Материалы для проведения пробного ЕГЭ в 10 классе.
материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (10 класс) на тему

                                          Вариант 1

1. Тетрадь стоит 7 рублей. Сколько рублей заплатит покупатель за 90 тетрадей, если при покупке больше 50 тетрадей магазин делает скидку 20% от стоимости всей покупки?

2. На рисунке жирными точками показана цена серебра, установленная Центробанком РФ во все рабочие дни в октябре 2009 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена серебра в рублях за грамм. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наименьшую цену серебра в период с 1 по 17 октября. Ответ дайте в рублях.

3. Найдите площадь прямоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

4. В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 3 человека за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист Н. полетит четвёртым рейсом вертолёта.

5. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

6. В треугольнике АВС СН – высота, АD – биссектриса, О – точка пересечения прямых СН и АD, угол ВАD равен 370 . Найдите угол АОС. Ответ дайте в градусах.

7.  Материальная точка движется от начального до конечного положения. На рисунке изображен график ее движения. На оси абсцисс откладывается время в секундах, на оси ординат – расстояние от начального положения точки (в метрах). Найдите среднюю скорость движения точки. Ответ дайте в метрах в секунду.

8. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его объём.

9. Найдите значение выражения .

10. При температуре  рельс имеет длину  м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону , где  — коэффициент теплового расширения,  — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 6 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

11. Смешали некоторое количество 21-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 15-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

12. Найдите наименьшее значение функции y = .

13.(10А) а) Решите уравнение cos2 x + 6sin x – 6 = 0.

           б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [; 2π].

      (10В) а) Решите неравенство |x + 2| - x|x| ≤ 0.

           б) Найдите целые решения, принадлежащие отрезку [; ].

14. В кубе АВСDА1В1С1D1 

а) постройте сечение плоскостью, проходящей через точки D1 и С параллельно прямой  ВD; б) найдите угол между прямыми ВD и СD1.

15. Решите неравенство 

16. Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.

а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.

б) пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16.

17. Алексей приобрёл ценную бумагу за 8 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 1 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 8%. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через двадцать пять лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

18. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет единственный корень.

19. Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел:

−11, 12, 13, −14, −15, 17, −18, 19.

Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному из чисел:

−11, 12, 13, −14, −15, 17, −18, 19.

После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 117?

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Вариант 2

1. В университетскую библиотеку привезли новые учебники по ветеринарии для четырёх курсов по 70 штук для каждого курса. Все книги одинаковы по размеру. В книжном шкафу 7 полок, на каждой полке помещается 25 учебников. Сколько шкафов можно целиком заполнить новыми учебниками?

2. На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода выпадало не менее 2 миллиметров осадков.

3. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

4. Из множества натуральных чисел от 25 до 39 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 5?

5. Найдите корень уравнения (2x + 7)2 = (2x – 1)2.

6. Основания равнобедренной трапеции равны 32 и 24. Радиус описанной окружности равен 20.Найдите высоту трапеции.

7. На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (−4; 8). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

8. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке.

9. Найдите , если  и .

10. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону , где  – начальный уровень воды,  м/мин2, и  м/мин постоянные,  – время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

11. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 247 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 16 км/ч, стоянка длится 7 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 39 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

12. Найдите точку минимума функции (то есть абсциссу точки, в которой функция принимает наименьшее значение) .

13.(10А) а) Решите уравнение 2sin2x + 7cosx + 2 = 0.

          б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [; 2π].

      (10В) а) Решите неравенство 25x2 - 3|3 - 5x| < 30x - 9.

           б) Найдите целые решения неравенства.

14. В прямоугольном параллелепипеде  известны рёбра    Точка  принадлежит ребру  и делит его в отношении 4:5, считая от вершины 

 а) Докажите, что сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки  и - параллелограмм.

 б) Найдите площадь указанного сечения.

15. Решите неравенство  +  ≥ 2x.

16. Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём 

а) Докажите, что 

б) Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, если известно, что BE = 20 и CE = 12.

17. Алексей взял кредит в банке на срок 17 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 27 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.

18. № 511307. При каких значениях параметра  система  имеет решения?  

19. Найдите все пары  целых чисел, удовлетворяющие системе неравенств: