Брошюра методических разработок по теме "Системы счисления"
учебно-методический материал по информатике и икт (9 класс) на тему

«Все есть число» (Пифагор)

§ 1. Системы счисления.

Система счисления – это способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами.

Все системы счисления можно разделить на позиционные и непозиционные.

• В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает.

Примерами непозиционных систем счисления являются римская система и алфавитная система.

В римском системе в качестве цифр используется латинские буквы:

Пример 1: Число CCXXXII складывается из двух сотен, трех десятков и двух единиц и равно двумстам тридцати двум.

Запомните:

• Числа складываются при переходе от «большей» буквы к «меньшей»;
• Числа вычитаются при переходе от «меньшей» буквы к «большей».

Задание 1. Запишите десятичные числа в римской системе счисления:

464  =

390 =

2648 =

Задание 2. Переведите числа из римской системы счисления в десятичную:

LXXXVI =

XLIX =

CMXCIX =

В алфавитных системах счисления для записи чисел использовался буквенный алфавит. В славянской системе над буквой, обозначающей цифру, ставился специальный знак – «титло». Славянская система счисления сохранилась в богослужебных книгах.

Алфавитная система счисления была распространена у древних армян, грузин, арабов, евреев и других народов Ближнего Востока.

Задание 3. Запишите в алфавитной системе счисления:

365 =

413 =

Недостатки непозиционных систем счисления:

• для записи больших чисел необходимо вводить новые цифры (буквы);
• трудно записывать большие числа;
• нельзя записать дробные и отрицательные числа;
• нет нуля;
• очень сложно выполнять арифметические операции.

• Позиционная система счисления – система счисления, в которой значение цифры зависит от ее позиции в записи числа.

В привычной для нас системе счисления для записи чисел используются десять цифр. Поэтому ее  называют десятичной системой счисления.

555 = 500 + 50 + 5

К позиционным системам счисления относятся десятичная, двоичная, восьмеричная,  двенадцатеричная, шестнадцатеричная, шестидесятеричная и другие системы счисления.

Основные достоинства любой позиционной системы счисления:

• Ограниченное количество символов для записи чисел;
• Простота выполнения арифметических операций.

Основание позиционной системе счисления (q) – количество символов, используемых для записи числа.

Обычно для этого при q<10 используют q первых арабских цифр, а при q > 10 к десяти арабских цифрам добавляют буквы.

Примеры алфавитов нескольких систем:

 Основание систем счисления приписывается к числу нижним индексом: , 36718, 3В8F16.

Задание 4.  Выпишите алфавиты в 5-ричной, 7-ричной, 12-ричной системах счисления.

Задание 5. Запишите первые 20 чисел натурального числового ряда в двоичной, 5-ричной, 8-ричной, 16-ричной системах счисления.

Развернутая форма записи числа называется запись в виде

Здесь - само число, - основание системы счисления, - цифры данной системы счисления, - число разрядов целой части числа, число разрядов дробной части числа.

Пример 2. Получить развернутую форму десятичных чисел 32478; 26,387.

3247810=

26,38710=

Пример 3. Получить развернутую форму чисел 1123, 1011012, 15FC16

1123=

1011012=

15FC16=

Если вычислить полученные выражения по правилам десятичной арифметики, то получится число в десятичной системе, равное данному. По этому принципу производится перевод из недесятичной системе в десятичную.

Пример 4.

1123==1410

1011012==4510

15FC16==562810

Задание 5. Запишите в развернутом виде числа:

Задание 6. Запишите в десятичной системе счисления числа:

Вопрос 1. Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней могут быть записаны числа: 10, 21, 201, 1201?

Вопрос 2. Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней могут быть записаны числа: 403, 561, 666, 125?

Вопрос 3. Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней могут быть записаны числа: 22, 984, 1010, А219?

Задание 7. Запишите десятичный эквивалент числа 10101, если считать его написанным во всех  системах счисления – от двоичной до девятеричной включительно.

Задание 8. Сравните числа:

1102 и 1103

5506 и 5508

Е3116 и 378

Задание 9. В саду 100 фруктовых деревьев – 14 яблонь и 42 груши. В какой системе счисления посчитаны деревья?

§ 2. Перевод десятичных чисел в другие системы счисления.

1. Перевод целых чисел.

1. Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе счисления и все последующие действия производить в десятичной системе счисления;
2. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых неполных частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим неполное частное, меньшее делителя;
3. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;
4. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного.

Пример 1. Перевести число 3710 в двоичную систему.

3710=1001012
Пример 2. Перевести десятичное число 315 в восьмеричную и в шестнадцатеричную системы:

31510=4738=13В16

Задание 1. Перевести целые числа из десятичной системы счисления в троичную: 523, 65, 7000, 2307, 325.

Задание 2. Перевести целые числа из десятичной системы счисления в восьмеричную: 856, 664, 5012, 6435, 78.

2. Перевод дробных чисел.

1. Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе счисления и все последующие действия производить в десятичной системе счисления;
2. Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в новой системе счисления;
3. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;
4. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

Пример 3. Перевести десятичную дробь 0,1875 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы.

0,187510=0,00112=0,148=0,316

Задание 3. Перевести десятичные дроби в двоичную систему счисления. В двоичной записи числа сохранить шесть знаков.

0,654; 0,321;  0,6135;  0,9876.

Задание 4. Перевести десятичные дроби в шестнадцатеричную систему счисления. В новой записи числа сохранить шесть знаков.

0,745; 0,101;  0,8453;  0,3451.

3. Перевод смешанных чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Целая и дробная части исходного числа переводятся отдельно по соответствующим алгоритмам. В итоговой записи числа в новой системе счисления целая часть отделяется дробной запятой.

Пример 4. Перевести десятичное число 315,1875 в восьмеричную и в шестнадцатеричную системы счисления.

315,187510=473,148=13В,316 (из рассмотренных выше примеров).

Задание 5. Перевести смешанные десятичные числа в троичную и пятеричную системы счисления, оставив, пять знаков в дробной части нового числа: 40,5;   34,25;  124,44;  78,333;  90,99.

Задание 6. Перевести смешанные десятичные числа в двоичную и восьмеричную системы счисления, оставив, пять знаков в дробной части нового числа: 21,5;  432,54;  678,333;  97,444;  7896,2.

Задание 7. Перевести из десятичной системы счисления, следующие числа:

; ; ; ;; .

 § 3. Системы счисления, используемые в ЭВМ (с основанием 2n).

От того, какая система счисления будет использована в компьютере, зависят скорость вычислений, емкость памяти, сложность алгоритмов выполнения арифметических и логических операций.

Двоичная система счисления является стандартом при конструировании компьютеров:

• Наиболее просто технически создать электронные схемы, работающие в двух устойчивых состояниях (одно из таких состояний можно представить цифрой 1, другое – цифрой 0);
• Предельно просто выполняются арифметические действия;
• Возможно применение булевой алгебры для выполнения логических операций;
• Обеспечивается максимальная помехоустойчивость в процессе передачи информации, как между отдельными модулями компьютера, так и на большие расстояния.

Двоичная система счисления используется для организации машинных операций по преобразованию информации.

Десятичная система счисления – для ввода и вывода информации.

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления – для составлении программ на языке машинных кодов для более короткой и удобной записи двоичных кодов.

Для того чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием q =  (4, 8, 16 и т.д.), нужно:

1. Данное двоичное число разбить справа налево на группы по n цифр в каждой;
2. Если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов;
3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q = .

Для того чтобы дробное двоичное число записать в системе счисления с основанием q = , нужно:

1. Данное двоичное число разбить слева направо на группы по n цифр в каждой;
2. Если в последней правой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить справа нулями до нужного числа разрядов;
3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q = .

Для того чтобы произвольное двоичное число записать в системе счисления с основанием q = , нужно:

1. Данное двоичное число разбить слева и справа (целую и дробную части) на группы по n цифр в каждой;
2. Если в последних правой и левой группах окажется меньше n разрядов, то их надо дополнить слева и справа нулями до нужного числа разрядов;
3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q = .

Двоично-шестнадцатеричная таблица:

Пример 1. Перевести число 15FС16 в двоичную систему.

15FC16=0001 0101 1111 11002

Пример 2. Перевести двоичное число 110111101011101111 в шестнадцатеричную систему.

Разделим данное число на группы по четыре цифры, начиная справа. Дополним нулями левую группу.

0011 0111 1010 1110 1111

Используя двоично-шестнадцатеричную таблицу, получаем: 37АЕF16

Двоично-восьмеричная  таблица:

Пример 3. Перевести смешанное число 1011101,101112 в восьмеричную систему.

001 011 101,101 1102=135,568

Задание 1. Перевести двоичные системы в восьмеричную систему счисления:

110000110101

1010101

0,1010011100100

0,1111110001

0,1001111100000

0,1100010

Задание 2. Перевести двоичные числа в шестнадцатеричную систему счисления:

11011010001

1111111111000001

0,0110101

0,11100110101

01100110011

100011111011

0,101010101

Задание 3. Перевести смешанные двоичные числа в восьмеричную и шестнадцатеричную системы:

100010,011101

1111000000,101

101010,111001

100011,111

101111,01100

100000111,001110

Задание 4. Перевести восьмеричные числа в двоичную систему счисления:

256;

0,345;

76,025;

345,77.

Задание 5. Перевести шестнадцатеричные числа в двоичную систему счисления:

1АC7;

0,2D1;

2F,D8C;

F0C,FF;

DDFF,A;

FACC;

0,FDD;

21D,567.

Задание 6. Перевести следующие числа:

ABC,1A16→?8;          ABC,1A16→?2

101011,1012→?8;      101011,1012→?16

Задание 7. Опишите четверичную систему. Постройте двоично-четверичную таблицу.

§ 4. Арифметика в позиционных системах счисления.

Любая позиционная система счисления определяется основанием системы, алфавитом и правилами выполнения арифметических операций. В основе правил арифметики лежат таблицы сложения и умножения однозначных чисел.

Таблицы сложения и умножения в пятеричной системе счисления:

Пример 1. Пользуясь этими таблицами, можно выполнять арифметические операции с многозначными числами.

     342

  +  23

     420    

     213

     *  3

   1144

Задание 1. Составьте таблицы сложения и умножения в троичной системе счисления и выполните вычисления:

12+22;            221-11;                 21* 2;                11 : 2.

Задание 2. Составьте таблицы сложения и умножения в двоичной системе счисления и выполните вычисления:

1110+101;            10101-11;                 101* 11;                1110 : 10.

Задание 3. Составьте таблицы сложения и умножения в восьмеричной системе счисления и выполните вычисления:

3456+245;            7631-456;                 77771 + 234;            77777 – 237.

Задание 4. Составьте таблицы сложения и умножения в шестнадцатеричной системе счисления и выполните вычисления:

FFFF+1;            1996 + BABA;                 BEDA - BAC;                1998 – A1F.

Задание 5. Вычислите выражения:

Задание 6. Найти основание p системы счисления и цифру n, если верно равенство: 33m5n + 2n443 = 55424.

Задание 7. Найти основание системы счисления, в которой справедливо данное равенство; определить неизвестные цифры, отмеченные звездочками.

24**1 + *235* = 116678

Задание 8. Записать наибольшее и наименьшее n-разрядные числа, представимые в системе счисления с основанием p и перевести эти числа в десятичную систему:

1. n = 2; p =2
2. n = 3; p = 8
3. n = 4; p = 16

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Выполните арифметические операции:

1. 11102  + 10012;
2. 678 + 238;
3. AF16 + 9716;
4. 11102 – 10012;
5. 678 - 238;
6. AF16 - 9716;
7. 11102  * 10012;
8. 678 * 238;
9. AF16 * 9716;
10. 11102  : 10012;
11. 678 : 238;
12. AF16 : 9716.

2. Расставьте знаки арифметических операций так, чтобы были верны следующие равенства в двоичной системе:

1. 1100 ? 11 ? 100 = 100000;
2. 1100 ? 10 ? 10 = 100;
3. 1100 ? 10 ? 10 = 110000;
4. 1100 ? 10 ? 10 = 1011;
5. 1100 ? 11 ? 100 = 0.

3. Какое число следует за каждым из данных:

1. 1010;
2. 6778;
3. AF16;
4. 1012.

Ответ для каждого числа запишите в указанной и десятичной системах счисления.

4. Выпишите целые числа, принадлежащие следующим числовым промежуткам:

1. [1011012; 1100002] в двоичной системе;
2. [148; 208] в восьмеричной системе;
3. [2816; 3016] в шестнадцатеричной системе;

Ответ для каждого числа запишите в указанной и десятичной системах счисления.

5. Вычислите выражения:

6. Найдите среднее арифметическое следующих чисел: 100101102, 11001002 и 1100102.

Задания на построение изображений.

1. Даны координаты точек в 2-й системе счисления. Переведите их в 8-ю и постройте изображение, последовательно соединяя все точки.

2. Даны координаты точек в 16-й системе счисления. Переведите их в 10-ю и постройте изображение.

3. Даны координаты точек в 8-й системе счисления. Переведите их в 10-ю и постройте изображение.

Обучающие и тренировочные тестовые задания

уровня сложности А

1. Десятичное число 1025 равно двоичному числу …

1. 10000000001
2. 100000000000
3. 11000000000
4. 10000100001
5. 10000000000

2. Десятичное число 449 равно восьмеричному числу …

1. 187
2. 765
3. 781
4. 701
5. 791

3. Десятичное число 999 равно шестнадцатеричному числу …

1. 3E7
2. 3B7
3. 7E3
4. 7C3
5. FFF

4. Двоичное число 11100100001 равно восьмеричному числу …

1. 3441
2. 7142
3. 6461
4. 6714
5. 7707

5. Двоичное число 1110011001110 равно шестнадцатеричному числу …

1. 3СB1
2. CCC1
3. 1ССE
4. 6CCB
5. AB19

6. Восьмеричное число 343 равно двоичному числу …

1. 11100011
2. 10111101
3. 11100001
4. 10111001
5. 10000000

7. Шестнадцатеричное число C3A9 равно двоичному числу …

1. 1100001110101001
2. 1111100000111101
3. 1110111100000001
4. 1101110000001001
5. 1101011011011101

8. Сумма двоичных чисел 11101,10 и 111,111 равна двоичному числу …

1. 101000,011
2. 101110,010
3. 100101,011
4. 111110,111
5. 100010,101

9. Сумма восьмеричных чисел 10,47 и 74,53 равна восьмеричному числу …

1. 105,22
2. 220,22
3. 202,22
4. 222,02
5. 245,11

10. Сумма шестнадцатеричных чисел AB,B2 и 5F,E9 равно шестнадцатеричному числу …

1. 10B,9B
2. F5,AB
3. 10B,AB
4. AB,AB
5. DA,19

уровня сложности В

1. Найдите частное от деления двоичного числа 1000,001 на двоичное число 11,01 с точностью двоичного числа 0,01.
2. В системе счисления с основанием p число (110)p в два раза больше суммы чисел (13)p и (3)p. Найдите основание p этой системы счисления.
3. Не переводя непосредственным делением «в столбик» десятичное число 4097 в двоичную систему, определите количество нулей в его двоичном представлении.

уровня сложности С

1. Число х = (111)p (рассматриваемое в системе счисления с основанием p, 1 < p < 20) представляет собой наименьшее число, кратное десятичному числу 31. Найдите основание p системы счисления, не перебирая все возможные значения p.
2.  Найдите основание p системы счисления, в которой верно следующее равенство:

(1004)p – (24)p = (430)p.

Метод подбора не используйте.