ГЕОМЕТРИЯ:теория и практика. учебное пособие для учащихся 7 класса
методическая разработка по геометрии (7 класс)

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

дополнительного профессионального образования

«Научно-методический центр»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 7»

Геометрия:

 теория и практика

Учебное пособие для учащихся 7 классов

Кемерово 2020

Автор-составитель:

Е. Г. Бачурина, учитель математики МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 7»

Под общей редакцией:

Рецензент:

Н. В. Тропина,

Геометрия: теория и практика [Текст] : учебное пособие для учащихся 7 классов / автор-составитель: Е. Г. Бачурина – Кемерово: изд-во МБОУ ДПО «Научно-методический центр», 2020. – 40 с.

Пособие к учебнику Л.С. Атанасян и др. «Геометрия 7-9» (М., Просвещение). Материал составлен по методике российского тестолога, доктора педагогических наук, профессора В. С. Аванесова. Пособие предназначено для учащихся 7 классов, может быть использовано для подготовки к ОГЭ.

В данном пособии предложен весь теоретический материал по темам: «Начальные геометрические сведения»,  «Треугольники»,  «Параллельные прямые» и «Соотношения между сторонами и углами треугольника».          Теория представлена в виде квантованного текста, что помогает быстро и точно найти, изучить и систематизировать информацию. Для проверки знаний и умений предлагаются задания в тестовой форме, составленные в двух вариантах. Предлагаемые задания удовлетворяют требованиям планируемых результатов обучения.

Содержание

Введение

Дорогой друг!

        Вот и пришло время заняться одной из самых древних наук - Геометрией!

Ты  уже знаешь, что в переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие». Эта наука возникла на основе практической деятельности людей: строительства дорог, мостов, различных зданий и сооружений. И чем точнее были измерения, тем крепче, надежнее и красивее получались  построенные объекты. Люди собирали, накапливали веками свой опыт, подмечали закономерности и передавали их из поколения в поколение.

        И в наше время, время высоких технологий, очень нужны квалифицированные инженеры, конструкторы, архитекторы и т.д. Но чтобы стать востребованным специалистом нужно многому научиться. Вот мы этим и займемся.

        Во-первых, чтобы начать решать задачи и доказывать теоремы, нужно сформировать хороший понятийный багаж. В этом тебе поможет квантованный текст. В отличие от учебника все правила здесь собраны в одном месте, а подзаголовки помогут тебе быстро отыскать нужное определение, свойство, теорему. Конечно, придется потрудиться и многое выучить! При начальном знакомстве с геометрией очень важную роль играют обозначения, если сразу в них разобраться, то потом можно с легкостью «читать» чертежи и по ним находить нужную информацию, которая не всегда указана в условии задачи.

        Во-вторых, теорию всегда надо проверять на практике, для этого  прилагаются задания в тестовой форме. Но будь осторожен! Правильными могут оказаться один, два или несколько ответов сразу. Поэтому, чтобы дать правильные ответы, нужно внимательно обдумывать вопросы!

        Ты уже семиклассник! Пройдена бóльшая часть школьного пути. Скоро наступит момент, когда ты должен будешь подтвердить свои знания и умения на основном государственном экзамене! Я желаю тебе хорошо подготовиться и показать свои лучшие результаты.  И помни: дорогу осилит идущий!

Твой учитель.

1. НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

1.1 Квантованный текст

Обозначение точек и прямых

Точки обозначаются только большими латинскими буквами, например: A, B, C, D и т.д.

Прямая бесконечна, на чертеже можно изобразить только часть прямой.

Прямые обозначаются одной малой или двумя большими латинскими  буквами, например: a или AB или BA.

Знак «принадлежит»

Точка лежит на прямой или точка принадлежит прямой (обозначение: O  a).

Точка не лежит на прямой или точка не принадлежит прямой (обозначение: C  b).

Аксиома

Аксиома – утверждение не требующее доказательства.

Аксиомы точек и прямых

Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

Две прямые либо имеют только одну общую точку (прямые a и b пересекаются), либо не имеют общих точек (прямые не пересекаются).

Перпендикулярные прямые

Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла.

Обозначение перпендикулярности прямых

┴ - знак перпендикулярности.

Запись AB ┴ BC, читается: «Прямая AB перпендикулярна к прямой BC».

Проведение прямых на местности

Приём для «проведения» длинных отрезков прямых на местности называется провешиванием прямой. Он широко используется на практике, например, при рубке лесных просек, при прокладывании трассы шоссейных или железных дорог, линий высоковольтных передач и т.д.

Отрезок

Часть прямой, ограниченная двумя точками, называется отрезком.

Концы отрезка

Точки, ограничивающие отрезок, называются его концами.

Обозначение отрезка

Отрезок обозначают двумя большими латинскими буквами, например: OD или DO, где точки O и D – концы отрезка.

Допустимо обозначать отрезок одной малой латинской буквой, например: a, b, c, d и т.д.

Равенство геометрических фигур

Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

Сравнение отрезков

Если при наложении концы одного отрезка совместились с концами другого отрезка, то такие отрезки равны.

Если конец одного отрезка совместится с концом другого отрезка, а два других конца не совместятся, то меньшим считается тот отрезок, который составляет часть другого.

Измерение отрезка

Измерить отрезок - значит найти его длину. Об единице измерения или масштабном отрезке договариваются. Единичным отрезком может быть:  клетка тетради, мм, см, м, км и т.д.

Середина отрезка

Точка отрезка, делящая его пополам, т.е. на два равных отрезка, называется серединой отрезка.

Например: точка O лежит на отрезке AB и выполняется AO = OB, тогда точка O – середина отрезка AB.

Луч. Начало луча

Отметим на прямой точку. Данная точка разделяет прямую на две части, каждая из которых называется лучом, исходящим из данной точки.

Данная точка называется началом луча.

Обозначение луча

Луч обозначается одной малой латинской буквой, например: a; двумя большими латинскими буквами, например: OA. Внимание: первая буква - это начало луча, а вторая – любая точка на луче.

Угол

Угол – это геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей,  исходящих из этой точки.

Элементы луча

Исходящие лучи называются сторонами угла. Точка, их общее начало, называется вершиной угла.

Обозначение углов

Слово «угол» заменяют знаком ∠.

Угол обозначается двумя малыми латинскими буквами: ∠ ab, или одной большой латинской буквой: ∠O (это точка - вершина угла), или тремя большими латинскими буквами: ∠AOD (вершина угла обязательно посередине).  

Внешняя и внутренняя области угла

Неразвёрнутый угол имеет внутреннюю и внешнюю области.

Фигуру, состоящую из угла и его внутренней области, также называют углом.

Развернутый угол

Развёрнутый угол – угол, обе стороны которого лежат на одной прямой. Говорят, что одна сторона является продолжением другой.

Сравнение углов

Наложим два угла так, чтобы сторона одного угла совместилась со стороной другого, а две другие оказались по одну сторону от совместившихся сторон. Если две другие стороны также совместятся, углы полностью совместятся, значит, углы равны. Если же эти стороны не совместятся, то меньшим считается тот угол, который составляет часть другого угла (сторона меньшего лежит внутри большего угла).

Неразвернутый угол всегда составляет часть развернутого угла. Поэтому развернутый угол всегда больше неразвернутого.

Биссектриса угла

Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла.

Измерение углов. Градусная мера

Измеряют углы транспортиром. Единица измерения - градус. Градус – угол, равный 1/180 части развернутого угла. В одном градусе – 60 минут, в одной минуте – 60 секунд. Тогда ∠А равный 62 градуса 48 минут 27 секунд, обозначают так: ∠А = 62⁰ 48’27”.

Развернутый угол равен 180⁰. Неразвернутый угол меньше 180⁰.

Равные углы. Сумма углов

Равные углы имеют равные градусные меры.

Когда луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.

Прямой, острый и тупой углы

Угол называется прямым, если он равен 90⁰, угол называется острым, если он меньше 90⁰, угол называется тупым, если он больше 90⁰, но меньше 180⁰.

Смежные углы

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называют смежными.

Сумма смежных углов равна 180⁰.

Вертикальные углы

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжением сторон другого.

Вертикальные углы равны.

1.2 Задания в тестовой форме

Вариант 1

Вашему вниманию предлагаются задания, в которых могут быть один, два, три и большее    число правильных  ответов.

Дополнить:

1. ЧАСТЬ ПРЯМОЙ, ОГРАНИЧЕННАЯ ДВУМЯ ТОЧКАМИ, НАЗЫВАЕТСЯ  _____________________________________________

2.  _____________  – ЭТО ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФИГУРА, СОСТОЯЩАЯ ИЗ ТОЧКИ И ДВУХ ЛУЧЕЙ,  ИСХОДЯЩИХ ИЗ ЭТОЙ ТОЧКИ

3. ТОЧКА ОТРЕЗКА, ДЕЛЯЩАЯ ЕГО ПОПОЛАМ, Т.Е. НА ДВА РАВНЫХ ОТРЕЗКА, НАЗЫВАЕТСЯ ___________________________  ОТРЕЗКА

4. ДВА УГЛА, У КОТОРЫХ ОДНА СТОРОНА ОБЩАЯ, А ДВЕ ДРУГИЕ ЯВЛЯЮТСЯ ПРОДОЛЖЕНИЯМИ ОДНА ДРУГОЙ, НАЗЫВАЮТ __________

5. ПРЯМАЯ ОБОЗНАЧАЕТСЯ

1) одной малой                4) одной большой

2) двумя малыми                5) двумя большими        

3) тремя малыми           6) тремя большими

                                        БУКВОЙ (АМИ)

                                                1) русского алфавита

                                                2) латинского алфавита

6. ЧИСЛО ПРЯМЫХ, КОТОРЫЕ МОЖНО ПРОВЕСТИ ЧЕРЕЗ ОДНУ ТОЧКУ

1) одна                         3) три

2)  две                          4) бесконечно много

7. НА РИСУНКЕ ЕСТЬ ПРЯМАЯ

1) a                                5) AO                

2) b                                6) OB

3) BC                                7) BА

4) OD                        8) AOВ

8. НА РИСУНКЕ ЕСТЬ УГОЛ

1) ab                                5) B                  

2) OAD                        6) O

3) DOB                        7) АOB

4) AOD                        8) OВС

9. ВЕРНО ЛИ, ЧТО:

1)  D  a                        3) O   b

2)  O  a                        4) F   b

10. НА РИСУНКЕ ОТРЕЗОК AF РАЗБИТ НА ЕДИНИЧНЫЕ ОТРЕЗКИ, ТОГДА ВЕРНО

                1) AB = CD = DE                3) AD = BE

                2) AC = BD = CE                 4) BD = CF

11. НА РИСУНКЕ ОТРЕЗОК AF РАЗБИТ

НА ЕДИНИЧНЫЕ ОТРЕЗКИ, ТОГДА ВЕРНО

                1) AC < BE                        3) AD > CF

                2) CD < DF                 4) CE > BC

12. ПРЯМЫЕ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ЕСЛИ

1) не имеют общих точек

2) имеют одну общую точку

3) имеют две и более общих точек

13. ПРИЁМ  ПРОВЕДЕНИЯ  ПРЯМЫХ  НА  МЕСТНОСТИ

1) черчение                        3) провешивание

2) продление                4) перевешивание

14. УГОЛ – ЭТО

1) геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, которые исходят из этой точки

2) фигура, состоящая из угла и его внутренней области

 15. ВНУТРИ   ∠ ABC  ЛЕЖИТ ТОЧКА

1) А                                  3) O

2) E                                  4) C

16. ПЕРВАЯ БОЛЬШАЯ ЛАТИНСКАЯ БУКВА ОБОЗНАЧАЕТ

1) начало луча

2) любую букву на луче

17. ПРОДОЛЖЕНИЕМ ЛУЧА OB ЯВЛЯЕТСЯ ЛУЧ

1) OA                              3) OD

2) AO                              4) BO

18. УГОЛ, ОБЕ СТОРОНЫ КОТОРОГО ЛЕЖАТ НА ОДНОЙ ПРЯМОЙ, НАЗЫВАЕТСЯ

1) развёрнутый

2) неразвёрнутый

19. ГРАДУСНАЯ МЕРА ОСТРОГО УГЛА

                1) равна 90⁰

                2) больше 90⁰

                3) меньше 90⁰

20. НА РИСУНКЕ ЕСТЬ БИССЕКТРИСА

                1) a                                3) c                        

                2) b                                4) d

21. ПРИ ПЕРЕСЕЧЕНИИ ДВУХ ПРЯМЫХ ОБРАЗУЕТСЯ

1)  два                                   3) шесть

2)  четыре                        4) восемь

                                                   УГЛА (ОВ)

1. тупых
2. острых
3. прямых
4. неразвернутых

22. ЕДИНИЦЕЙ ИЗМЕРЕНИЯ ОТРЕЗКА МОЖНО НАЗВАТЬ

                1) метр                        4) градус

                2) минута                        5) сантиметр

                3) секунда                        6) клетка тетради

23. НА РИСУНКЕ ЕСТЬ ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ

                1) ∠1 и ∠2                        4) ∠1 и ∠4

                2) ∠2 и ∠3                        5) ∠1 и ∠3

                3) ∠2 и ∠4                        6) ∠3 и ∠4

24. НА РИСУНКЕ ЕСЛИ ∠1 = 73⁰, ТО  ∠2 РАВЕН

                1) 73⁰        2) 107⁰         3) 117⁰

ПОТОМУ ЧТО ∠1 И ∠2

1) смежные

2) вертикальные

 ЗНАЧИТ

1. они равны
2. их сумма равна 180⁰

1.3 Задания в тестовой форме

Вариант 2

Вашему вниманию предлагаются задания, в которых могут быть один, два, три и большее    число правильных  ответов.

Дополнить:

1. ТОЧКИ, ОГРАНИЧИВАЮЩИЕ ОТРЕЗОК, НАЗЫВАЮТСЯ   ____________________________  ОТРЕЗКА

2. УГОЛ, ОБЕ СТОРОНЫ КОТОРОГО ЛЕЖАТ НА ОДНОЙ ПРЯМОЙ НАЗЫВАЕТСЯ ________________________

3. ЛУЧ, ИСХОДЯЩИЙ ИЗ ВЕРШИНЫ УГЛА И ДЕЛЯЩИЙ ЕГО НА ДВА РАВНЫХ УГЛА, НАЗЫВАЕТСЯ  _____________________ УГЛА

4. ДВА УГЛА НАЗЫВАЮТСЯ ________________________, ЕСЛИ СТОРОНЫ ОДНОГО УГЛА ЯВЛЯЮТСЯ ПРОДОЛЖЕНИЕМ СТОРОН ДРУГОГО

5. УГОЛ ОБОЗНАЧАЕТСЯ

1) одной малой                4) одной большой

2) двумя малыми                5) двумя большими        

3) тремя малыми                6) тремя большими

БУКВОЙ (АМИ)

                                                1) русского алфавита

                                                2) латинского алфавита

6. ЧИСЛО ПРЯМЫХ, КОТОРЫЕ МОЖНО ПРОВЕСТИ ЧЕРЕЗ ЛЮБЫЕ ДВЕ ТОЧКИ         

1) одна                         3) три

2)  две                          4) бесконечно много

7. НА РИСУНКЕ ЕСТЬ ОТРЕЗОК

1) a                                5) OD                

2) AO                        6) BC

3) OB                                7) EF

4) AB                                8) AOB

8. НА РИСУНКЕ ЕСТЬ ЛУЧ

1) a                                5) BC                  

2) b                                6) OD

3) OA                        7) DO

4) OB                                8) AB

9. ВЕРНО ЛИ, ЧТО:

1)  D  b                        3) O   a

2)  O  b                        4) F   a

10. НА РИСУНКЕ ОТРЕЗОК AF РАЗБИТ НА ЕДИНИЧНЫЕ ОТРЕЗКИ, ТОГДА ВЕРНО

                1) AB = BC = EF                3) AD = DF

                2) AD = BE = CF                 4) BF = AE

11. НА РИСУНКЕ ОТРЕЗОК AF РАЗБИТ

НА ЕДИНИЧНЫЕ ОТРЕЗКИ, ТОГДА ВЕРНО

                1) AB < CE                        3) BE > CE

                2) BC < DF                         4) CE > AD

12. ПРЯМЫЕ НЕ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ЕСЛИ

1) не имеют общих точек

2) имеют одну общую точку

3) имеют две и более общих точек

13. НА ПРАКТИКЕ ПРИ ПРОКЛАДЫВАНИИ ЛИНИЙ ВЫСОКОВОЛЬТНЫХ ПЕРЕДАЧ ШИРОКО ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ПРИЁМ

1) черчение                        3) провешивание

2) продление                4) перевешивание

14. НА СТОРОНАХ   ∠ ABC  ЛЕЖИТ ТОЧКА

1) А                                  3) O

                   2) E                                  4) C

15. ПРОДОЛЖЕНИЕМ ЛУЧА OA ЯВЛЯЕТСЯ ЛУЧ

1) OB                              3) OD

2) AO                              4) BO

16. УГОЛ – ЭТО

1) геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, которые исходят из этой точки

2) фигура, состоящая из угла и его внешней области

17. УГОЛ, ОБЕ СТОРОНЫ КОТОРОГО НЕ ЛЕЖАТ НА ОДНОЙ ПРЯМОЙ, НАЗЫВАЕТСЯ

1) развёрнутый

2) неразвёрнутый

18. ГРАДУСНАЯ МЕРА ТУПОГО УГЛА

                1) равна 90⁰

                2) больше 90⁰

                3) меньше 90⁰

19.  ВТОРАЯ БОЛЬШАЯ ЛАТИНСКАЯ БУКВА ОБОЗНАЧАЕТ

1) начало луча

2) любую точку на луче

20. НА РИСУНКЕ ЕСТЬ РАВНЫЕ УГЛЫ

                1) ∠ab = ∠bc                3) ∠cd = ∠de

                2) ∠bc = ∠cd                4) ∠ac = ∠cd

21. ПРИ ПЕРЕСЕЧЕНИИ ДВУХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМЫХ ОБРАЗУЕТСЯ

1)  два                              3) шесть

2)  четыре                        4) восемь

                                             УГЛА (ОВ)

1. тупых
2. острых
3. прямых
4. неразвернутых

22. ЕДИНИЦЕЙ ИЗМЕРЕНИЯ УГЛА МОЖНО НАЗВАТЬ

                1) метр                        4) градус

                2) минута                        5) сантиметр

3) секунда                        6) клетка тетради

23. НА РИСУНКЕ ЕСТЬ СМЕЖНЫЕ УГЛЫ

                1) ∠1 и ∠2                        4) ∠1 и ∠4

                2) ∠2 и ∠3                        5) ∠1 и ∠3

                3) ∠2 и ∠4                        6) ∠3 и ∠4

24. НА РИСУНКЕ ЕСЛИ ∠1 = 67⁰, ТО  ∠3 РАВЕН

                1) 67⁰        2) 113⁰         3) 123⁰

ПОТОМУ ЧТО ∠1 И ∠3

1) смежные

2) вертикальные

 ЗНАЧИТ

3. они равны
4. их сумма равна 180⁰

2. ТРЕУГОЛЬНИКИ

2.1 Квантованный текст

Определение треугольника

Треугольник - это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки.

Точки - вершины треугольника, отрезки - стороны треугольника.

Элементы треугольника

Углы:  ∠А, ∠В, ∠С и  стороны: АВ, ВС, АС. ∠А лежит против стороны ВС, ∠В и ∠С - углы, прилежащие к стороне ВС.

Обозначение

 ABC (читается: «треугольник ABC»).

Периметр треугольника

Сумма длин сторон треугольника называется его периметром.

Равные треугольники

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением.

Если два треугольника равны, то элементы одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.

В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Перпендикуляр

Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой a, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н - основание перпендикуляра.

Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.

Любой треугольник имеет три высоты, три медианы и три биссектрисы.

В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке, биссектрисы пересекаются в одной точке; высоты или их продолжения пересекаются в одной точке.

Равносторонний треугольник

Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним.

Равнобедренный треугольник и его свойства

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона - основание.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника, проведенные к основанию, совпадают.

Теорема

Утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений, называется теоремой, а рассуждения называются доказательством теоремы.

Теорема состоит из условия и заключения.

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам):

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников (по трем сторонам):

Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Окружность

Окружность - это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Данная точка - центр окружности.

 Радиус окружности - это отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности.

Хорда - это отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметр - это хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр окружности в два раза больше радиуса этой окружности.

Дуга - это часть окружности, ограниченная любыми двумя точками окружности.

2.2 Задания в тестовой форме

Вариант 1

Вашему вниманию предлагаются задания, в которых могут быть один, два, три и большее    число правильных  ответов.

1. ВЕРНЫЙ ОТВЕТ (ВЕРНЫЕ ОТВЕТЫ)

        1) Если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

        2) Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

        3) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2. ТРЕУГОЛЬНИК - ЭТО ФИГУРА, СОСТОЯЩАЯ ИЗ

        1) любых трех точек и трех отрезков

        2) трех точек, не лежащих на одной прямой и трех отрезков

        3) трех точек, не лежащих на одной прямой и трех отрезков, соединяющих эти точки

3. ТЕОРЕМА - ЭТО

        1) утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений

        2) предложение, в котором разъясняется смысл того или иного выражения или названия

4.  В  ТРЕУГОЛЬНИКЕ АВС УГЛЫ, ЛЕЖАЩИЕ ПРОТИВ СТОРОН АВ, АС, ВС, ЭТО СООТВЕТСТВЕННО

1)  ∠A, ∠В, ∠С

2)  ∠В, ∠А, ∠С        

3)  ∠С, ∠В, ∠А              

5. В ТРЕУГОЛЬНИКЕ АВС ∠А И ∠B, ∠A И ∠C, ∠B И ∠C ПРИЛЕЖАТ СООТВЕТСТВЕННО К СТОРОНАМ

                                1) АВ, BC, AC

                                2) АС, AB, BC

                               3) AВ, AC, BC

6. В ТРЕУГОЛЬНИКЕ АВС ∠А = ∠В, ТОГДА ВЕРНО

                                1) ВС = АС

                               2) АС = АВ

                                3) АВ = ВС

7. НА РИСУНКЕ ЕСТЬ МЕДИАНА ТРЕУГОЛЬНИКА

                                1) ВК

                                2) АН

                                3) СМ

8. ПЕРИМЕТР РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ГДЕ БОКОВАЯ СТОРОНА РАВНА 12, А ОСНОВАНИЕ НА 2 БОЛЬШЕ, РАВЕН

                                1) 34                

                               2) 38                

                               3) 48                

9. ЕСЛИ ПЕРИМЕТР РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА РАВЕН 56 , А ОДНА СТОРОНА РАВНА  22, ТОГДА МОЖЕТ БЫТЬ СТОРОНА

                                1) 12                 4) 19

                                2) 17                 5) 20

                               3) 18                 6) 22

10. В РАВНОБЕДРЕННОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ВЫСОТА, ПРОВЕДЕННАЯ К ОСНОВАНИЮ, ЯВЛЯЕТСЯ

                                1) медианой и высотой

                                2) биссектрисой и медианой

                                3) высотой и биссектрисой

11. В ЛЮБОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ БИССЕКТРИСЫ

                                1) не пересекаются

                                2) пересекаются

12. В РАВНОБЕДРЕННОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ

                                1) все стороны равны

                                2) две стороны равны

                            3) две любые стороны равны

13. ТРЕУГОЛЬНИКИ РАВНЫ,  ЕСЛИ

           1) их можно совместить наложением

           2) против соответственно равных сторон лежат равные углы

           3) элементы одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника

14. ЕСЛИ ТРЕУГОЛЬНИК  АВС РАВЕН  

ТРЕУГОЛЬНИКУ НКМ, ТО

                        1) АВ = КН            4) ∠А = ∠Н

                        2) АB = KМ           5) ∠В = ∠H

                        3) КМ = CВ           6) ∠С = ∠М

 15.ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

                1) по трем углам        

                        2) по трем сторонам

                    3) по двум сторонам и углу между ними

                     4) по стороне и двум прилежащим к ней углам

16. ТРЕУГОЛЬНИКИ РАВНЫ ПО ВТОРОМУ ПРИЗНАКУ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

1)                                               4)

2)                                                     5)

3)                     6)

17.ОТРЕЗОК, СОЕДИНЯЮЩИЙ ЦЕНТР С КАКОЙ -ЛИБО ТОЧКОЙ ОКРУЖНОСТИ –ЭТО

1) дуга                           3) радиус
2) хорда                         4) диаметр

18. ДИАМЕТР ПО ОТНОШЕНИЮ К РАДИУСУ

1) равны                       3) меньше в 2 раза

2) больше на 2             4) больше в 2 раза  

19. НА РИСУНКЕ ЕСТЬ ХОРДА

1) КН                        4) ОА

2) АВ                        5) АС        

3) ОС                          6) ОВ

20. ЕСЛИ РАДИУС ОА РАВЕН ХОРДЕ АС, ТО ТРЕУГОЛЬНИК АОС

1) равнобедренный

2) равносторонний

3) тупоугольный

4) остроугольный

2.3 Задания в тестовой форме

Вариант 2

Вашему вниманию предлагаются задания, в которых могут быть один, два, три и большее    число правильных  ответов.

1. ВЕРНЫЙ ОТВЕТ (ВЕРНЫЕ ОТВЕТЫ)

        1) Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

        2) Если сторона и два угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

        3) В равнобедренном треугольнике биссектриса является медианой и высотой.

2. ТРЕУГОЛЬНИК - ЭТО ФИГУРА, СОСТОЯЩАЯ ИЗ

        1) любых трех точек и трех отрезков

        2) трех точек и трех отрезков, соединяющих эти точки

        3) трех точек, не лежащих на одной прямой и трех отрезков, соединяющих эти точки

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ - ЭТО

        1) утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений

        2) предложение, в котором разъясняется смысл того или иного выражения или названия

4.  В  ТРЕУГОЛЬНИКЕ АВС УГЛЫ, ПРИЛЕЖАЩИЕ К СТОРОНАМ АВ, АС, ВС, ЭТО СООТВЕТСТВЕННО

1)  ∠А и ∠B, ∠A и ∠C, ∠B и ∠C                

2)  ∠B и ∠A, ∠C и ∠B, ∠C и ∠A        

3)  ∠A и ∠C, ∠B и ∠A, ∠B и ∠C                    

5. В ТРЕУГОЛЬНИКЕ АВС СТОРОНЫ, ЛЕЖАЩИЕ ПРОТИВ ∠А, ∠ В, ∠ С СООТВЕТСТВЕНО

1) АВ, BC, AC

2) BС, AB, AC

3) ВС, AC, AB

6. ЕСЛИ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ АВС ∠B = ∠C, ТОГДА ВЕРНО

1) ВС = АС

2) АС = АВ

3) АВ = ВС

7. НА РИСУНКЕ БИССЕКТРИСА ТРЕУГОЛЬНИКА

1) ВК

2) АН

3) СМ

8. ПЕРИМЕТР РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ГДЕ БОКОВАЯ СТОРОНА РАВНА 17, А ОСНОВАНИЕ НА 2 МЕНЬШЕ РАВЕН

1) 37        

2) 47

3) 49  

9. ЕСЛИ ПЕРИМЕТР РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА РАВЕН 56 , А ОДНА СТОРОНА РАВНА 18, ТОГДА МОЖЕТ БЫТЬ СТОРОНА

1) 12                         4) 19

2) 17                         5) 20

3) 18                         6) 22

10. В РАВНОБЕДРЕННОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ МЕДИАНА, ПРОВЕДЕННАЯ К ОСНОВАНИЮ, ЯВЛЯЕТСЯ

1) медианой и высотой

2) биссектрисой и медианой

3) высотой и биссектрисой

11. В ЛЮБОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ВЫСОТЫ ИЛИ ИХ ПРОДОЛЖЕНИЯ

1) не пересекаются

2) пересекаются

12. В РАВНОСТОРОННЕМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ

1) все углы равны

2) все стороны равны

3) две любые стороны равны

13. ТРЕУГОЛЬНИКИ РАВНЫ,  ЕСЛИ

1) их можно совместить наложением

2) против соответственно равных углов лежат равные стороны

3) элементы одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника

14. ЕСЛИ ТРЕУГОЛЬНИК  АВС РАВЕН  

ТРЕУГОЛЬНИКУ  НКМ, ТО

1) CВ = КН            6) ∠А = ∠Н

2) СB = KМ           7) ∠A = ∠K

3) HМ = АC           8) ∠B = ∠K

15. ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

                        1) по стороне и двум углам

                        2) по двум сторонам и углу между ними

                        3) по стороне и двум прилежащим к ней углам

16. ТРЕУГОЛЬНИКИ РАВНЫ ПО ПЕРВОМУ ПРИЗНАКУ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

1)                                               4)

2)                                                     5)

3)                     6)

17. ОТРЕЗОК, СОЕДИНЯЮЩИЙ ДВЕ ТОЧКИ ОКРУЖНОСТИ – ЭТО

1) дуга                           3) радиус
2) хорда                         4) диаметр

18. РАДИУС ПО ОТНОШЕНИЮ К ДИАМЕТРУ

1) равны                               3) меньше в 2 раза

2) меньше на 2                    4) больше в 2 раза  

19. НА РИСУНКЕ ЕСТЬ РАДИУС

1) КН                                4) ОА

2) АВ                                5) АС        

3) ОС                                 6) ОВ

20. ЕСЛИ РАДИУС ОB РАВЕН ХОРДЕ BС, ТО ТРЕУГОЛЬНИК BОС

1) равнобедренный

2) равносторонний

3) тупоугольный

4) остроугольный

 3. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

3.1 Квантованный текст

Определение параллельности

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Два отрезка (луча) называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, луча и прямой, отрезка и луча.

Обозначение параллельности 

║ - знак параллельности.

Например: a║b, AB║CK, a║h и т.д.

Секущая

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b,    

если она пересекает их в двух точках.

Углы, образованные секущей

При  пересечении прямых a и b секущей с, образуются восемь углов:

накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;

односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;

соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.

Аксиома параллельных прямых

Аксиома - утверждение о свойствах геометрических фигур, которое не требует доказательства.

Аксиома: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следствия параллельных прямых

Следствие - утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы.

Следствия:

1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

3. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

Признаки параллельности двух прямых

1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Теорема, обратная данной

Теорема, обратная данной, - это теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением - условие данной теоремы.

Замечание: не для каждой теоремы можно сформулировать теорему, обратную ей.

Доказательство от противного

Способ рассуждений, при котором доказательство заключения теоремы осуществляется через опровержение отрицания, называется методом доказательства от противного.

Теоремы, об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

1. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

3. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.

Практические способы построения параллельных прямых

На практике для построения прямых на плоскости применяют чертежный угольник и линейку.

В чертежной практике пользуются рейсшиной.

При выполнении столярных работ используется малка.

3.2 Задания в тестовой форме

Вариант 1

Вашему вниманию предлагаются задания, в которых могут быть один, два, три и большее    число правильных  ответов.

1. ВЕРНЫЙ ОТВЕТ (ВЕРНЫЕ ОТВЕТЫ)

        1) Две прямые на плоскости называются параллельными, если они пересекаются.

        2) При пересечении секущей двух прямых образуется восемь углов.

        3) Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят две прямые, параллельные данной.

        4) Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

        5) Если две прямые параллельны третьей прямой, то они перпендикулярны.

        6) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то односторонние углы равны.

2.  НА РИСУНКЕ ЕСТЬ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМАЯ И ОТРЕЗОК

1) b и AB                4) CD и k        

2) b и CD                    5) a и CD

3) CD и h                6) a и AB        

3. НА РИСУНКЕ ЕСТЬ

         1) одна                   4) четыре

         2) две                     5) пять

         3) три                     6) шесть

ПАР(А, Ы) ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ  ЛУЧЕЙ

4. НА РИСУНКЕ ЕСТЬ СЕКУЩАЯ (СЕКУЩИЕ)

1) a                2) b                3) c

5. АКСИОМА - ЭТО

        1) утверждение, которое выводится из теоремы

        2) утверждение о свойствах геометрических фигур, которое не требует доказательства

6. НА РИСУНКЕ НАКРЕСТ ЛЕЖАЩИЕ УГЛЫ                      

                        1) 1 и 5           4) 3 и 8

                        2) 2 и 6           5) 2 и 8

                        3) 3 и 5           6) 3 и 7

7. ЕСЛИ ПРИ ПЕРЕСЕЧЕНИИ ДВУХ ПРЯМЫХ СЕКУЩЕЙ  СООТВЕТСТВЕННЫЕ УГЛЫ РАВНЫ, ТО ПРЯМЫЕ

                        1) параллельны

                        2) пересекаются                  

8. ЕСЛИ  ПРИ ПЕРЕСЕЧЕНИИ ДВУХ ПРЯМЫХ СЕКУЩЕЙ СУММА ОДНОСТОРОННИХ УГЛОВ РАВНА 180°, ТО ПРЯМЫЕ

                        1) параллельны

                        2) пересекаются

9. ЕСЛИ ДВЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ ПЕРЕСЕЧЕНЫ СЕКУЩЕЙ, ТО ∠1 РАВЕН

                        1) 70°        2) 110°        3) 140°

10. НА РИСУНКЕ ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ

                            1) a и b               6) b и d

                            2) a и c               7) b и c

                            3) a и d               8) c и d

                            4) a и e                9) c и e

                            5) b и c               10) d и e

11. ПРЯМЫЕ a И b ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ

1)                                                    3)                      

                       2)                                               4)

12. ЕСЛИ ДВЕ ПАРЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ ПЕРЕСЕЧЕНЫ, ТО ∠3 РАВЕН

            1) 55°         2) 135°         3) 125°

13. ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ ИСПОЛЬЗУЮТ

        1) малку

        2) циркуль

        3) чертежный угольник и линейку

3.3 Задания в тестовой форме

Вариант 2

Вашему вниманию предлагаются задания, в которых могут быть один, два, три и большее    число правильных  ответов.

1. ВЕРНЫЙ ОТВЕТ (ВЕРНЫЕ ОТВЕТЫ)

        1) Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

        2) Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят одна прямая, параллельная данной.

        3) Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

        4) Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

        5) Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

        6) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма соответственных углов равна 180°.

2.  НА РИСУНКЕ ЕСТЬ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ОТРЕЗОК И ЛУЧ

         1) b и CD                4) k и AB        

         2) b и h                      5) AB и h

         3) h  и CD                 6) CD и k

3. НА РИСУНКЕ ЕСТЬ

         1) одна               4) четыре

         2) две                 5) пять

         3) три                 6) шесть

ПАР(А, Ы) ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ

4. СЛЕДСТВИЕ - ЭТО

        1) утверждение, которое выводится из теоремы

        2) утверждение о свойствах геометрических фигур, которое не требует доказательства

5. НА РИСУНКЕ ОДНОСТОРОННИЕ УГЛЫ                      

                        1) 1 и 5           6) 3 и 8

                        2) 2 и 6           7) 4 и 8

                        3) 2 и 5           8) 3 и 7

6. ЕСЛИ ПРИ ПЕРЕСЕЧЕНИИ ДВУХ ПРЯМЫХ СЕКУЩЕЙ НАКРЕСТ ЛЕЖАЩИЕ УГЛЫ РАВНЫ, ТО ПРЯМЫЕ

                        1) параллельны

                        2) пересекаются                  

7. ЕСЛИ  ПРИ ПЕРЕСЕЧЕНИИ ДВУХ ПРЯМЫХ СЕКУЩЕЙ СУММА ОДНОСТОРОННИХ УГЛОВ МЕНЬШЕ 180°, ТО ПРЯМЫЕ

                        1) параллельны

                        2) пересекаются

8. ЕСЛИ ДВЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ ПЕРЕСЕЧЕНЫ СЕКУЩЕЙ,  ТО ∠4  РАВЕН

1) 70°                 2) 110°        3) 140°

9. НА РИСУНКЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

                            1) a и b               6) b и d

                            2) a и c               7) b и c

                            3) a и d               8) c и d

                            4) a и e                9) c и e

                            5) b и c               10) d и e

10. ЧЕРЕЗ ТОЧКУ, НЕ ЛЕЖАЩУЮ НА ДАННОЙ ПРЯМОЙ, МОЖНО ПРОВЕСТИ

                        1) одну прямую

                        2) две прямые

                        3) бесконечно много прямых

                                                                            ПАРАЛЛЕЛЬНО ДАННОЙ ПРЯМОЙ

11. ПРЯМЫЕ a И b ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ

                         1)                                               3)                      

                         2)                                               4)

12. ЕСЛИ ДВЕ ПАРЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ ПЕРЕСЕЧЕНЫ,  ТО ∠2 РАВЕН

1) 55°          2) 135°        3) 125°

13. ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ ИСПОЛЬЗУЮТ

        1) циркуль

        2) рейсшину

        3) чертежный угольник и линейку

 4. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА.

4.1 Квантованный текст

Сумма углов треугольника

Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°.

Следствие: В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.

Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

Треугольник называется остроугольным, если все три угла треугольника острые.

Треугольник называется тупоугольным, если один из углов треугольника тупой.

Треугольник называется  прямоугольным, если один из углов треугольника прямой.

Стороны прямоугольного треугольника

Гипотенуза - это сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла.

Катеты - это стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол.

Внешний угол треугольника

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом треугольника.

Теорема: Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Теорема: В треугольнике: против большей стороны лежит больший угол;

 обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Следствие 1: В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Следствие 2 (признак равнобедренного треугольника): Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Теорема: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Следствие (неравенства треугольника): Для любых трех точек A, B и C, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства: AB < AC + CB, AC < AB + BC, BC < BA + AC.

Свойства прямоугольных треугольников

1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

1. (по катетам) Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

2. (по катету и прилежащему острому углу)  Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

3. (по гипотенузе и острому углу) Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

4. (по гипотенузе и катету) Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Перпендикуляр и наклонная

Отрезок  AH - перпендикуляр, проведенный из точки  A к прямой a.

Отрезок АМ - наклонная, проведенная из точки А к прямой а.

Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной из той же точке к этой прямой.

Расстояние между точками и прямыми

1. Расстояние между двумя точками - это длина отрезка, соединяющего эти точки.

2. Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к прямой.

3. Расстояние между параллельными прямыми - это расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

Теорема: Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Схема решения задачи на построение циркулем и линейкой

1. Анализ. Отыскание способа решения задачи путем установления связей между искомыми элементами и данными задачи. Составление плана решения задачи.

2. Построение. Выполнение построения по намеченному плану.

3. Доказательство. Приведение доказательств, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.

4. Исследование. Выяснение вопроса о том, при любых ли данных задача имеет решение, и если имеет, то сколько решений.

4.2 Задания в тестовой форме

Вариант 1

Вашему вниманию предлагаются задания, в которых могут быть один, два, три и большее число правильных ответов.

1. СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА

1) равна 180°

2) больше 180°

3) меньше 180°

2.  ЕСЛИ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЕСТЬ УГОЛ 50°, ТО ДВА ДРУГИХ УГЛА РАВНЫ

1) 50° и 80°            

2) 50° и 50°                

3) 55° и 55°        

4) 65° и 65°        

3. ЕСЛИ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ АВС ∠А : ∠В : ∠С = 2 : 3 : 4, ТО УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА СООТВЕТСТВЕННО РАВНЫ  

1) 20°, 30°, 40°

2) 40°, 60°, 80°

3) 10°, 30°, 50°

4) 20°, 60°, 100°

4. ТРЕУГОЛЬНИК НАЗЫВАЕТСЯ  ОСТРОУГОЛЬНЫМ,  ЕСЛИ

1) все углы треугольника острые

2) один из углов треугольника тупой

3) один из углов треугольника острый

4) один из углов треугольника прямой

5. ГИПОТЕНУЗА - ЭТО СТОРОНА

1) тупоугольного треугольника

2) остроугольного треугольника

3) прямоугольного треугольника

6. НА РИСУНКЕ ЕСТЬ ТУПОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

1) А                 2) Б                3) В                4) Г                5) Д                6) Е

7. НА РИСУНКЕ ЕСТЬ КАТЕТ

1) АВ             4) CD

2) АС             5) BD

3) АD             6) CB  

8. В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ГИПОТЕНУЗА

1) меньше катета

2) больше катета

9. ВНЕШНИЙ УГОЛ ТРЕУГОЛЬНИКА

1) равен сумме двух любых углов треугольника        

2) равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним        

10. НА РИСУНКЕ ЕСТЬ ВНЕШНИЕ УГЛЫ                      

1) 1          4) 4          7) 7

2) 2          5) 5          8) 8

3) 3          6) 6          9) 9

11. ЕСЛИ ДВА УГЛА ТРЕУГОЛЬНИКА СООТВЕТСТВЕННО РАВНЫ 30° и 45°, ТО ВНЕШНИЙ УГОЛ, НЕ СМЕЖНЫЙ С НИМИ, РАВЕН

1) 75°           2) 105°        3) 135°                    

12. ЕСЛИ ОДИН ИЗ ВНЕШНИХ УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА РАВЕН 126°, ТО ТРЕУГОЛЬНИК МОЖЕТ ИМЕТЬ УГЛЫ

1) 30°, 54°, 96°        

2) 54°, 63°, 63°        

3) 54°, 54°, 72°      

13. ЕСЛИ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЕСТЬ ДВА УГЛА ПО 45°, ТО ТРЕУГОЛЬНИК

        1) прямоугольный

2) равносторонний

        3) равнобедренный

14. В ТРЕУГОЛЬНИКЕ ПРОТИВ БОЛЬШЕЙ СТОРОНЫ ЛЕЖИТ

1) больший         угол

2) меньший   угол

15. ЕСЛИ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ АВС АВ < ВС < АС, ТО   БОЛЬШИЙ УГОЛ

1) ∠А                2) ∠В                3) ∠С

16. ЕСЛИ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ АВС ∠А < ∠В < ∠С, ТО ВЫПОЛНЯЕТСЯ РАВЕНСТВО

1) АВ > ВС        4) АВ > АС

2) АС > АВ        5) АС > ВС

3) ВС > АВ        6) ВС > АС

17. СУЩЕСТВУЕТ ТРЕУГОЛЬНИК СО СТОРОНАМИ

1) 1м, 2м и 3м              

2) 1,5м, 2,2м и 4м              

3) 2дм, 3дм и 4дм            

4) 2,1дм, 4,8дм  и 6,8дм  

18. УГОЛ  С РАВЕН  30°

1)                                       3)    

2)                                         4)

19. ЕСЛИ В РАВНОБЕДРЕННОМ ТРЕУГОЛЬНИКИ СТОРОНЫ РАВНЫ 4 см и  10 см, ТО ОСНОВАНИЕ РАВНО

1) 4 см        2) 10 см        3) 14 см      

20. ЕСЛИ ПЕРИМЕТР РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА РАВЕН 30, А СУММА ДВУХ СТОРОН РАВНА 18, ТО БОКОВАЯ СТОРОНА РАВНА

1) 6                2) 9                3) 12

21. ЕСЛИ ГИПОТЕНУЗА АВ = 20,  КАТЕТ АС = 10, ТО 30° РАВЕН

        1) ∠А                2) ∠В                3) ∠С

22. ЕСЛИ КАТЕТ И ОСТРЫЙ УГОЛ ОДНОГО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА СООТВЕТСТВЕННО РАВНЫ КАТЕТУ И ОСТРОМУ УГЛУ ДРУГОГО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ТО ТАКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ

                               1) равны               2) не равны

23. ЕСЛИ ГИПОТЕНУЗА И ОСТРЫЙ УГОЛ ОДНОГО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА СООТВЕТСТВЕННО РАВНЫ ГИПОТЕНУЗЕ И ОСТРОМУ УГЛУ ДРУГОГО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ТО ТАКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ

                               1) равны               2) не равны

24. ТРЕУГОЛЬНИКИ РАВНЫ ПО ДВУМ КАТЕТАМ

1)                                         2)                         3)

4)                                         5)                6)

25. НА РИСУНКЕ ЕСТЬ ПЕРПЕНДИКУЛЯР

1) ВА         4) ВО

2) ВН         5) ОС

3) ОН         6) ЕС    

26. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ - ЭТО

1) длина отрезка, соединяющего эти точки

2) любое расстояние от одной точки  до другой точки

3) длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к прямой

27. НА РИСУНКЕ, ЕСЛИ a║b И b║c, ТО РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ a И с РАВНО

1) 13            3) 17

2) 14            4) 21

28. ЕСЛИ a║b, ТОЧКА А ЛЕЖИТ НА ПРЯМОЙ а, ТОЧКА В ЛЕЖИТ НА ПРЯМОЙ b, РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ А ДО ПРЯМОЙ b РАВНО 3, РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ А ДО ТОЧКИ В РАВНО 5, ТОГДА РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ a И b РАВНО

1) 2              3) 5

2) 3              4) 8

Установите правильную последовательность:

29. СХЕМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ

€ - анализ

€ - построение

€ - исследование

€ - доказательство

4.3  Задания в тестовой форме

Вариант 2

Вашему вниманию предлагаются задания, в которых могут быть один, два, три и большее число правильных ответов.

1. СУЩЕСТВУЕТ ТРЕУГОЛЬНИК, В КОТОРОМ

1) все углы острые

2) два угла острые и один угол тупой

3) два угла острые и один угол прямой

4) один угол острый, один угол прямой и один угол тупой

2.  ЕСЛИ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЕСТЬ УГОЛ 120°, ТО ДВА ДРУГИХ УГЛА РАВНЫ

1) 20° и 40°            

2) 30° и 30°                      

3) 10° и 50°      

4) 30° и 120°        

3. ЕСЛИ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ АВС ∠А: ∠В: ∠С = 1 : 3 : 5, ТО УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА СООТВЕТСТВЕННО РАВНЫ  

1) 10°, 30°, 50°

2) 40°, 60°, 80°

3) 20°, 60°, 100°

4) 10°, 70°, 100°

4. ТРЕУГОЛЬНИК НАЗЫВАЕТСЯ ТУПОУГОЛЬНЫМ,  ЕСЛИ

1) все углы треугольника острые

2) один из углов треугольника тупой

3) один из углов треугольника острый

4) один из углов треугольника прямой

5. КАТЕТ - ЭТО СТОРОНА

1) тупоугольного треугольника

2) остроугольного треугольника

3) прямоугольного треугольника

6. НА РИСУНКЕ ЕСТЬ ОСТРОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

1. А                 2) Б                3) В                4) Г                5) Д                6) Е

7. НА РИСУНКЕ ЕСТЬ ГИПОТЕНУЗА

1) АВ             4) CD

2) АС             5) BD

3) АD             6) CB  

8. В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ МОЖЕТ БЫТЬ

1) катет равен катету        

2) гипотенуза равна катету

3) гипотенуза больше катета

9. ВНЕШНИЙ УГОЛ ТРЕУГОЛЬНИКА

1) равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним        

2) не равен сумме двух любых углов треугольника        

10. НА РИСУНКЕ ЕСТЬ ВНЕШНИЕ УГЛЫ                      

1) 9          4) 6          7) 3

2) 8          5) 5          8) 2

3) 7          6) 4          9) 1

11. ЕСЛИ ДВА УГЛА ТРЕУГОЛЬНИКА СООТВЕТСТВЕННО РАВНЫ 115° и 38°, ТО ВНЕШНИЙ УГОЛ, НЕ СМЕЖНЫЙ С НИМИ, РАВЕН

1) 65°                2) 142°        3) 153°                    

12. ЕСЛИ ОДИН ИЗ ВНЕШНИХ УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА РАВЕН 26°, ТО ТРЕУГОЛЬНИК МОЖЕТ ИМЕТЬ УГЛЫ

1) 52°, 54°, 74°        

2) 10°, 16°, 154°        

3) 13°, 13°, 154°  

13. ЕСЛИ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЕСТЬ ДВА УГЛА ПО 60°, ТО ТРЕУГОЛЬНИК

        1) прямоугольный

2) равносторонний

        3) равнобедренный

14. В ТРЕУГОЛЬНИКЕ ПРОТИВ  МЕНЬШЕЙ СТОРОНЫ ЛЕЖИТ

1) больший         угол

2) меньший угол

15. ЕСЛИ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ АВС АВ < АС < ВС, ТО  МЕНЬШИЙ УГОЛ

1) ∠А                2) ∠В                3) ∠С

16. ЕСЛИ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ АВС ∠С < ∠А < ∠В, ТО ВЫПОЛНЯЕТСЯ РАВЕНСТВО

1) АВ > ВС        4) АВ > АС

2) АС > АВ        5) АС > ВС

3) ВС > АВ        6) ВС > АС

17. СУЩЕСТВУЕТ ТРЕУГОЛЬНИК СО СТОРОНАМИ

1) 2м, 2м и 3м              

2) 1,2м, 2,2м и 5м              

3) 1дм, 3дм и 4дм            

4) 2,1дм, 4,8дм  и 6,8дм  

18. УГОЛ А РАВЕН  60°

1)                                       3)    

2)                                         4)

19. ЕСЛИ В РАВНОБЕДРЕННОМ ТРЕУГОЛЬНИКИ СТОРОНЫ РАВНЫ 10 см и 14 см, ТО ОСНОВАНИЕ РАВНО

1) 10 см        2) 14 см        3) 24 см        

20. ЕСЛИ ПЕРИМЕТР РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА РАВЕН 40, А СУММА ДВУХ СТОРОН РАВНА 24, ТО БОКОВАЯ СТОРОНА РАВНА

1) 8                2) 12                3) 16

21. ЕСЛИ ГИПОТЕНУЗА АВ = 20,  КАТЕТ ВС = 10, ТО  60° РАВЕН

        1) ∠А                2) ∠В                3) ∠С

22.  ЕСЛИ КАТЕТ И ПРИЛЕЖАЩИЙ К НЕМУ ОСТРЫЙ УГОЛ ОДНОГО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА СООТВЕТСТВЕННО РАВНЫ КАТЕТУ И ПРИЛЕЖАЩЕМУ К НЕМУ ОСТРОМУ УГЛУ ДРУГОГО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ТО ТАКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ

                               1) равны               2) не равны

23. ЕСЛИ ГИПОТЕНУЗА И УГОЛ ОДНОГО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА СООТВЕТСТВЕННО РАВНЫ ГИПОТЕНУЗЕ И УГЛУ ДРУГОГО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ТО ТАКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ

                               1) равны               2) не равны

24. ТРЕУГОЛЬНИКИ РАВНЫ ПО ГИПОТЕНУЗЕ И КАТЕТУ

1)                                     2)                        3)

4)                                        5)                6)

25. НА РИСУНКЕ ЕСТЬ  НАКЛОННАЯ 

1) ВА         4) ОВ

2) ВН         5) ОС

3) ОН         6) ЕС    

26. РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ - ЭТО

1) длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к прямой

2) расстояние от данной точки до любой точки на прямой

27. НА РИСУНКЕ, ЕСЛИ a║b И b║c, ТО РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ c И a РАВНО

1) 13            3) 17

2) 14            4) 21

28. ЕСЛИ a║b, ТОЧКА А ЛЕЖИТ НА ПРЯМОЙ а, ТОЧКА В ЛЕЖИТ НА ПРЯМОЙ b, РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ А ДО ПРЯМОЙ b РАВНО 3, РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ А ДО ТОЧКИ В РАВНО 5, ТОГДА РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ В ДО ПРЯМОЙ а РАВНО

1) 2              3) 5

2) 3              4) 8

Установите правильную последовательность:

29. СХЕМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ

€ - анализ

€ - построение

€ - исследование

€ - доказательство