Системы счисления.
план-конспект урока по информатике и икт (9 класс) по теме

Тема урока: Системы счисления.

Тип урока:  изучение нового материала.

Цели урока: 

• Познакомить учащихся с историей возникновения и развития систем счисления.
• Указать на основные недостатки непозиционных систем счисления.
• Сформировать у учащихся понятие «позиционные системы счисления»

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

• Определение следующих понятий: «цифра», «число», «система счисления», «непозиционная система счисления»;
• Недостатки непозиционных систем счисления;
• Какая система счисления называется «позиционной» и почему;
• Приводить примеры позиционных систем счисления;
• Развернутую форму записи числа в позиционной системе счисления.

Учащиеся должны уметь:

• Записывать числа в непозиционных системах счисления;
• Приводить примеры чисел различных позиционных систем счисления, определять основание системы счисления;
• Уметь записывать числа позиционной системы счисления  в развернутой форме.

Программное обеспечение:   Программа Microsoft PowerPoint,

                                                    презентация «Системы счисления».

План урока

Ход урока

1. Организационный момент
2. Изложение нового материала

      Изложение нового материала сопровождается показом презентации   «Системы счисления». Презентация прилагается.

1. История возникновения и развития систем счисления

(Слайды 1-4)

Люди всегда считали и записывали числа. Но записывали их совершенно по-другому, по другим правилам. Однако в любом случае число изображалось с помощью некоторых символов, которые называются цифрами.  

Вопрос: Что такое цифры? (Ученики пытаются ответить на этот вопрос). Цифры – это символы, участвующие в записи числа и составляющие некоторый алфавит.

Вопрос: Что же такое число?

Первоначально число было привязано к тем предметам, которые пересчитывались. Но с появлением письменности число отделилось от предметов пересчета и появилось понятие натурального числа. Дробные числа появились в связи с тем, что человеку потребовалось что-то измерять, а единица измерения не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой величине. Далее понятие числа развивалось в математике, и сегодня считается фундаментальным понятием не только математики, но и информатики. Число – это некоторая величина.

Числа складываются из цифр по особым правилам. На разных этапах развития человечества, у разных народов эти правила были различны и сегодня мы их называем системами счисления.

2. Системы счисления.

Система счисления – это способ записи чисел с помощью цифр.

(Слайд 5)

Все известные системы счисления делятся на непозиционные и позиционные.

Непозиционные системы счисления возникли раньше позиционных. Непозиционной называется такая система счисления, у которой количественный эквивалент («вес») цифры не зависит от ее местоположения в записи числа. Позиционные системы счисления, у которых количественный эквивалент («вес») цифры зависит от ее местоположения в записи числа.

Рассмотрим примеры записи чисел в позиционной и непозиционной системах счисления.

Число 333. В записи этого числа используется трижды цифра 3. Но вклад каждой цифры в величину числа разный. Первая 3 означает число сотен, вторая – число десятков, третья – число единиц. Если сравнить «вес» каждой цифры в этом числе, то получится, что первая 3 «больше» второй в 10 раз и «больше» третьей в 100 раз.

Этот принцип отсутствует в непозиционных системах счисления. Рассмотрим римское число XXX. В десятичной системе счисления это число 30. При записи числа XXX использовались одинаковые «цифры» - X. И если сравнить их между собой, то получим абсолютное равенство. Т.е. на каком бы месте ни стояла цифра в записи числа, ее «вес» всегда один и тот же. В данном примере он равен 10.

3. Непозиционные системы счисления

(Слайд 6)

В древние времена, когда люди начали считать, появилась потребность в записи чисел. Количество предметов, например мешков, изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности: камне, глине, дереве (до изобретения бумаги было еще очень далеко). Каждому мешку в такой записи соответствовала одна черточка.

Ученые назвали этот способ записи чисел единичной или унарной системой счисления.

Неудобства такой системы счисления очевидны: чем большее число надо записать, тем больше палочек. При записи большого числа легко ошибиться – нанести лишнее количество палочек или, наоборот, не дописать палочки. Поэтому позже эти значки стали объединять в группы по 3, 5, 10 палочек. Таким образом, возникали уже более удобные системы счисления.

(Слайд 7)

Древнеегипетская десятичная непозиционная система возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э. Бумагу заменяла глиняная дощечка, и именно поэтому цифры имеют такое начертание.

В этой системе счисления использовали в качестве цифр ключевые числа 1, 10, 100, 1000 и т.д. и записывались они при помощи специальных иероглифов: шест, дуга, свернутый пальмовый лист, цветок лотоса.

Именно из комбинаций таких «цифр» записывались числа и каждая «цифра» повторялась не более девяти раз.

Вопрос: Почему? (Ученики пытаются ответить на этот вопрос).  

Ответ: Так как десять подряд идущих одинаковых цифр можно заменить одним числом, но на разряд старше.  

Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи обычного сложения.  

Вопрос: Какое число записано? (Ученики пытаются ответить на этот вопрос).  

Ответ: 2342  

(Слайд 8)

Знакомая нам римская система принципиально не намного отличается от египетской. Но она более распространена в наши дни.

В ней для обозначения чисел используются знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а для чисел 50, 100, 500 и 1000 используются заглавные латинские буквы соответствующих латинских слов.

I, V, X, L, C, D и M являются «цифрами» этой системы счисления. Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд «цифр».  

Правила составления чисел в римской системе счисления: Величина числа определяется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается. Если меньшая цифра стоит права от большей, то она прибавляется.  

(Слайд 9)

Рассмотрим, как записывается число 444 в римской системе счисления.

444 = 400+40+4 (сумма четырех сотен, четырех десятков и четырех единиц).

400 = D - C = CD, 40 = L - X = XL, 4 = V - I = IV

444 = CDXLIV

Обратите внимание, что в десятичной записи числа используются три одинаковые цифры, а в римской системе счисления разные. Количество цифр, используемых при записи одного и того же числа, в десятичной и римской системах не одинаково (в римской – в два раза больше).  

(Слайд 10)

Вопрос: Какие числа записаны с помощью римских цифр?

MMIV = 1000 + 1000 + (5 – 1) = 2004  

LXV = 50 + 10 + 5 = 65

CMLXIV = (1000 – 100) + 50 + 10 + (5 – 1) = 964  

Вопрос: Выполните действия.

MMMD + LX = (1000 + 1000 + 1000 + 500) + (50 + 10) = 3560

Вопрос: Выполняя это арифметическое действие, испытывали ли вы какое-то неудобство, и в чем оно заключалось? (Ученики пытаются ответить на этот вопрос).  

(Слайд 12)

Греки применяли несколько способов записи чисел. Афиняне для обозначения чисел пользовались первыми буквами слов–числительных. С помощью этих цифр житель Древней Греции мог записать любое число.  

Вопрос: Попробуйте определить, какое число записано в греческой системе счисления? (Ученики пытаются ответить на этот вопрос).  

(Слайд 13)

Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы. К числу таких систем счисления относились славянская, ионийская (греческая), финикийская и другие. В них числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90), и целые количества сотен (от 100 до 900) обозначались буквами алфавита.

Алфавитная система была принята и в древней Руси. До конца XVII века (до реформы Петра I) в ней в качестве «цифр» использовали 27 букв кириллицы.  

Чтобы отличать буквы от цифр над буквами ставился специальный знак – титло. Это делалось для того, чтобы отличить числа от обычных слов.  

Вопрос: Какое число записано в славянской системе счисления? (Ученики пытаются ответить на этот вопрос).  

Мы видим, что запись получилась не длиннее нашей десятичной. Это объясняется тем, что в алфавитных системах использовалось, по крайней мере, 27 «цифр». Но эти системы были удобны только для записи чисел до 1000.

(Слайд 14)

Правда, славяне, как и греки, умели записывать числа и больше 1000. Для этого к алфавитной системе добавляли новые обозначения.  

Так, например, числа 1000, 2000, 3000… записывали теми же «цифрами», что и 1, 2, 3…, только перед «цифрой» ставили слева снизу специальный знак.  

Число 10 000 обозначалось той же буквой, что и 1, только без титла, ее обводили кружком. Называлось это число «тьмой». Отсюда и произошло выражение «тьма народу».

Вопрос: Какое число в славянской системе счисления соответствует выражению «тьма тьмущая»? (Ученики пытаются ответить на этот вопрос).

Ответ: 100 000 000.

Такой способ записи чисел, как в алфавитной системе, можно рассматривать как зачатки позиционной системы, так как в нем для обозначения единиц разных разрядов применялись одни и те же символы, к которым лишь добавлялись специальные знаки для определения значения разряда.

Алфавитные системы счисления были мало пригодны для оперирования с большими числами. При записи большого числа, для которого еще не существовало знака, его обозначающего, возникала потребность в ведении нового символа для обозначения этого числа.

В ходе развития человеческого общества эти системы уступили место позиционным системам.  

(Слайд 15)

Вопрос: Вспомните, в какой системе счисления (позиционной или непозиционной) используется больше цифр при записи числа, в какой системе счисления (позиционной или непозиционной) выполнять арифметические действия удобней. И ответьте на вопрос: Каковы недостатки непозиционных систем счисления? (Ученики пытаются ответить на этот вопрос).  

4. Позиционные системы счисления

(Слайд 16)

В связи с вышеназванными недостатками непозиционные системы счисления постепенно уступили место позиционным системам счисления.

Основные достоинства позиционной системы счисления:

1. Простота выполнения арифметических операций.

2. Ограниченное количество символов, необходимых для записи числа.  

(Слайд 17)

Разряд – это позиция цифры в числе.

Основание (базис) позиционной системы счисления – это количество цифр или других знаков, используемых для записи чисел в данной системе счисления.

Позиционных систем много, так как за основание системы счисления можно принять любое число не меньше 2.

Данные о некоторых системах счисления приведены в таблице.  

(Слайд 18)

В позиционной системе счисления любое вещественное число может быть представлено в виде:

Aq = ±(an-1qn-1+an-2qn-2+…a0q0+a-1q-1+a-2q-2+…a-mq-m)

Здесь:

A – само число

q – основание системы счисления

ai – цифры данной системы счисления

n – число разрядов целой части числа

m – число разрядов дробной части числа  

Представим десятичное число А = 4718,63 в развернутом виде.

В какой системе счисления записано число?

Чему равно основание данной системы счисления? (q=10)

Чему равно число разрядов целой части числа (n=4)

Чему равно число разрядов дробной части числа (m=2)

(Слайд 19)

Вопрос: Как будет выглядеть в развернутом виде число А8 = 7764,1? (Ученики пытаются ответить на этот вопрос).  

(Слайд 20)

Вопрос: Как будет выглядеть в развернутом виде число А16 = 3AF? (Ученики пытаются ответить на этот вопрос).  

(Слайд 21)

Свернутой формой записи числа называется запись в виде:

A = an-1 an-2 … a1 a0, a-1 a-m 

Именно такой формой записи чисел мы пользуемся в повседневной жизни.

III. Закрепление нового материала

1. Выполнить задания:

№1

Какое число записано с помощью римских цифр: MCMLXXXVI?

№2

Выполните действия:

MCMXL + LX

№3

Правильно ли записаны числа в соответствующих системах счисления

1. А10 = А,234        В) А16 = 456,46
2. А8 = -5678        Г) А2 = 22,2

№4

Выполнение заданий учебника 1-5 стр. 48.

IV. Подведение итогов

Учитель оценивает работу класса, называет учащихся, отличившихся на уроке.

V. Рефлексия урока.

Вопросы ученикам: 

- Что нового вы сегодня узнали на уроке?

- С какими новыми понятиями познакомились?

- Выполнение каких заданий вызвало затруднение?

VI. Задание на дом

Прочитать материал учебника стр. 38-42, ответить устно на  контрольные  вопросы 1-3 стр.50, выполнить задания 6,7, 8 стр. 49.