Проектная работа ученика "Исследование гармонических колебаний"
проект по информатике и икт (10 класс) на тему

НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

УЧАЩИХСЯ МОУ СОШ п. Мизур

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

Тема: Моделирование гармонических колебаний в среде табличного

процессора MS Excel

Выполнила Цогоева Ирина Зелимхановна

Класс: 10

Руководитель: Ревазова Фатима Феликсовна

Мизур, 2011

Содержание

1. Введение                                                                                                                    2
2. Основная часть

1. Колебания: понятие, основные параметры                                                      2
2. Исследование влияние параметров гармонических

колебаний на график  колебательного процесса                                                    3

3. Сложение колебаний                                                                                           5
4. Биения                                                                                                                   7

3. Заключение                                                                                                                 8
4. Список литературы                                                                                                    9

1. Введение:

Представленная работа имеет прикладной характер. В школьном курсе физики изучаются гармонические колебания. Но в реальности провести опыты, в которых можно наблюдать и изучать колебательный процесс и его характеристики сложно. Табличный процессор MS Excel является мощным средством для моделирования различных динамических процессов. В данной работе я с помощью средств MS Excel предлагаю исследовать влияние параметров колебательного процесса на график колебаний, изучить сложение колебаний и их частный случай – биения.

2. Основная часть

2.1. Гармонические колебания: понятие, основные параметры

Колебательное движение – это движение, повторяющееся через определенный промежуток времени.

Периодические изменения физической величины в зависимости от времени, происходящие по закону синуса или косинуса, называются ГАРМОНИЧЕСКИМИ КОЛЕБАНИЯМИ.

Уравнение гармонического колебания

x = xm cos(ω0 t + φ0)

• x – смещение тела
•  t – время
•  xm – амплитуда колебаний
•  φ0- начальная фаза колебаний
•  ω – циклическая частота колебаний

Минимальный промежуток времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний T.

Τ= t / n

xm – амплитуда колебаний, т. е. максимальное смещение от положения равновесия

Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний. Частота колебаний  ν показывает, сколько колебаний совершается за 1 с.

   Единица частоты – герц (Гц).

Циклическая или круговая частота - это число колебаний тела за 2π с.

ω0 = 2π/T = 2πν

2.2. Исследование графика колебательного процесса.

Для того чтобы исследовать влияние параметров гармонических колебаний на график  колебательного процесса, я использовала такую возможность табличного процессора MS Excel, как управляющие элементы: полосы прокрутки и счетчик. Для каждой полосы прокрутки установлены минимальное и максимальное значение. Каждая полоса прокрутки привязана к соответствующей ячейке. Изменение положения ползунка на полосе прокрутки приводит к изменению значения в соответствующей ячейке. Таким образом, изменяя значения амплитуды, круговой частоты и начальной фазы колебаний, можно наблюдать изменение графика и лучше понять смысл соответствующих физических величин.

В режиме отображения формул таблица выглядит следующим образом.

В режиме отображения значений:

Рис. 1. График колебательного процесса

2.2. Сложение колебаний.

Пусть тело одновременно участвует в двух гармонических колебаниях одинакового направления и одинаковой частоты:

x1 = а1 cos (ωt + α1),        x2 = a2 cos (ωt + α 2).

Результирующее смещение тела в данный момент определяется суммой независимых смещений, приобретенных телом в каждом из колебаний: x = x1 = x2. Это результирующее смещение можно найти с помощью векторной диаграммы. Построим для этого по правилу сложения векторов амплитуды результирующего колебания а. Проекция его на ось OX равна сумме проекций x1 и x2 векторов амплитуды а1 и а2 на эту же ось и изменяется со временем по закону

x = a cos (ωt + α),

где

а² = а1² + а2² + 2 а1а2 cos (α2 – α1),

а начальная фаза α определяется на соотношения

tg α = (а1 sin α1 + а2 sin α2) / (а1 cos α1 + а2 cos α2).

Амплитуда результирующего колебания зависит от разности начальных фаз α2 – α1 складываемых колебаний. В частности, если α2 – α1 = 0 или α2 – α1 = 2πn, где n – любое целое число, то амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд складываемых колебаний.

При α2 – α1  = π/2 амплитуда результирующего колебания а = (корень) а1² + а2². Если α2 – α1 = (2π + 1)π, то амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний. В случае α1 =  α2 амплитуда результирующего колебания равна нулю, т. е. оба колебания уничтожаются.

Полученные утверждения можно пронаблюдать с помощью Excel.

Ячейки электронных таблиц заполнены следующим образом: в ячейке В2 – значение частоты, в В3 – а1, в В4 – а2, в В5 – формула =КОРЕНЬ(В3*2+В4ˆ2+2*В3*В4*COS(В6)), в В6 – разность фаз α2 – α1 - =π()/2*В7, в В7 – четные или нечетные числа. В столбце С вычисляются значения времени, возрастающее на 0,02, для чего в С3 введена формула =С2+0,02. В столбце D вычисляются значения x1 по формуле =$В$3*COS($В$2*С2), в столбце Е – х2, =$B$4*COS($B$2*C2+$B$6), в столбце F – амплитуда результирующего колебания, для чего введена формула =$B$5*COS($B$2*C2+$B$6). Формулы вычисления времени t, значений x1, х2 и х размножены до 80-й строки.

Меняя значения в В7, значения амплитуд в В3 или В4, наблюдаем изменение графиков исходных и результирующего колебаний.

Рис. 2. График сложения колебаний

При четном и нечетном значении n графики будут меняться.

4. Биения

При сложении колебаний одинакового направления, но с разной частотой результирующее колебание уже не будут гармоническим. Пусть, например, складываются два гармонических колебания:

x1 = а1 cos (ω1t + α),        x2 = a2 cos (ω2t + α).

Амплитуды обеих колебаний для простоты будем считать равными (а1 =  а2). Тогда для результирующего колебания, применяя формулу для суммы косинусов, получим:

x = 2a1 cos ((ω2 – ω1)/2t) cos ((ω2 + ω1)2t + α),

где а = |2a1 cos ((ω2 – ω1)2t)| определяет закон изменения амплитуды результирующего колебания со временем. Так как этот множитель может изменяться от -2а до +2а, берем его абсолютную величину, так как по определению амплитуда есть величина положительная.

Ячейки электронных таблиц заполняем следующим образом: В2 – частота первого колебания, В3 – частота второго, В4 – амплитуда результирующего колебания, определяемая по формуле =2*$B$5*COS(($B$3-$B$2)*C2/2), в ячейке В5 – амплитуда складываемых колебаний. В столбце С введено время с интервалом изменения 0,02. Столбец D определяет первое колебание х1 - =$B$4*COS($B$2*C2), столбец Е для второго колебания - =$B$4*COS($B$3*C2), результирующее колебание определяется в столбце F - =2*$B$4*COS(($B$3-$B$2)*C2/2)*SIN(($B$3+$B$4)*C2/2). Введение функции sin задает разность фаз в π/2.

Чтобы получить наглядную картину биений, значение времени, амплитуд исходных и результирующего колебаний продолжены до 200-й строки.

Рис. 3 . График биения

3. Заключение

Итак, я считаю, что моя работа может использоваться на уроках физики, что позволит ребятам наглядно понаблюдать за изменением графика колебаний при изменении различных параметров. Возможно, это вызовет у них больший интерес к физике. А ребятам, увлекающимся информатикой, эта работа поможет еще больше узнать о возможностях табличного процессора MS Excel, таких как управляющие элементы.

Список литературы:

1. Гармонические колебания. http://ru.wikipedia.org/wiki
2. Гарнаев А.Ю. Самоучитель VBA. СПб: БХВ, СанктПетербург, 1999.
3. «Информатика и образование», №4/2009