10 задач по теме "Параллелограмм"
презентация урока для интерактивной доски по геометрии
Разбор решения задач по теме "Параллелограмм"
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 Разбор решения задач по теме "Параллелограмм" | 979.84 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Основные формулы, признаки и свойства Параллелограмм - это четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны (лежат на параллельных прямых). Противоположные стороны и противоположные углы параллелограмма равны. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. a = S / h a ; b = S / h b a = h b / sin а; b = h a /sin a P = 2a + 2b = 2(a + b) S = a· h a ; S = b· h b S = ab · sin α ; S = ab · sin β
Задача 1 Один из углов параллелограмма равен 65°. Найти остальные углы параллелограмма. Решение. ∠C =∠A = 65° как противоположные углы параллелограмма. ∠А +∠В = 180°, как углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма. ∠В = 180° — ∠А = 180° — 65° = 115°. ∠D =∠B = 115°, как противолежащие углы параллелограмма. Ответ: ∠А =∠С = 65°; ∠В =∠D = 115°.
Задача 2 Сумма двух углов параллелограмма равна 220°. Найти углы параллелограмма. Решение. Так как у параллелограмма имеется 2 равных острых угла и 2 равных тупых угла, то нам дана сумма двух тупых углов, т.е. ∠В +∠D = 220°. Тогда ∠В =∠D = 220° : 2 = 110°. ∠А +∠В = 180° как углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма, поэтому ∠А = 180° — ∠В = 180° — 110° = 70°. Тогда ∠C =∠A = 70°. Ответ: ∠А =∠С = 70°; ∠В =∠D = 110°.
Задача 3 Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 6, CK = 10. Решение. Углы BKA и KAD равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AK , значит углы BAK и BKA также равны. Следовательно, треугольник ABK — равнобедренный, откуда AB = BK = 6. BC= BK + CK = 6+10=16. AB =DC, BC=AD( п ротивоположные стороны параллелограмма равны). Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон P = 2( BC + AB ) = 2(6 + 16 ) = 44. Ответ: 44. B A C D K
Задача 4 Один угол параллелограмма в два раза больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах. Решение 1 . Пусть x — меньший угол параллелограмма, тогда 2 x — больший угол, x + 2 x + x + 2 x = 360° (т.к. сумма всех углов в любом четырёхугольнике равна 360°) 6 x = 360° , откуда x = 60°. Таким образом меньший угол параллелограмма равен 60°. Ответ: 60. Решение 2. Пусть x — меньший угол параллелограмма, тогда 2 x — больший угол x + 2x = 180° ( как односторонние углы параллелограмма ) , 3 x = 180° ⇒ меньший угол параллелограмма равен 60°. Ответ: 60. x 2 x
Задача 5 Найдите площадь ромба, если его стороны равны 1, а один из углов равен 150 0 . Решение. Используем формулу площади параллелограмма: S= AB • AD • sin A Стороны равны 1, а острый угол будет равен 30 0 : S= AB • AD • sin A = 1•1• sin 30° = 1 • ½ = 0,5 Ответ: 0,5 150 0
Т ермин параллелограмм имеет греческое происхождение. Согласно философу Проклу, был введен Евклидом. Parallelos - параллельный и gramme - линия. Поэтому слово параллелограмм можно перевести как «параллельная линия» . Евклид
Теорема Вариньона Теоре́ма Вариньо́на — геометрический факт, доказанный Пьером Вариньоном и утверждающий, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. Точнее Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника. Параллелограмм, образованный серединами сторон, иногда называется вариньоновским или вариньоновым.
Теорема Вариньона Выпуклый четырёхугольник Невыпуклый четырёхугольник Самопересекающийся четырёхугольник
Задача 6 В параллелограмме MNPQ проведён перпендикуляр NH к прямой MQ , причём точка H лежит на стороне MQ . Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что MH = 3 см , HQ = 5 см , ∠ MNH = 30°. M N P Q H Решение. Так как точка H принадлежит отрезку MQ , то MH + HQ = MQ = 8 см и NP = MQ = 8 см (как противоположные стороны параллелограмма). Треугольник MNH— прямоугольный и ∠ MNH = 30 ° , то ∠ M = 180° - 90° - 30° = 60°, ∠ M = ∠ P (противоположные углы параллелограмма), ∠ P = 60°, ∠ N = ∠ Q = 180° - 60° = 120° (противоположные углы параллелограмма). MN = PQ (как противоположные стороны параллелограмма), MN = PQ = 2MH = 6 см. (по свойству в прямоугольном треугольнике против угла 30 ° лежит катет равный половине гипотенузы.) Ответ: 1 2 0° 60° , 6 см, 8 см H
Задача 7 Из точки C параллелограмма ABCD опустили перпендикуляр на продолжение стороны AD за точку D. Этот перпендикуляр пересёк прямую AD в точке E, причём CE = DE. Найдите ∠B параллелограмма ABCD. Ответ дайте в градусах. Решение. Т.к. ∠ ADC и ∠ CDE смежные, то ∠ ADC + ∠ CDE = 180 ° . Рассмотрим треугольник CDE , равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда ∠EDC = ∠DCE. Так как ∠DEC = 90 ° , а сумма углов треугольника равна 180 ° , то ∠EDC = 45 ° , тогда ∠ADC = 180 ° − 45 ° = 135 ° . Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то ∠B = ∠ADC = 135 ° . Ответ: 135 °
Задача 8 Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Доказать, что периметр полученного четырёхугольника равен сумме боковых сторон треугольника. Дано: ABC – равнобедренный треугольник ( AB = BC ); MK II AB; ML II BC; M ∈ AC. Доказать: P(BKML) = AB + BC Доказательство. BKML – параллелограмм. Докажем, что треугольники ∆ ALM и ∆ MKC – равнобедренные. Действительно: ∠ KMC = ∠ A - как соответственные, при параллельных прямых AB и MK , и секущей AC ; ∠ LMA = ∠ C – как соответственные, при параллельных прямых LM и BC , и секущей AC . С другой стороны, ∠ A = ∠ C (свойство равнобедренного треугольника). Значит, ∠ KMC = ∠ A = ∠ LMA = ∠ C и треугольники ∆ ALM и ∆ MKB – равнобедренные. Тогда, P(BKML) = BK + KM + ML + LB , так как KM = KC , LA = ML (боковые стороны равнобедренного треугольника), то P(BKML) = BK + KC + BL + LA , так как BC = BK + KC , AB = BL + LA , значит P(BKML) = BC + AB , что и требовалось доказать.
Задача 9 Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, Докажите, что четырехугольник MNPQ, вершинами которого являются середины отрезков OA, OB, OC и OD, — параллелограмм. Диагонали четырехугольника MNPQ так же пересекаются в точке О, которая будет серединой каждой их них. Действительно, так как вершины четырехугольника MNPQ по условию являются серединами отрезков ОА, ОС, ОВ и OD, то BN=ON=OQ=DQ и AM=OM=OP=CP. Следовательно, диагонали MP и NQ четырехугольника MNPQ в точке пересечения делятся пополам, значит, четырехугольник MNPQ – параллелограмм, что и требовалось доказать. Доказательство. По свойству диагоналей параллелограмма ABCD его диагонали AC и BD точкой пересечения делятся пополам, т.е. ОА=ОС и ОВ=OD.
Задача 10 Из вершин В и D параллелограмма АBCD, у которого АВ ≠ ВС и угол А — острый, проведены перпендикуляры BK и DM к прямой АС. Докажите, что четырехугольник BMDK — параллелограмм. Доказательство . Рассмотрим ΔАВС и ΔCDA. AC −общая, AB = CD и BC = AD ( как противоположные стороны параллелограмма. ) ⇒ ΔАВС = ΔCDA по III признаку равенства треугольников. Так как ВК и DM перпендикулярны одной и той же прямой АС, то ВК II DM. Кроме того, ВК и DM являются высотами, проведенными в равных треугольниках ΔАВС и ΔCDA из вершин равных углов ∠B и ∠D к одной и той же стороне АС, следовательно, ВК = DM. Имеем: две стороны ВК и DM четырехугольника BMDK параллельны и равны, значит, BMDK – параллелограмм, что и требовалось доказать.
Спасибо за внимание.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Сборник задач по прикладной математике (задачи физического содержания) 5 класс
Предлагаемый «Сборник задач по прикладной математике. (Физика)» содержит задачи и примеры по темам, которые предусмотрены в школьном курсе математики, применим как для учителя, так и для ученика....
Задачи-оценки и задачи на моделирование ситуации
Здесь представлено решение нескольких задач на моделирование и задач-оценок повышенного уровня сложности, которые рассматриваются, как правило, в конце изучаемого раздела....
Организация процесса учения учащихся при решении задач. Логико-психологические этапы решения задач
Этот материал будет интересен молодым специалистам...
«Методические рекомендации обучения учащихся решению задач с кратким ответом. Текстовые задачи»
«Методические рекомендацииобучения учащихся решению задач с кратким ответом.Текстовые задачи»...
Проектная работа Методика подготовки учащихся к решению задач по темам «Задачи на движение» и «Задачи на смеси и сплавы», включенных в ЕГЭ по математике.
Доминирующей идеей федерального компонента государственного образовательного стандарта по математике является интенсивное развитие логического мышления, пространственного воображения, алг...
«Составление физических задач. Основные требования к составлению задач. Общие требования при решении физических задач»
Решение задач по физике – необходимый элемент учебной работы. Задачи дают материал для упражнений, требующих применения физических закономерностей к явлениям, протекающим в тех или иных конкретн...
Предлагаю вашему вниманию образцы карточек к зачету по геометрии в 8 классе, а также набор задач к зачету. Учитель может по своему усмотрению либо добавить в карточки задачи, либо заменить уже имеющиеся задачи на другие.
ЗачётГлавная задача зачётов – развитие самостоятельной деятельности учащихся в усвоении ими курса математики. Другими задачами зачёта являются:формирование умений учиться;выявление пробелов в зн...