Площадь сферы
план-конспект урока по геометрии (11 класс)

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение гимназия № 192 Калининского района Санкт-Петербурга «Брюсовская гимназия»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА УРОКА ГЕОМЕТРИИ В 11 КЛАССЕ

по теме «Площадь сферы»

Цели урока:

• Дидактические:

- познакомить учащихся с формулой площади сферы;

- научить решать задачи по данной теме;

- провести диагностику уровня знаний и умений базового уровня;

• Развивающие:

- развивать логическое мышление, память;

- развивать познавательный интерес;

- формировать пространственное воображение;

• Воспитательные:

- прививать трудолюбие, интерес, ответственность;

- формировать самостоятельность.

Оборудование: компьютер, проектор, доска

Ход урока:

I Организационный момент

Добрый день, давайте поприветствуем наших гостей на сегодняшнем уроке. Присаживайтесь. Мы с Вами изучаем тему «Сфера и шар», мы уже познакомились с этими фигурами, узнали способы их получения, их уравнение в пространстве, а сегодня мы узнаем с помощью какой формулы можно найти площадь сферы, площадь поверхности шара. Запишем тему урока «Площадь сферы» и сегодняшнее число 20.12.2019. В отличие от боковой поверхности цилиндра или конуса сферу нельзя развернуть на плоскость, и, следовательно, для неё не пригоден способ определения и вычисления площади поверхности с помощью развертки.

II Актуализация знаний учащихся

1. Проверка домашнего задания

Но для начала  мы проверим выполнение Вами домашней работы. 2 ученика к доске, оформляют решение задач 581, 587, а в это время оставшийся класс пишет математический диктант.

2. Математический диктант

Вариант 1

1. Как называется множество точек пространства, находящихся на заданном

расстоянии от данной точки.

2. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением

(х-2)2+(y+3)2+z2=25.

3. Напишите уравнение сферы радиуса R=7 с центром в точке A (2;0;-1).
4. Напишите уравнение шара радиуса R=3  с центром в точке B (3;1;7).
5. Точки A и B принадлежат сфере. Принадлежит ли сфере середина отрезка AB?
6. Напишите формулу площади круга.
7. Найдите координаты центра и радиус сферы x2-6x+y2+z2=0.

Вариант 2

1. Как называется множество точек пространства, находящихся на заданном

расстоянии от данной точки.

2. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением

(х+3)2+y2+(z-1)2=16.

3. Напишите уравнение сферы радиуса R=4 с центром в точке A (-2;1;0).
4. Напишите уравнение шара радиуса R=5  с центром в точке B (0;-1;6).
5. Точки A и B принадлежат шару. Принадлежит ли шару середина отрезка AB?
6. Напишите формулу длины окружности.
7. Найдите координаты центра и радиус сферы x2+y2+6y+z2=0.

Выполнив задания, учащиеся обмениваются листиками и проводят взаимопроверку. Сначала второй вариант проверяет первый, потом первый проверяет второй.

Ответы: 

Вариант 1. 

1. Сфера

2. О (2;-3;0), R=5.

3. (х-2)2+y2+(z+1)2=49.

4. (х-3)2+(y-1)2+(z-7)2 ≤ 9.

5. Нет.

6. S = πR2.

7. О (3;0;0), R=3.

Вариант 2. 

1.Сфера

2. О (-3;0;1), R=4.

3. (х+2)2+(y-1)2+z2=16.

4. х2+(y+1)2+(z-6)2 ≤ 25.

5. Да.

6. c = 2πR.

7. О (0;-3;0), R=3.

Проверка задач на доске.

3. Повторение (устный опрос)

- Что называется сферой (поверхность, состоящая из множества точек, равноудаленных от центра).

- Что называется центром сферы?

- Что называется радиусом сферы?

- Как может быть получена сфера?

- Уравнение сферы ((x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2)

- Что называется шаром (часть пространства, ограниченная сферой).

- Как может быть получен шар?

- Применение сферы и шара в жизни.

(Шар является самым распространенным правильным геометрическим телом. Шары окружают нашу жизнь: миллионы миллионов шаров неустанно крутятся в шарикоподшипниках, светильники в виде шаров освещают улицы и интерьеры, в аэропортах возвышаются громадные шары, в которых спрятаны радары. А сколько названий видов спорта заканчивается на «ball»! Спорт немыслим без шаров - почти все спортивные мячи имеют форму идеального шара. Шары кидают, бросают, толкают, бьют руками, ногами, головой, клюшкой, ракеткой, битой.
Но шары не только труженики, шары - это праздник! Девушки надевают украшения, бусы, то есть шарики, выполненные из камня, стекла, металла или дерева. Праздничное шествие на улицах немыслимо без надувных шариков, а если праздник мирового масштаба, то тысячи шариков отпускают в небо. На воздушных шарах люди летают над землей. А мыльные пузыри! С чем может сравниться красота переливающихся красок медленно летящего шара, готового в любую минуту лопнуть… Ну, и наконец, новогодняя елка. Чем создается праздничное настроение? Елочными игрушками, зеркальными шариками, которые придают всему окружающему необычный яркий блеск.
Но шары не только радуют глаз, их идеальная форма вызывает приятные тактильные ощущения. Перебирая пальцами четки, то есть шарики, человек успокаивается. Шары - элементы психотерапии. Даже лекарствам и конфетам придается форма шариков (драже).
Да, - скажет признательный читатель, - при таких заслугах шару требуется поставить памятник. Так он уже есть! Стоит, и не где-нибудь, а в Москве, перед ВДНХ - память о шаре, запущенном в 1957 году в космос. И скульптур, изображающих шар, очень много. Кстати, там, где скульптура сторожевого льва, рядом шар! Аналогия очевидна:  лев - царь зверей, а шар - царь объектов!

-Светильники

-Всевозможные мячи для спорта

- Бусинки

-Воздушные шары

-Новогодние шары

-Драже

-Четки (шары – элемент психотерапии)

- в скульптуре

- в архитектуре)

- Применение сферы и шара в машиностроении.

(Подшипник - изделие, являющееся частью опоры или упора, которое поддерживает вал, ось или иную подвижную конструкцию с заданной жёсткостью. Шарнир - вращательная кинематическая пара, то есть подвижное соединение двух частей, которое обеспечивает им вращательное движение.

Шаровая опора служит для поворота колеса автомобиля.
Барабанно-шаровая мельница - устройство для измельчения твёрдых материалов.  Применяется в основном для создания порошка для использования в красках, пиротехнических средствах, и в керамике.)

- Каменные шары в Коста-Рике.

(Очередной загадкой, которая, в ряду подобных, вновь оказалась совершенно неразрешимой для современных приверженцев академической науки, стала загадка каменных шаров Коста-Рики. В конце 30-х годов прошлого столетия в одной из местных газет появилось сообщение о неожиданной находке в джунглях Коста-Рики, этой небольшой центрально-американской республики. Оказывается, прорубая просеку, рабочие фруктовой компании наткнулись на россыпь, откуда ни взявшихся каменных шаров. В их числе были и громаднейшие, достигавшие 3-х м в диаметре и почти 16 т в весе, а были и совсем маленькие, имевшие в поперечнике не более 10 см. Каменные шары найдены не только в Коста-Рике. Но качество шаров Коста-Рики вызывает восхищение: некоторые имеют настолько абсолютно правильную форму и гладкую поверхность, что невольно возникает вопрос: как же их делали? И каково их предназначение?
В Национальном музее Коста-Рики имеется каталог, в который входит порядка 130 сохранившихся до сих пор сферических камней. Самые первые исследования показали, что шары располагались, как правило, группами от трёх до сорока пяти штук.
Учёные до сих пор ведут ожесточённые споры о шарах, существует множество версий их появления, но ни одна из них пока не является подтверждённой. Но, есть и 2 основные версии – естественного и искусственного происхождения.)

- Взаимные расположения плоскости и сферы (нет общих точек, пересекаются по окружности, касаются (имеют одну общую точку))

- Определение касательной плоскости к сфере (плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку).

- Могут ли две сферы с общим центром и с неравными радиусами иметь общую касательную плоскость (нет).

- Какое количество касательных плоскостей существует у сферы? (много)

III Изучение нового материала

- Представьте сферу и многогранник, такой, что каждая его грань является частью касательной плоскости. (Представили). Давайте попробуем подобрать название для такого многогранника, опираясь на имеющийся опыт и знания курса геометрии?!

Пишем. Определение: Многогранник называется описанным около сферы (шара), если сфера касается всех его граней (Сфера касается грани многогранника, если плоскость грани является касательной к сфере и точка касания принадлежит грани). Сфера будет вписанной в этот многогранник.

- Представьте сферу и описанный около сферы тетраэдр. Попробуем сравнить площадь поверхности тетраэдра  и сферы. (Площадь сферы меньше).

- Представьте сферу и описанный около сферы куб. Попробуем сравнить площадь поверхности куба и сферы. (Площадь сферы меньше).

И т.д.

- Представьте последовательность описанных около данной сферы многогранников, в которой число граней неограниченно возрастает и при этом наибольший размер каждой грани многогранника стремится к нулю, или другими словами, представьте сферу и описанный около сферы n-гранник. Попробуем сравнить площадь поверхности и сферы. (Площадь сферы меньше).

Но чем больше n, тем площадь n-гранника  приближается к площади сферы.

Определение: Площадью сферы будем называть предел последовательности площадей поверхностей, описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани (наибольший размер грани – наибольшее расстояние между двумя точками грани. Например, если грань – прямоугольник, то её наибольший размер равен длине диагонали).

S = 4πR2

IV Закрепление изученного материала

№ 593

а) S = 4πR2= 4π62=144 π (см2)

в) S = 4πR2= 4π2=8 π (м2)

№ 594

Sсеч = πR2 = 9,

Sсф = 4πR2 = 4π  (м2)

№ 596

S1= 4πR12, S2= 4πR22 ,

  ;   пропорциональны.

Практический смысл: Во сколько раз изменится площадь поверхности сферы, если радиус увеличить в n раз?

№ 597

Sсф = 4πR2 = 4π52=100 π

Sкр = 100 π

Sкр = πR2

πR2 =100 π

R =10 (м)

Задачи из ЕГЭ (часть В, В9)

Радиусы двух шаров равны 6 и 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей данных шаров.

Ответ: 10

Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если его радиус увеличить в два раза?

Ответ: 4

Задача из ЕГЭ (часть С, С4)

Три попарно касающихся шара радиуса R=6, лежат на одной плоскости. Найдите радиус шара, касающегося данных и той же плоскости.

Решение: Пусть A, B и C – точки касания шаров радиуса R=6 с указанной плоскостью, а D – точка касания с этой плоскость шара искомого радиуса r. Рассмотрим ортогональную проекцию шаров на указанную плоскость. Получим три попарно касающиеся окружности с центрами A, B и C радиусов R=6 и окружность с центром D радиуса r , причём D – центр равностороннего треугольника ABC . Поэтому

AD =  

С другой стороны, так как AD – общая касательная касающихся шаров радиусов 6 и r , то AD = 2 . Из уравнения 2  =   находим, что r =  . Таким образом, r =2

Ответ: 2

№ 598

V Самостоятельная работа (обучающего характера)

1. Найдите соответствие формул

2. Как изменится поверхность шара, если его радиус увеличить в 3 раза?

3. Сечение шара площадью S=16 π см2 находится на расстоянии 3 см от центра шара. Найти площадь его поверхности.

Ответы:

1) 1г 2д 3е 4б 5а 6в

2) Увеличится в 9 раз

3) Дано: шар с центром в точке О, Sсеч=16 π см2, расстояние от точки О до сечения 3 см.

Найти: Sсеч

Решение: Sсеч = πR2=16 π, значит,  = 4 (см). Рассмотрим Δ ОАВ  ОА=d – расстояние, значит, <А=900. ОВ=R= (cм). Sсф = 4πR2= 4π 52=100 π см2

Ответ: 100 π см2

VI Подведение итогов

Вспомним, по какой формуле вычисляется площадь сферы (S = 4πR2).

V Домашнее задание

П.60-62, 593 (б,г), 595.