презентация 11 класс
презентация к уроку по математике (11 класс) на тему

Слайд 1

Слайд 2

Оглавление Свойства Развертка Усеченный конус

Слайд 3

Свойства конуса Объем конуса равен одной третьей от произведения основания на высоту S=1/3(S*H) Если разрезать конус по любой из образующих мы получим развертку конуса-сектор.

Слайд 4

Площадь боковой поверхности конуса равна будет равна площади сектора радиусом R Угол “ а ” -радиальная мера угла S=L²*a/2 a=2R/L S=RL

Слайд 5

Отношение объемов большого конуса к маленькому равно кубу их отношений (V/V2)=(h³/h2³)= (r³/r2³) r2 h2

Слайд 6

Развертка Прямой круговой конус как тело вращения образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов, где h — высота конуса от центра основания до вершины — является катетом прямоугольного треугольника, вокруг которого происходит вращение. Второй катет прямоугольного треугольника r — радиус в основании конуса. Гипотенузой прямоугольного треугольника является l — образующая конуса .

Слайд 7

В создании развёртки конуса могут использоваться всего две величины r и l . Радиус основания r определяет в развертке круг основания конуса, а сектор боковой поверхности конуса определяет образующая боковой поверхности l , являющаяся радиусом сектора боковой поверхности. Угол сектора в развёртке боковой поверхности конуса определяется по формуле: φ = 360°·( r / l ).

Слайд 8

Усеченный конус Усеченным конусом называется часть конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

Слайд 9

Площадь боковой поверхности усеченного конуса Sбок =πm( R+r ) Отношение площадей нижнего и верхнего оснований S2/S1=R²/r²=k², где k − коэффициент подобия.

Слайд 10

Объем усеченного конуса V=h/3*(S1+√(S1*S2)+S2)

Слайд 1

Слайд 2

Конус - это тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Круглый конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

Слайд 3

Элементы конуса

Слайд 4

Элементы Конуса Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса . Объединение образующих конуса называется боковой поверхностью конуса . Образующая поверхность конуса является конической поверхностью . Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса . Прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса .

Слайд 5

Виды конусов

Слайд 6

Площадь Конуса Площадью конуса является площадь его развертки

Слайд 7

Прямой Конус Площадь боковой поверхности конуса: S бок = πRl, где R – радиус основания, l – длина образующей. Площадь полной поверхности конуса : S кон = πRl + πR 2 , Объём конуса равен: V = 1/3 πR 2 H, Площадь боковой поверхности усеченного конуса : S бок = π (R + r ) l , Площадь полной поверхности усеченного конуса : S кон = πR 2 + πr 2 + π (R + r ) l , . Объём усечённого конуса: V = 1/3 πH (R 2 + Rr + r 2 ),

Слайд 8

Площадь боковой поверхности усеченного конуса : S бок = π (R + r ) l , Площадь полной поверхности усеченного конуса : S кон = πR 2 + πr 2 + π (R + r ) l , . Объём усечённого конуса: V = 1/3 πH (R 2 + Rr + r 2 ), Усеченный Конус

Слайд 1

Слайд 2

Свойства конуса Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания. Центр тяжести любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания. Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равна : Для усечённого конуса (не обязательно прямого и кругового) объём равен:

Слайд 3

Усеченный конус Усеченным конусом называется часть конуса , заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. Основания усеченного конуса подобны друг другу: R/r = k , где k − коэффициент подобия.

Слайд 4

Площадь конуса

Слайд 1

Слайд 2

Конус — тело вращения, которое получается в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг его катета. Осевое сечение конуса — это сечение конуса плоскостью, которая проходит через ось конуса . Развёрткой боковой поверхности конуса является круговой сектор.

Слайд 4

Усечёный конус. Если провести сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса, то эта плоскость разбивает конус на две части, одна из которых — конус, а другую часть называют усечённым конусом.

Слайд 5

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению числа π на радиус окружности основания и на длину образуещей конуса. Полная площадь поверхности круглого конуса равна сумме площадей боковой поверхности конуса и его основания. длину образующей конуса .

Слайд 1

Слайд 2

Понятие конуса Конус- это тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L. Поверхность , образованная отрезками , проведенными к окружности, называется конической поверхностью , а сами отрезки- образующими конической поверхности

Слайд 3

Понятие конуса Коническая поверхность называется боковой поверхностью конуса, а круг – основанием конуса. Точка Р называется вершиной конуса , а образующие конической поверхности- образующими конуса. Прямая ОР , проходящая через центр основания и вершину , называется осью конуса. Отрезок ОР – высота конуса .

Слайд 4

Понятие конуса Конус получен вращением прямоугольного треугольника АВС вокруг катета АВ.

Слайд 5

Осевое сечение конуса Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого- диаметр основания конуса, а боковые стороны- образующие конуса. Это сечение- осевое.

Слайд 6

Сечение конуса-круг Конус можно пересечь плоскостью а, перпендикулярной к его оси. В этом случае плоскость сечения параллельна плоскости основания, а сечением конуса является круг

Слайд 7

Площадь поверхности конуса За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки. Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую . Площадь полной поверхности конуса - сумма площадей боковой поверхности и основания.

Слайд 8

Усеченный конус

Слайд 9

Понятие усеченного конуса Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усеченным конусом . Основание исходного конуса и круг , полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усеченного конуса , а отрезок , соединяющий их центры ,- высотой усеченного конуса .

Слайд 10

Понятие усеченного конуса Часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью , а отрезки образующих конической поверхности , заключенные между основаниями, называются образующими усеченного конуса.

Слайд 11

Понятие усеченного конуса Усечённый конус получен вращением прямоугольной трапеции АВСD вокруг стороны

Слайд 13

Спасибо за внимание!

Слайд 1

Слайд 2

Определение конуса как фигуры Конус (от др.-греч . κώνος «сосновая шишка» [1] ) — тело в евклидовом пространстве, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки ( вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, имеющую ограниченный объём и полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Если основание конуса представляет собой многоугольник , такой конус является пирамидой .

Слайд 3

Связанные с конусом определения Конус называется прямым, если прямая, которая соединяет вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. Прямой круговой конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси. Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого конуса называется прямая, содержащая его высоту. Сечение конуса плоскостью, проходящей через образующую конуса и перпендикулярная осевому сечению, проведённому через эту образующую, называется касательной плоскостью конуса.

Слайд 4

Связанные с конусом определения Круговой конус - это тело, состоящее из круга(основание конуса), точки, которая не лежит в плоскости этого круга (вершина конуса и всех отрезков, которые соединяют вершину конуса с точками основания). Отрезки, которые соединяют вершину конуса и точки окружности основания, называют образующими конуса . Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности. Прямой конус – это конус, в котором прямая, которая соединяет вершину конуса и центр основания, перпендикулярна плоскости основания. Прямой круговой конус – это тело, которое получено вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси. Высота конуса – это перпендикуляр, который опущен из вершины конуса на плоскость основания. Основание высоты в прямом конусе совпадает с центром основания. Ось прямого кругового конуса – это прямая, которая содержит его высоту.

Слайд 5

Формулы конуса Площадь боковой поверхности конуса можно найти по формуле: S бок = πRl, где R – радиус основания, l – длина образующей. Площадь полной поверхности конуса находится по формуле: S кон = πRl + πR 2 , где R – радиус основания, l – длина образующей. Объём кругового конуса равен V = 1/3 πR 2 H, где R – радиус основания, Н – высота конуса

Слайд 6

Формулы конуса Площадь боковой поверхности усеченного конуса можно найти по формуле: S бок = π (R + r ) l , где R – радиус нижнего основания, r – радиус верхнего основания, l – длина образующей. Площадь полной поверхности усеченного конуса можно найти по формуле: S кон = πR 2 + πr 2 + π (R + r ) l , где R – радиус нижнего основания, r – радиус верхнего основания, l – длина образующей. Объём усечённого конуса можно найти следующим образом: V = 1/3 πH (R 2 + Rr + r 2 ),

Слайд 7

Развёртка конуса Прямой круговой конус как тело вращения образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов, где h — высота конуса от центра основания до вершины — является катетом прямоугольного треугольника, вокруг которого происходит вращение. Второй катет прямоугольного треугольника r — радиус в основании конуса. Гипотенузой прямоугольного треугольника является l — образующая конуса. В создании развёртки конуса могут использоваться всего две величины r и l . Радиус основания r определяет в развертке круг основания конуса, а сектор боковой поверхности конуса определяет образующая боковой поверхности l , являющаяся радиусом сектора боковой поверхности. Угол сектора в развёртке боковой поверхности конуса определяется по формуле: φ = 360°·( r / l ).

Слайд 8

Усечённый конус Усеченный конус получится, если в конусе провести сечение, параллельное основанию. Тело ограниченное этим сечением, основанием и боковой поверхностью конуса называется усеченным конусом. Объем усеченного конуса вычисляется по формуле: h - высота конуса r - радиус верхнего основания R - радиус нижнего основания

Слайд 9

Формулы усечённого конуса Соотношение между высотой, радиусами оснований и образующей в усеченном конусе H = √ m 2 −( R − r )2 Основания усеченного конуса подобны друг другу: Rr = k , где k − коэффициент подобия. Отношение площадей нижнего и верхнего оснований S 2 S 1= R 2 r 2= k 2, где k − коэффициент подобия. Площадь боковой поверхности усеченного конуса S бок= πm ( R + r ) Площадь полной поверхности усеченного конуса S = S 1+ S 2+ S бок= π [ R 2+ r 2+ m ( R + r )]

Слайд 10

Спасибо за внимание! 

Слайд 1

Слайд 2

. Круг- основание конуса . Вершина конической поверхности- вершина конуса . Отрезки образующих, заключенные между вершиной и основанием называются образующими конуса , а образованная ими часть конической поверхности- боковой поверхностью конуса . Ось конической поверхности называется осью конуса , а её отрезок, заключенный между вершиной и основанием,- высотой конуса . Образующие конуса равны друг другу.

Слайд 3

. Если секущая плоскость проходит через ось конуса , то сечение представляет собой равнобедренный треугольник. Это сечение называется осевым . Если секущая плоскость перпендикулярна к оси OP конуса то сечение конуса представляет собой круг .

Слайд 4

Площадь поверхности конуса.

Слайд 1

Слайд 2

Основание конуса Основанием конуса , называется круг, границей которого служит окружность

Слайд 3

Образующими конуса называются отрезки конической поврехности , расположенные между его вершиной и основанием. Вершиной конуса называется вершина F конической поверхности. Высотой конуса называется отрезок FO (или его длина), где F - вершина конуса, O - центр его основания.

Слайд 4

Боковая поверхность конуса Боковой поверхностью конуса называется фигура, образованная всеми образующими конуса. За площадь боковой поверхности конса принимается число, к которому стермится площадь боковой поверхности, вписанной в этот конус n-угольной правильной пирамиды, когда число n сторон основания неограниченно возрастает. Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на длину образующей. Sбок = πRℓ

Слайд 5

Сечение конуса Если плоскость проходит через высоту конуса FO, то сечение конуса этой плоскостью называют осевым и представляет собой равнобедренный треугольник, основанием которого является диаметр основания конуса, а боковыми сторонами - образующие конуса. Если плоскость проходит через внутреннюю точку высоты FO конуса и перпендикулярна ей, то сечением конуса является круг, центр которого есть точка пересечения высоты и этой плоскости.

Слайд 6

Усеченный конус Усеченным конусом называется часть конуса, расположенная между его основанием и плоскостью α, перпендикулярной оси конуса. Усеченный конус может быть получен поворотом на 360° прямоугольной трапеции вокруг её боковой стороны, перпендикулярной основаниям.

Слайд 7

Конус, вписанный в сферу Конус называется вписанным в сферу (сфера - описанной около конуса), если его вершина принадлежит сфере, а основание является сечением шара, ограниченного данной сферой. Конус, описанный около сферы Конус называется описанным около сферы (сфера - вписанной в конус), если сфера касается основания конуса и каждой его образующей.

Слайд 8

Конус, вписанный в пирамиду Конус называется вписанным в пирамиду (пирамида - описанной около конуса), если основание конуса вписано в основание пирамиды, а каждая грань пирамиды содержит одну его образующую. Конус, описанный около пирамиды Конус называется описанным около пирамиды (пирамида - вписанной в конус), если основание пирамиды вписано в основание конуса, а боковые ребра являются образующими конуса.

Слайд 9

Объём конуса Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. V = ⅓ πR2H. За объём конуса принимается число, к которому стремится объём правильной пирамиды, вписанной в конус, когда число сторон основания пирамиды неограниченно возрастает.

Слайд 1

Слайд 2

Куб Куб –правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Частный случай параллелепипеда и призмы . Тип Правильный многогранник Грань квадрат Вершин 8 Рёбер 12

Слайд 3

Граней 6 Граней при вершине 3 Длина ребра a Площадь поверхности 6 а 2 Объём а 3 Точечная группа симметрии Октаэдрическая ( O h ) Двойственный многогранник Октаэдр

Слайд 4

Свойства куба 1) Четыре сечения куба являются правильными шестиугольниками — эти сечения проходят через центр куба перпендикулярно четырём его главным диагоналям . 2) В куб можно вписать тетраэдр двумя способами. В обоих случаях четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба и все шесть рёбер тетраэдра будут принадлежать граням куба. В первом случае все вершины тетраэдра принадлежат граням трехгранного угла, вершина которого совпадает с одной из вершин куба. Во втором случае попарно скрещивающиеся ребра тетраэдра принадлежат попарно противолежащим граням куба. Такой тетраэдр является правильным, а его объём составляет 1/3 от объёма куба.

Слайд 5

3) В куб можно вписать октаэдр , притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба . 4) Куб можно вписать в октаэдр , притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми граней октаэдра . 5) В куб можно вписать икосаэдр , при этом шесть взаимно параллельных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра — внутри куба. Все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба .

Слайд 6

1)Диагональ куба d=a√3. 2 ) Боковая поверхность куба S бок. =4а 2 ; 3 ) Полная поверхность куба S полн. =6а 2 ; 4 ) Объем куба V=a 3 .

Слайд 1

Слайд 2

Общие понятия: Радиус шара: R Высота шарового сегмента или слоя: h Радиус основания шарового сегмента: r Площадь основания шарового сегмента: Sосн Площадь поверхности сегмента: Sсегм Площадь оснований шарового слоя: S1, S2 Площадь поверхности шарового слоя: Sсл Площадь полной поверхности: S Объем: V Расстояние: d

Слайд 3

Определения сферы и шара. Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром сферы, а данное расстояние- радиусом сферы. Шаром называют тело, ограниченное сферой. Центр, радиус и диаметр сферы называются так же центром, радиусом и диаметром шара.

Слайд 4

Взаимное расположение сферы и плоскости. 1)Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность. 2) Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек 3) Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку 1) 2) 3)

Слайд 5

Уравнение сферы: В прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром C ( Xo ; Y о; Zo ) имеет вид: R2 = (x–x0)2+(y–y0)2+(z–z0)2

Слайд 6

Касательная плоскость к сфере. Плоскость, имеющая со сферой одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере. Теорема Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости. Теорема Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Слайд 7

Площадь сферы. Для определения площади сферы воспользуемся понятием описанного многогранника. Многогранник называется описанным около сферы (шара), если сфера касается всех его граней. При этом сфера называется вписанной в многогранник.

Слайд 8

Взаимное расположение сферы и прямой. Прямая , имеющая со сферой ровно одну общую точку, называется касательной к сфере, а общая точка- точкой касания прямой и сферы. 1)Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и прямой, перпендикулярен к этой прямой. 2)Если радиус сферы перпендикулярен к прямой, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта прямая является касательной к сфере. 3)Отрезки касательных к сфере, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр сферы.

Слайд 9

Спасибо за внимание. Источники : «Геометрия 10-11 классы» Л.С. Анатасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Л.С. Киселева, Э.Г. Позняк; Яндекс картинки; http://www.math24.ru/ (частичная информация)

Слайд 1

Слайд 2

Сферой называется поверхность , состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром сферы (точка А на рисунке), а данное расстояние- радиусом сферы . Радиус сферы часто обозначают латинской буквой R. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы. Тело, ограниченное сферой, называется шаром . Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара .

Слайд 3

Уравнение сферы. В прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R центром С(х0; y0 ; z0) имеет вид (х-х0) ^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2=R^2

Слайд 4

Взаимное расположение сферы и плоскости. X^2+y^2=R^2-d^2. dR . Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Слайд 5

Касательная плоскость к сфере. Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере , а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы. Теорема Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости. Теорема Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Слайд 6

Взаимное расположение сферы и прямой. d>R . В этом случае окружнос т ь L и прямая a не имеют общих точек, поэтому сфера и прямая а также не имеют общих точек. d=R . В этом случае окружность L и прямая а имеют ровно одну общую точку, поэтому сфера и прямая а также имеют ровно одну общую точку. d

Слайд 7

Формулы сферы (шара). Площадь сферы : 4п R^2. Объем шара : (4 п R^3)/3

Слайд 2

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Сфера (каркасная проекция)

Слайд 3

Данная точка называется центром сферы (точка О), а данное расстояние – радиусом сферы . Радиус сферы часто обозначают латинской буквой R .

Слайд 4

Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы . Диаметр равен 2 R . Сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг ее диаметра.

Слайд 5

Тело, ограниченное сферой, называется шаром . Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара .

Слайд 6

Уравнение сферы в прямоугольной системе координат: где - координаты центра сферы, R – ее радиус.

Слайд 7

Возможны три случая: 1) Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность; 2) Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку; 3) Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Слайд 8

Теорема . Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости. Теорема . Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Слайд 9

Многогранник называется описанным около сферы (шара), если сфера касается всех его граней. При этом сфера называется вписанной в многогранник . За площадь сферы примем предел последовательности площадей поверхностей этих многогранников. Формула для вычисления площади сферы радиуса r :

Слайд 10

Радиус сферы, проведенный с точку касания сферы и прямой, перпендикулярен к этой прямой; Если радиус сферы перпендикулярен к прямой, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта прямая является касательной к сфере. Отрезки касательных к сфере, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр сферы.

Слайд 1

Слайд 2

Сфера и шар Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства , расположенных на данном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром сферы (точка О на рис.), а данное расстояние – радиусом сферы . Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы . Тело, ограниченное сферой, называется шаром . Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара .

Слайд 3

Уравнение сферы Если точка М лежит на данной сфере, то MC=R, или MC² , т.е. координаты точки М удовлетворяют уравнению (х-х 0 ) ² + ( y-y 0 ) ² + (z-z 0 )² = R² (1) Если же точка М( x ; y ; z ) не лежит на данной сфере, то MC² ≠ R² , т.е. координаты точки М не удовлетворяют уравнению (1). Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром С ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) имеет вид ( х-х 0 ) ² + ( y-y 0 ) ² + (z-z 0 )² = R² .

Слайд 4

Взаимное расположение сферы и плоскости Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность. Сечение шара плоскостью есть круг. Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку . Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфер аи плоскость не имеют общих точек.

Слайд 5

Касательная плоскость к сфере Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательно плоскостью к сфере , а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы. Теорема Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости. Теорема (обратная теорема) Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости , проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Слайд 6

Площадь сферы Многогранник называется описанным около сферы (шара), если сфера касается всех его граней. При этом сфера называется вписанной в многогранник . На рисунках изображены описанные около сферы тетраэдр и куб. За площадь сферы примем предел последовательности площадей поверхностей этих многогранников; и получим следующую форм у лу для вычисления площади сферы р а диуса R : S=4 π R².

Слайд 7

Взаимное расположение сферы и прямой Окружность L и прямая а не имеют общих точек, поэтому сфера и прямая а также не имеют общих точек. Окружность L и прямая а имеют ровно одну общую точку, поэтому сфера и прямая а также имеют ровно одну общую точку . Окружность L и прямая а имеют ровно две общие точки , поэтому сфера и прямая а также имеют ровно две общие точки.

Слайд 8

Прямая, имеющая со сферой ровно одну общую точку называется касательной к сфере , а общая точка – точкой касания прямой и сферы. Радиус сферы проведенный в точку касания сфер и прямой, перпендикулярен к этой прямой , проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта прямая является касательной к сфере. Отрезки касательных к сфере, проведенный из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту точку и центр сферы.

Слайд 9

Сфера, вписанная в цилиндрическую поверхность Сфера вписана в цилиндрическую поверхность , если она касается всех ее образующих. Существует сфера, касающаяся плоскости α и цилиндрической поверхности.

Слайд 10

Сфера вписанная в коническую окружность Сфера, касающаяся в плоскости α и конической поверхности .

Слайд 11

Сечения цилиндрической поверхности Отрезки M-F 1 и MM 1 являются отрезками касательных, проведенными из точки М к сфере S 1 поэтому MF 1 = MM 1 . Отрезки MF 2 и ММ 2 , будучи отрезками касательных, проведенными из точки М к сфере S 2 , равны: MF 2 = MM 2 . Таким образом , MF 1 + MF 2 = MM 1 +ММ 2 . Сечением цилиндрической поверхностью α является эллипс.

Слайд 12

Сечения конической поверхности В зависимости от угла между секущей плоскостью и осью конической поверхности сечение может быть эллипсом, параболой или гиперболой.

Слайд 1

Слайд 2

Понятие сферы Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Слайд 3

Понятие сферы Данная точка называется центром сферы, а данное расстояние – радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы . Центр, радиус, диаметр сферы называется также центром, радиусом и диаметром шара .

Слайд 5

Сечение шара плоскстью Любое сечение шара плоскостью есть круг . Центр этого круга – основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость. Сечение, проходящее через центр шара, - большой круг . (диаметральное сечение).

Слайд 8

Взаимное расположение сферы и плоскости

Слайд 9

Касательная плоскость к сфере Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

Слайд 10

Касательная плоскость к сфере Теорема Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости. Обратная теорема Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Слайд 11

Площадь сферы Многогранник называется описанным около сферы (шара) , если сфера касается всех его граней. При этом сфера называется вписанной в многогранник.

Слайд 12

Площадь сфры Формула площади сферы

Слайд 13

Спасибо за внимание!

Слайд 1

Слайд 2

Формула Герона позволяет вычислить площадь треугольника ( S ) по его сторонам a, b, c , где p — полупериметр треугольника.

Слайд 3

Эта формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I века н. э.) и названа в его честь. Такие треугольники носят название героновых треугольников. Простейшим героновым треугольником является египетский треугольник.

Слайд 4

Египетский треугольник Из истории: Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами ,площади которых также являются целыми.

Слайд 5

! 2 3 Выразив полупериметр через полусумму всех сторон данного треугольника, можно получить три эквивалентные формулы Герона.

Слайд 6

Имеются три формулы, по структуре аналогичные формуле Герона, но выражаемые в терминах других различных параметров треугольника. Первая формула выражает площадь через медианы, опущенные на стороны a, b, and c, обозначенные соответственно через ma , mb и mc , если их полусумма есть σ = ( ma + mb + mc )/2. Тогда мы имеем :

Слайд 7

Вторая формула. Обозначим высоты, проведенные к сторонам a , b и c треугольника соответственно через h a , h b и h c , а полусумму их обратных величин :

Слайд 8

Третья формула. Обозначим полусумму синусов углов треугольника :

Слайд 9

Формулу Герона можно записать с помощью определителя в виде :

Слайд 10

Спасибо за внимание  Работу выполняла Гришанкова Яна Валентиновна.

Слайд 1

Слайд 2

Цилиндр — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями , пересекающими её .

Слайд 3

Объём цилиндра Для наклонного цилиндра существуют две формулы: Объём равен длине образующей, умноженной на площадь сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей. V=S_{\ perp }l, Объём равен площади основания, умноженной на высоту (расстояние между плоскостями, в которых лежат основания): V= Sh = Sl \ sin {\ varphi }, где l — длина образующей, а \ varphi — угол между образующей и плоскостью основания. Для прямого цилиндра h=l. Для прямого цилиндра \ sin {\ varphi }=1, l=h и S_{\ perp }=S, и объём равен: V= Sl = Sh Для кругового цилиндра: V=\ pi R^{2}h=\ pi \ frac {d^{2}}{4}h где d — диаметр основания.

Слайд 4

Площадь поверхности цилиндра Площадь боковой поверхности Площадь боковой поверхности цилиндра равна длине образующей, умноженной на периметр сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей. S=2 π rh

Слайд 5

Площадь полной поверхности Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей его боковой поверхности и его оснований. S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r)

Слайд 6

Цилиндрическая поверхность — поверхность, получаемая таким поступательным движением прямой (образующей) в пространстве, что выделенная точка образующей движется вдоль плоской кривой (направляющей). Часть поверхности цилиндра, ограниченная цилиндрической поверхностью, называется боковой поверхностью цилиндра. Другая часть, ограниченная параллельными плоскостями - это основания цилиндра. Таким образом, граница основания будет по форме совпадать с направляющей. В большинстве случаев под цилиндром подразумевается прямой круговой цилиндр, у которого направляющая — окружность и основания перпендикулярны образующей. У такого цилиндра имеется ось симметрии.

Слайд 7

Спасибо за внимание.

Слайд 1

Слайд 2

Цили́ндр — геометрическое тело , ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её. Цилиндрическая поверхность — поверхность , получаемая таким поступательным движением прямой (образующей) в пространстве, что выделенная точка образующей движется вдоль плоской кривой (направляющей). Часть поверхности цилиндра, ограниченная цилиндрической поверхностью, называется боковой поверхностью цилиндра. Другая часть, ограниченная параллельными плоскостями - это основания цилиндра. Таким образом, граница основания будет по форме совпадать с направляющей

Слайд 3

В большинстве случаев под цилиндром подразумевается прямой круговой цилиндр, у которого направляющая — окружность и основания перпендикулярны образующей. У такого цилиндра имеется ось симметрии. Другие виды цилиндра — (по наклону образующей) косой или наклонный (если образующая касается основания не под прямым углом); (по форме основания) эллиптический, гиперболический, параболический. Призма также является разновидностью цилиндра — с основанием в виде многоугольника

Слайд 4

Площадь боковой поверхности цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра равна длине образующей , умноженной на периметр сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей.Площадь боковой поверхности прямого цилиндра вычисляется по его развёртке. Развёртка цилиндра представляет собой прямоугольник с высотой и длиной , равной периметру основания. Следовательно , площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развёртки и вычисляется по формуле: В частности, для прямого кругового цилиндра:

Слайд 5

Площадь полной поверхности. Для наклонного цилиндра площадь боковой поверхности равна длине образующей, умноженной на периметр сечения, перпендикулярного образующей : Площадь полной поверхности Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей его боковой поверхности и его оснований. Для прямого кругового цилиндра:

Слайд 6

К вычислению площади боковой поверхности.

Слайд 7

Объем цилиндра. Объём равен длине образующей, умноженной на площадь сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей: Объём равен площади основания, умноженной на высоту (расстояние между плоскостями, в которых лежат основания):

Слайд 8

Для прямого цилиндра И объем равен : Для кругового цилиндра:

Слайд 10

Спасибо за просмотр 

Слайд 1

Слайд 2

Цилиндр — это тело вращения, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны. Образующая Ось цилиндра Высота Радиус α β α || β Основания

Слайд 3

Осевое сечение цилиндра — это сечение цилиндра плоскостью, которая проходит через ось цилиндра. Это сечение является прямоугольником . Сечения цилиндра H = 2R

Слайд 4

Сечения, параллельные оси цилиндра - прямоугольники

Слайд 5

Площадь боковой поверхности цилиндра равна длине образующей, умноженной на периметр сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей. площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развёртки и вычисляется по формуле : S бок.=2 π R⋅H А В h r Площадь боковой поверхности цилиндра

Слайд 6

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей его боковой поверхности и его оснований. Для прямого кругового цилиндра: S полн.=2 π RH+2 π R2=2 π R⋅(H+R) А В 2 Развертка цилиндра. Площадь полной поверхности цилиндра.

Слайд 7

Касательная плоскость цилиндра – плоскость проходящая через образующую цилиндра, перпендикулярная осевому сечению, проведенному через ту же образующую

Слайд 8

Сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной к оси цилиндра

Слайд 9

Для наклонного цилиндра существуют две формулы: 1)Объём равен длине образующей, умноженной на площадь сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей . 2)Объём равен площади основания, умноженной на высоту (расстояние между плоскостями, в которых лежат основания): где — длина образующей, а — угол между образующей и плоскостью основания. Для прямого цилиндра , и , и объём равен: Для кругового цилиндра: , где d — диаметр основания.

Слайд 10

Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту. Формулы объема цилиндра : V = π R 2 h V = S o h где V - объем цилиндра, S o - площадь основания цилиндра, R - радиус цилиндра, h - высота цилиндра. Объем цилиндра

Слайд 1
Цилиндр – геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её.

Слайд 2
Цилиндр

Слайд 3
Основания цилиндра – равные круги, расположенные в параллельных плоскостяхВысота цилиндра - это расстояние между плоскостями его оснований.Радиус цилиндра – это радиус его основания.Ось цилиндра – это прямая, проходящая через центры основания цилиндра (ось цилиндра является осью вращения цилиндра).

Слайд 4
Образующая цилиндра - это отрезок соединяющий точку окружности верхнего основания с соответственной точкой окружности нижнего основания. Все образующие параллельны оси вращения и имеют одинаковую длину, равную высоте цилиндра.Образующая цилиндра при вращении вокруг оси образует боковую (цилиндрическую) поверхность цилиндра.

Слайд 5
Площадь боковой поверхности прямого цилиндра вычисляется по его развёртке

Слайд 6
Площадь боковой поверхности

Слайд 7
Площадь боковой поверхности цилиндра равна длине образующей, умноженной на периметр сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей.

Слайд 8
Развёртка цилиндра представляет собой прямоугольник с высотой 
Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развёртки и вычисляется по формуле:
S=2 π rh

Слайд 9
Площадь полной поверхности

Слайд 10
Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей его боковой поверхности и его оснований.Для прямого кругового цилиндра: 

Слайд 11
Осевое сечение цилиндра – сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра (осевое сечение цилиндра является плоскостью симметрии цилиндра). Все осевые сечения цилиндра – равные прямоугольникиСечение плоскостью, параллельной оси цилиндра. В сечении – прямоугольники.Сечение плоскостью перпендикулярной оси цилиндра. В сечении круги, равные основанию. 

Слайд 12
Сечение цилиндра

Слайд 1

Слайд 2

Цили́ндр — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью (называемой боковой поверхностью цилиндра) и не более чем двумя поверхностями (основаниями цилиндра); причём если оснований два, то одно получено из другого параллельным переносом вдоль образующей боковой поверхности цилиндра; и основание пересекает каждую образующую боковой поверхности ровно один раз.

Слайд 3

Понятие цилиндрической поверхности Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная прямыми (образующими), параллельными некоторой данной прямой L и пересекающими данную линию С (направляющую).

Слайд 4

Сечения цилиндра Если секущая плоскость параллельна оси Q1,Q2 цилиндра , то сечением цилиндра служит прямоугольник, две стороны которого - образующие цилиндра, а две другие стороны - хорды оснований цилиндра . Осевым сечением цилиндра называется сечение плоскостью проходящей через ось цилиндра. Осевое сечение цилиндра - прямоугольник, две стороны которого - образующие цилиндра, а две другие стороны - диаметры оснований цилиндра.

Слайд 5

Касательная плоскость цилиндра Касательной плоскостью к цилиндру называется плоскость проходящая через образующую цилиндра и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую

Слайд 6

Площадь поверхности цилиндра

Слайд 7

Объём цилиндра