Урок "Моделирование"
план-конспект урока по информатике и икт (11 класс)

Открытый урок в содержательной линии: «Моделирование. Научно-технические расчеты на ЭВМ»

Тема: «Вычисление числа π методом Монте-Карло.

Тип урока: Комбинированный урок.

Цели урока:

Общеобразовательные: познакомить с методом Монте-Карло, построить модель и экспериментальным путем вычислить число π;

Развивающие: развитие пространственного и логического мышления, умение делать выводы, способности решать задачи, объективно оценивать свои знания;

Воспитательные: воспитывать внимательность, наблюдательность, чувство удовлетворения от возможности показать на уроке свои знания не только в области информатики но и в других областях школьных знаний.

Задачи:

1)  закрепить и проконтролировать уровень знаний  по теме «моделирование;

усовершенствовать навыки построения моделей различными компьютерными средствами и особенно используя среду программирования;

2)  закрепить навыки работы в среде «Кумир», на уровне сборки алгоритмов из отдельных блоков, отладки программы;

3)  расширить умственный кругозор учащихся, помочь школьникам понять роль;

4)  повысить практический интерес учащихся к моделированию.

План  урока

1. Повторение материала предыдущей темы: «Моделирование, этапы решения задач на ЭВМ»
2. Вводный этап к изучению н.м.: «Магическое число π. Экскурс в историю»
3. Н.м.: Метод Монте-Карло в приближенном вычислении. Построение алгоритма вычисления числа π.
4. Компьютерный эксперимент. Вычисление π на ЭВМ.
5. Итоги: точность вычислений, возможности имеющейся выч.техники. Оценка работы учащихся.
6. Д/з.

Ход урока

1 Общие вопросы для повторения:

-Классифицируйте модели

-Выстройте правильно цепочку:

- Что такое модель

- Виды моделей. Информационные и математические модели. Примеры.

- Адекватность моделей реальным объектам. Возможно ли достигнуть полной адекватности, почему. Примеры.

- Средства компьютерного моделирования. Какой из них наиболее универсален, почему.

(Вопросы содержаться в презентации, которая демонстрируется во время опроса)

2 Вопрос учащимся о том что им известно о числе π, о его применениях, вычислениях. Есть ли шанс у человека когда-нибудь вычислить π с любой точностью, почему. (Учащиеся обязательно должны это связать с адекватностью моделей).

«Магическое число π» (презентация учащихся)

Число π всегда привлекало исследователей. Его вычислением занимались вначале, мистики-математики пифагорейцы, затем мистики и математики порознь, и позже, наконец, программисты. По одной из гипотез, в π зашифрована вся история нашего мира.

Неизвестно точно происхождение обозначения  π то ли от греческого периферия (окружность), то ли от имени Пифагора. Впервые это обозначение использовал в 1706 году английский математик У. Джонс. Но общепринятым оно стало после систематического его употребления (с 1736г) Леонардом Эйлером.

В истории человечества π приближали разными значениями: 22/7=3,1428 у греков, 355/113=3,14159 у китайцев.

На протяжении веков, вплоть до наших дней ведется своеобразная погоня за дестичными знаками числа π.

Вот алгоритм вычисления π, предложенный Архимедом: формула удвоения связывает длины сторон an и  a2n правильных многоугольников вписанных в окружность:

К примеру Франсуа Виет, (подобно Архимеду) вычисляя периметры вписанного и описанного 322216-угольников, получил 9 точных десятичных знаков.

С появлением компьютеров  темпы и глубина вычислений возросли:

1949 год – 2037 знаков (Джон Фон Нейман, ENIAC)

1958 год – 10000 знаков (Ф. Женюи, IBM-704)

…………………………………………………………………….

Последний на сегодня рекорд – 206 158 430 000 знаков. Суперкомпьютер HINTS в сентябре 1999 годя работал более 37 часов, используя 865 Гб памяти для основной памяти и 46 часов, 816 Гб памяти для вспомогательных вычислений.

3 Для вычисления π воспользуемся методом Монте-Карло, суть которого в следующем. Пусть у нас есть какая-нибудь фигура на плоскости, расположенная внутри стандартного квадрата со сторонами, параллельными координатным осям. И пусть про любую точку мы можем узнать попала она внутрь фигуры или нет. Тогда площадь можно вычислить так: засыплем квадрат ровным слоем песка. Число песчинок попавших внутрь пропорционально площади фигуры. Если n – общее число песчинок, m – число попавших внутрь, то площадь фигуры будет равна Sфиг = m/n*Sкв  , ну а площадь квадрата вычислить легко. (Для пояснения модели в качестве наглядного пособия применяется презентация)

Применим данный метод для вычисления π

Площадь круга радиусом 1 ед, равна π (из ф-лы S = πR2 ). Пусть такая окружность

располагается в точке (1,1). Если достаточно большое  кол-во точек «бросать» в квадрат случайным образом, и считать кол-во точек попавших внутрь, то площадь круга будет равна:

S = m/n*4

Это и будет приближенное значение π.

Спроектируем алгоритм вычисления  π описанным методом.

Зарезервируем следующие переменные: цел n – общее число песчинок,  цел m – число песчинок попавших внутрь, вещ x, y - координаты следующей точки, лог q – будет да при попадании точки внутрь.

Ввод количества песчинок: вывод нс, «Введите количество песчинок»

ввод n

Определим перед выполнением алгоритма кол-во песчинок попавших внутрь m:=0.Для равномерного распределения точек воспользуемся генератором случайных чисел rnd(x). Генерирование случайным образом точки из интервала (0,2): x = rnd(2), y = rnd(2).

Точки попавшие внутрь окружности  будут удовлетворять неравенству :

(x - 1)2 + (y -1)2 ≤ 1.

Т.е. выражение q :=  (x - 1)2 + (y - 1)2 ≤ 1 будет принимать значение «истина» когда точка окажется внутри круга.

Подсчитаем кол-во точек попавших внутрь круга:

если q

│  то m := m+1

все

Добавим вывод сгенерированных точек на экран. Используем «Чертежник»:

задать поле (0,2,0,2)

сместиться в точку(x,y)

опустить перо

сместиться в точку(x,y)

поднять перо

Таким образом мы будем видеть равномерность распределения песчинок в квадрате 2×2.

Действия: генерирование точки, определение попадания, подсчет кол-ва «попавших» необходимо выполнить n раз, воспользовавшись соответствующим циклом. В цикл также нужно внести и рисование точек. (Команда задать поле выноситься за цикл!)

Подсчет результата: pi := m/n*4, вывод результата: вывод нс, «при», n, «песчинок пи равно», pi.

Полный вид алгоритма:

алг пи

нач цел n,m, вещ x,y,pi,лог q

| вывод нс,"Введите количество песчинок "

| ввод n

| m:=0

| задать поле(0,2,0,2)

| нц n раз

| | x:=rnd(2); y:=rnd(2)

| | сместиться в точку (x,y)

| | опустить перо

| | сместиться в точку (x,y)

| | поднять перо

| | q:=((x-1)**2+(y-1)**2)<=1

| | если q

| | |то m:=m+1

| | все

| кц

| pi:=m/n*4

| вывод нс,"при",n,"песчинок пи равно",pi

кон

4 Компьютерный эксперимент: учащиеся самостоятельно из блоков собирают воедино программу, доводят до работоспособного состояния.

Вычислительный эксперимент. После отладки программы необходимо провести вычисления и заполнить в тетради следующую таблицу:

В каком из опытов заполнение квадрата песчинками наиболее равномерно?

Дополнительное задание: найти максимально-возможное число песчинок (точно) и рез-т при этом. С чем найденное число связано?

5 Итоги эксперимента. Удовлетворены ли ученики точностью вычислений? С чем связана погрешность в вычислениях? ( π  = 3,1415926535897932384626433832795)

Итоги урока. Оценка работы учащихся. Оцениваются самостоятельность и скорость выполнения  эксперимента.

6 Д/з: Построить алгоритм вычисления π методом Архимеда, используя его формулу (см. выше, необходимо по возможности дать указания для выполнения работы);

вычислить, используя метод Монте-Карло площадь фигуры, ограниченной синусоидой y=sinx, при 0 ≤ х ≤ π и линией у=0; (см. презентацию)

Проверить правильность полученного результата вычислением интеграла:

§26 учебника. Разобрать А120, для успешного построения модели полета тела брошенного под углом к горизонту. Повторить формулы из курса физики: ускорение, равноускоренное движение, вектор скорости и его составляющие.

Программное обеспечение, оборудование и материалы к уроку:

учебник Кушниренко, §25;

учебный класс вычислительной техники;

система обучающего программирования «Кумир» с исполнителем «Чертежник»;

статья учебной стенгазеты «Магия числа π»;

плакат с иллюстрацией метода Монте-Карло;

плакат с иллюстрацией применения метода Монте-Карло для вычисления числа π;

раздаточный материал в виде распечатанного образца готового алгоритма.

Подготовленные презентации для повторения, объяснения нового материала, и домашнего задания.