомножителей по произведению и другому сомножителю: Разделить одно число (делимое) на другое (делитель) – значит найти такое третье число (частное), которое при умножении на делитель даёт делимое:  48 : 4 = 12. Здесь 48 – делимое,    4 – делитель, 12 – частное. Частное от деления одного целого числа на другое целое число может и не быть целым числом. Тогда это частное представляется в виде дроби. Если частное – целое число, то говорят, что эти числа делятся нацело. В противном случае мы выполняем деление с остатком. Пример: 23 не делится на 4, в этом случае мы можем записать: 23 = 5 · 4 + 3. Здесь 3 – остаток.

Возведение в степень. Возвести число (основание степени) в целую степень (показатель степени) – значит повторить его сомножителем столько раз, каков показатель степени. Результат называется степенью. Запись возведения в степень:  

 3  = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243 .

Здесь 3 – основание степени, 5 – показатель степени, 243 – степень.

Вторая степень любого числа называется квадратом, третья – кубом. Первой степенью любого числа является само это число.

Порядок действия. Результат выполнения нескольких операций зависит, вообще говоря, от порядка действий. Например,  8 – 3 + 4 = 9. Однако, если сначала сложить 3 и 4, а затем вычесть полученную сумму из 8, то получим 1. Таким образом, для получения правильного результата должен быть установлен определённый порядок действий. Чтобы указать, в каком порядке должны выполняться действия, пользуются скобками. Если скобки отсутствуют, действия выполняются в следующем порядке:

  1)  возведение в степень и извлечение корня (в порядке их следования);

  2)  умножение и деление (в порядке их следования);

  3)  сложение и вычитание (в порядке их следования).

При наличии скобок сначала выполняются действия в скобках в указанном выше порядке, а затем все остальные действия вне скобок опять же с соблюдением указанного выше порядка.

Законы сложения и умножения

 Переместительный (коммутативный) закон сложения:  m + n = n + m . Сумма не меняется от перестановки её слагаемых.

Переместительный (коммутативный) закон умножения:  m · n = n · m . Произведение не меняется от перестановки его сомножителей.

Сочетательный (ассоциативный) закон сложения:  ( m + n ) + k = m + ( n +  k ) = m + n + k . Сумма не зависит от группировки её слагаемых.

Сочетательный (ассоциативный) закон умножения:  ( m · n ) · k = m · ( n ·  k ) = m · n · k . Произведение не зависит от группировки его сомножителей.

Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения:  ( m + n ) · k = m ·  k + n ·  k . Этот закон фактически расширяет правила действий со скобками.

Признаки делимости

Признаки делимости на 2, 4, 8, 3, 9, 6, 5, 25, 10, 100, 1000, 11.

Признак делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра - ноль или делится на 2. Числа, делящиеся на два, называются чётными, не делящиеся на два – нечётными.

Признак делимости на 4. Число делится на 4, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 4.

Признак делимости на 8. Число делится на 8, если три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.

Признаки делимости на 3 и 9.  Число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3. Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.

 Признак делимости на 6. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 5. Число делится на 5, если его последняя цифра - ноль или 5.

Признак делимости на 25. Число делится на 25, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 25.

Признак делимости на 10.  Число делится на 10, если его последняя цифра - ноль.

Признак делимости на 100. Число делится на 100, если две его последние цифры – нули.

Признак делимости на 1000. Число делится на 1000, если три его последние цифры – нули.

Признак делимости на 11.  На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

Простые и составные числа. Все целые числа (кроме 0 и 1) имеют минимум два делителя: 1 и самого себя. Числа, не имеющие других делителей, называются простыми числами. Числа, имеющие другие делители, называются составными (или сложными) числами. Простых чисел – бесконечное множество. Ниже приведены простые числа, не превосходящие 200:

  2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,

 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

  103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

  157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

Разложение на множители. Всякое составное число может быть единственным образом представлено в виде произведения простых множителей. Например,  

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3,    225 = 3 · 3 · 5 · 5,   1050 = 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .

Для небольших чисел это разложение легко делается на основе таблицы умножения. Для больших чисел рекомендуем пользоваться следующим способом, который рассмотрим на конкретном примере. Разложим на простые множители число 1463. Для этого воспользуемся таблицей простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,  41, 43,

47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

 Перебираем числа по этой таблице и останавливаемся на том числе, которое является делителем данного числа. В нашем примере это 7. Делим 1463 на 7 и получаем 209. Теперь повторяем процесс перебора простых чисел для 209 и останавливаемся на числе 11, которое является его делителем (см. параграф “Признаки делимости”). Делим 209 на 11 и получаем 19, которое в соответствии с этой же таблицей является простым числом. Таким образом, имеем: 1463 = 7 ∙ 11 ∙ 19, т.е. простыми делителями числа 1463  являются 7, 11 и 19. Описанный процесс можно записать следующим образом:

Делимое       Делитель

----------------------------

1463                  7

  209                11

    19                19

----------------------------

Общим делителем нескольких чисел называется число, которое является делите-лем каждого из них. Например, числа  36,  60,  42 имеют общие делители 2, 3 и 6. Среди всех общих делителей всегда есть наибольший, в данном случае это 6. Это и есть наибольший общий делитель (НОД).

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел надо:

1)  представить каждое число как произведение его простых множителей, например:

360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 ,

2)  записать степени всех простых множителей:

360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5

3)  выписать все общие делители (множители) этих чисел;

4)  выбрать наименьшую степень каждого из них, встретившуюся во всех произведениях;

5)  перемножить эти степени.

П р и м е р .  Найти НОД чисел: 168, 180 и 3024.

Р е ш е н и е .   168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7,

                          180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5,

                          3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7.

                          Выпишем наименьшие степени общих делителей 2 и 3

                          и перемножим их:

НОД = 22  · 31  = 12

Общим кратным нескольких чисел называется число, которое делится на каждое из этих чисел. Например, числа 9, 18 и 45 имеют общее кратное 180. Но 90 и 360 – тоже их общие кратные. Среди всех общих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае это 90. Это число называется наименьшим общим кратным (НОК).

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел надо:

 1)  представить каждое число как произведение его простых множителей, например:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 ,

2)  записать степени всех простых множителей:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7,

3)  выписать все простые делители (множители) каждого из этих чисел;        

4)  выбрать наибольшую степень каждого из них, встретившуюся во всех разложениях этих чисел;

5)  перемножить эти степени.

П р и м е р .  Найти НОК чисел: 168, 180 и 3024.

Р е ш е н и е . 168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7,

                        180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5,

                        3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7.

                        Выписываем наибольшие степени всех простых делителей

                        и перемножаем их:

НОК = 2· 3 · 5 · 7 = 15120 .

Часть единицы или несколько её частей называются обыкновенной или простой дробью. Количество равных частей, на которые делится единица, называется знаменателем, а количество взятых частей – числителем. Дробь записывается в виде:

Здесь 3 – числитель, 7 – знаменатель.

Если числитель меньше знаменателя, то дробь меньше 1 и называется правильной дробью. Если числитель равен знаменателю, то дробь равна 1. Если числитель больше знаменателя, то дробь больше 1. В обоих последних случаях дробь называется неправильной. Если числитель делится на знаменатель, то эта дробь равна частному от деления: 63 / 7 = 9. Если деление выполняется с остатком, то эта неправильная дробь может быть представлена смешанным числом:

Здесь 9 – неполное частное (целая часть смешанного числа), 2 – остаток (числитель дробной части), 7 – знаменатель.  

Часто бывает необходимо решать обратную задачу – обратить смешанное число в дробь. Для этого умножаем целую часть смешанного числа на знаменатель и прибавляем числитель дробной части. Это будет числитель обыкновенной дроби, а знаменатель остаётся прежним.

Обратные дроби – это две дроби, произведение которых равно 1. Например, 3 / 7  и  7 / 3 ;  15 / 1  и  1 / 15  и т.д.

Расширение дроби. Значение дроби не меняется, если умножить её числитель и знаменатель на одно и то же число, отличное от нуля. Это преобразование называется расширением дроби. Например,

Сокращение дроби. Значение дроби не меняется, если разделить её числитель и знаменатель на одно и то же число, отличное от нуля. Это преобразование называется сокращением дроби. Например,

Сравнение дробей. Из двух дробей с одинаковыми числителями та больше, знаменатель которой меньше:

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями та больше, числитель которой больше:

Для сравнения дробей, у которых числители и знаменатели различны, необходимо расширить их, чтобы привести к общему знаменателю.

П р и м е р .  Сравнить две дроби:

Р е ш е н и е.        Расширим первую дробь на знаменатель второй, а вторую - на знаменатель первой:

Использованное здесь преобразование называется приведением дробей к общему знаменателю.

Сложение и вычитание дробей. Если знаменатели дробей одинаковы, то для того, чтобы сложить дроби, надо сложить их числители, а для того, чтобы вычесть дроби, надо вычесть их числители (в том же порядке). Полученная сумма или разность будет числителем результата; знаменатель останется тем же. Если знаменатели дробей различны, необходимо сначала привести дроби к общему знаменателю. При сложении смешанных чисел их целые и дробные части складываются отдельно. При вычитании смешанных чисел мы рекомендуем сначала преобразовать их к виду неправильных дробей, затем вычесть из одной другую, а после этого вновь привести результат, если требуется, к виду смешанного числа.

П р и м е р .

Умножение дробей. Умножить некоторое число на дробь означает умножить его на числитель и разделить произведение на знаменатель. Следовательно, мы имеем общее правило умножения дробей: для перемножения дробей необходимо перемножить отдельно их числители и знаменатели и разделить первое произведение на второе.

П р и м е р .

Деление дробей. Для того, чтобы разделить некоторое число на дробь, необходимо умножить это число на обратную дробь. Это правило вытекает из определения деления

П р и м е р .    

Пропорция – это равенство двух отношений.

Из пропорции   следует:  ad = bc (произведения накрест-лежащих членов пропорции равны).

И наоборот, из равенства  ad = bc  следуют пропорции:

Все эти пропорции, а также некоторые другие, могут быть получены из исходной пропорции  a / b = c / d  по нижеследующим правилам.

Накрест-лежащие члены любой пропорции можно поменять местами.

Отношения в любой пропорции можно заменить обратными.

Десятичная дробь есть результат деления единицы на десять, сто, тысячу и т.д. частей. Эти дроби очень удобны для вычислений, так как они основаны на той же позиционной системе, на которой построены счёт и запись целых чисел. Благодаря этому запись и правила действий с десятичными дробями фактически те же, что и для целых чисел. При записи десятичных дробей нет необходимости отмечать знаменатель, это определяется местом, которое занимает соответствующая цифра. Сначала пишется целая часть числа, затем справа ставится десятичная точка. Первая цифра после десятичной точки означает число десятых, вторая – число сотых, третья – число тысячных и т.д. Цифры, расположенные после десятичной точки, называются десятичными знаками.

П р и м е р .  

Одно из преимуществ десятичных дробей – они легко приводятся к виду обыкновенных: число после десятичной точки (в нашем случае 5047) – это числитель; знаменатель же равен  n–ой степени 10, где n - количество десятичных знаков (в нашем случае n = 4):

Если десятичная дробь не содержит целой части, то перед десятичной точкой ставится ноль:

Свойства десятичных дробей.

    1.   Десятичная дробь не меняется, если справа добавить нули:

                                            13.6 =13.6000.

    2.   Десятичная дробь не меняется, если удалить нули, расположенные

          в конце десятичной дроби:

                                      0.00123000 = 0.00123 .

Внимание! Нельзя удалять нули, расположенные не в конце десятичной дроби!

   3.Десятичная дробь возрастает в 10, 100, 1000 и т.д. раз, если перенести

   десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций вправо:

                            3.675  --->  367.5 (дробь возросла в 100 раз).

   4.Десятичная дробь уменьшается в 10, 100, 1000 и т.д. раз, если перенести

десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций влево:

                    1536.78 ---> 1.53678 (дробь уменьшилась в 1000 раз).

Эти свойства позволяют быстро умножать и делить десятичные дроби на 10, 100, 1000 и т.д.

Периодическая десятичная дробь содержит бесконечно повторяющуюся группу цифр, называемую периодом. Период записывается в скобках. Например, 0.12345123451234512345… = 0.(12345).

П р и м е р .  Если разделить 47 на 11, то получим 4.27272727… = 4.(27).

Сложение и вычитание десятичных дробей. 

Эти операции выполняются так же, как и сложение и вычитание целых чисел. Необходимо только записать соответствующие десятичные знаки один под другим.

П р и м е р .  

Умножение десятичных дробей. На первом этапе перемножаем десятичные дроби как целые числа, не принимая во внимание десятичную точку. Затем применяется следующее правило: количество десятичных знаков в произведении равно сумме десятичных знаков во всех сомножителях.

Замечание: до простановки десятичной точки в произведении нельзя отбрасывать нули в конце!

П р и м е р .

Сумма чисел десятичных знаков в сомножителях равна: 3 + 4 = 7. Сумма цифр в произведении равна 6. Поэтому необходимо добавить один ноль слева: 0197056 и проставить перед ним десятичную точку: 0.0197056.

Деление десятичных дробей

Деление десятичной дроби на целое число

Если делимое меньше делителя, записываем ноль в целой части частного и ставим после него десятичную точку. Затем, не принимая во внимание десятичную точку делимого, присоединяем к его целой части следующую цифру дробной части и опять сравниваем полученную целую часть делимого с делителем. Если новое число опять меньше делителя, ставим ещё один ноль после десятичной точки в частном и присоединяем к целой части делимого следующую цифру его дробной части. Этот процесс повторяем до тех пор, пока полученное делимое не станет больше делителя. После этого деление выполняется, как для целых чисел. Если делимое больше делителя или равно ему, сначала делим его целую часть, записываем результат деления в частном и ставим десятичную точку. После этого деление продолжается, как в случае целых чисел.

П р и м е р .  Разделить 1.328 на 64.

Р е ш е н и е :  

Деление одной десятичной дроби на другую.

Сначала переносим десятичные точки в делимом и делителе на число десятичных знаков в делителе, то есть делаем делитель целым числом. Теперь выполняем деление, как в предыдущем случае.

П р и м е р .  Разделить 0.04569 на 0.0006.

Р е ш е н и е. Переносим десятичные точки на 4 позиции вправо и делим 456.9 на 6:

 Обращение десятичной дроби в обыкновенную и обратно

Для того, чтобы обратить десятичную дробь в обыкновенную, надо в качестве числителя взять число, стоящее после десятичной точки, а в качестве знаменателя взять n-ую степень десяти ( здесь n – количество десятичных знаков ). Отличная от нуля целая часть сохраняется в обыкновенной дроби; нулевая целая часть опускается. Например:

Для того, чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, надо разделить числитель на знаменатель в соответствии с правилами деления.

П р и м е р .  Обратить 5 / 8 в десятичную дробь.

Р е ш е н и е .   Деля 5 на 8, получаем 0.625. ( Проверьте, пожалуйста! ).

В большинстве случаев этот процесс может продолжаться бесконечно. Тогда невозможно точно обратить обыкновенную дробь в десятичную. Но на практике это никогда и не требуется. Деление прерывается, если представляющие интерес десятичные знаки уже получены.

П р и м е р .  Обратить 1 / 3  в десятичную дробь.

Р е ш е н и е .  Деление 1 на 3 будет бесконечным:  1:3 = 0.3333…                              

Проценты

Процент – это сотая часть единицы. Запись 1% означает 0.01. Существует три основных типа задач на проценты:

Задача 1.        Найти указанный процент от заданного числа.

Заданное число умножается на указанное число процентов, а затем произведение делится на 100.

П р и м е р .        Вклад в банке имеет годовой прирост 6%. Начальная сумма вклада равнялась 10000 руб. На сколько возрастёт сумма вклада в конце года?

 Р е ш е н и е :   10000 · 6 : 100 = 600 руб.

Задача 2.        Найти число по заданному другому числу и его величине в процентах от искомого числа.

Заданное число делится на его процентное выражение и результат умножается на 100.

П р и м е р .        Зарплата в январе равнялась 1500 руб., что составило 7.5% от годовой зарплаты. Какова была годовая зарплата?

 Р е ш е н и е :   1500 : 7.5 · 100 = 20000 руб.

Задача 3.        Найти процентное выражение одного числа от другого.

Первое число делится на второе и результат умножается на 100.

П р и м е р .        Завод произвёл за год 40000 автомобилей, а в следующем году –  только 36000 автомобилей. Сколько процентов это составило по отношению к выпуску предыдущего года?

 Р е ш е н и е :   36000 : 40000 · 100 = 90% .

Отношение – это частное от деления одного числа на другое.

 Пропорция – это равенство двух отношений. Например,

12 : 20 = 3 : 5;      a : b = c : d .

     Крайние члены пропорции: 12 и 5 в первой пропорции;  a и  d – во второй.

     Средние члены пропорции: 20 и 3 в первой пропорции;  b и  с – во второй.

Основное свойство пропорции: Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.  

Две взаимно зависимых величины называются пропорциональными, если отношение их величин сохраняется неизменным.

Это постоянное отношение пропорциональных величин называется коэффициентом пропорциональности.  

П р и м е р .        Масса любого вещества пропорциональна его объёму. Например, 2 литра ртути весят 27.2 кг, 5 литров весят 68 кг, 7 литров весят 95.2 кг. Отношение массы ртути к её объёму ( коэффициент пропорциональности ) будет равно:

Таким образом, коэффициентом пропорциональности в данном примере является плотность.

Отрицательные числа появляются, когда из меньшего числа вычитают большее, например:

10 – 15 = – 5 .

Знак «минус» перед 5 показывает, что это число отрицательное.

Ряд целых отрицательных чисел бесконечен:

–1,   –2,  –3,  – 4,  –5, …

Дробные отрицательные числа появляются, например, когда из меньшего дробного числа вычитают большее:

Можно также сказать, что дробные отрицательные числа появляются в результате деления целого отрицательного числа на натуральное:

Положительные числа ( целые и дробные ) в противоположность отрицательным числам ( целым и дробным ) рассматриваются в арифметике.

Рациональные числа – это положительные и отрицательные числа (целые и дробные) и ноль. Более точное определение рациональных чисел, принятое в математике, следующее:

Число называется рациональным, если оно может быть представлено в виде обыкновенной несократимой дроби вида: m / n , где  m  и  n  целые числа.

Абсолютная величина (модуль). Для отрицательного числа – это положительное число, получаемое от перемены его знака с « – » на  « + »;  для положительного числа и нуля – само это число. Для обозначения абсолютной величины (модуля) числа используются две прямые черты, внутри которых записывается это число.

П р и м е р ы :     | – 5 | = 5,    | 7 | = 7,    | 0 | = 0.

Сложение:         

1)  при сложении двух чисел с одинаковыми знаками складываются

     их абсолютные величины и перед суммой ставится общий знак.

     П р и м е р ы :

                                           ( + 6 ) + ( + 5 ) = 11 ;

                                           ( – 6 ) + ( – 5 ) = – 11 .

2)  при сложении двух чисел с разными знаками их абсолютные

     величины вычитаются ( из большей меньшая ) и ставится знак

     числа с большей абсолютной величиной.

     П р и м е р ы :

                                           ( – 6 ) + ( + 9 ) = 3 ;

                                           ( – 6 ) + ( + 3 ) = – 3 .

Вычитание. Можно заменить вычитание двух чисел сложением, при этом уменьшаемое сохраняет свой знак, а вычитаемое берётся с обратным знаком.

П р и м е р ы :

                                                  ( + 8 ) – ( + 5 ) = ( + 8 ) + ( – 5 ) = 3;

                                                  ( + 8 ) – ( – 5 ) = ( + 8 ) + ( + 5 ) = 13;

                                                  ( – 8 ) – ( – 5 ) = ( – 8 ) + ( + 5 ) = – 3;

                                                  ( – 8 ) – ( + 5 ) = ( – 8 ) + ( – 5 ) = – 13;

Умножение.  При умножении двух чисел их абсолютные величины умножаются, а произведение принимает знак  « + » , если знаки сомножителей одинаковы, и знак  « – » , если знаки сомножителей разные.

Полезна следующая схема (правила знаков при умножении):

                                                                   +   ·   +   =   +

                                                                   +   ·   –   =   –

                                                                   –   ·   +   =   –

                                                                   –   ·   –   =   +

При умножении нескольких чисел ( двух и более ) произведение имеет знак « + » , если число отрицательных сомножителей чётно, и знак « – » , если их число нечётно.

П р и м е р :

Деление. При делении двух чисел абсолютная величина делимого делится на абсолютную величину делителя, а частное принимает знак  « + » , если знаки делимого и делителя одинаковы, и знак  « – » , если знаки делимого и делителя разные.

Здесь действуют те же правила знаков, что и при умножении:

                                                                   +   :   +   =   +

                                                                   +   :   –   =   –

                                                                   –   :   +   =   –

                                                                   –   :   –   =   +

П р и м е р :    ( – 12 ) : ( + 4 ) = – 3 .