Подготовка к ОГЭ. Окружности
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (9 класс)

Слайд 1

Подготовка к ОГЭ Окружность Учитель математики МАОУ лицей №90 г. Краснодара Потапова Е.М. 2023 год

Слайд 2

„Окружность — душа геометрии. Познайте окружность, и вы не только познаете геометрию, но и возвысите душу свою…“ Игорь Фёдорович Шарыгин

Слайд 3

Элементы окружности Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Слайд 4

Свойство отрезков касательных 1. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности AB= AC , 1 = 2 2. Угол, образованный касательной и хордой измеряется половиной дуги , заключенной между его сторонами

Слайд 5

Углы окружности Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Центральный угол равен дуге, на которую он опирается Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. Угол, вписанный в окружность, равен половине дуги, на которую он опирается. АСВ =

Слайд 6

Следствие 1 Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего ему центрального угла. Следствие 2 Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны . Следствие 3 Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой .

Слайд 7

№16 вариант 40 В угол C величиной 79° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B, точка O – центр окружности. Найдите угол AOB. Дано: ∠С=79°, АС и ВС-касательные. Найти: ∠ AOB Решение: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания : АО⟂АС, ВО⟂ВС ∠А=90°, ∠В=90° Сумма углов четырехугольника равна 360° ∠A + ∠B + ∠C + ∠О = 360° ∠О = 180° - ∠C = 180° - 79° = 101°. Ответ: ∠AOB =101°.

Слайд 8

№ 16 вариант 19 Точка O – центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC=50°и ∠OAB=35°. Найдите ∠BCO Дано: окр(О; r ), ∠ABC= 50 ° , ∠OAB= 35 °. Найти: ∠BCO Решение: ∆ АВО-равнобедренный, АО=ВО-радиусы, АВ-основание. ∠ОАВ=∠ОВА=35° по свойству равнобедренного треугольника. ∆ВОС-равнобедренный, ВО=СО-радиусы, ВС-основание. ∠СВО= ∠ВСО по свойству равнобедренного треугольника. ∠СВО = ∠ABC - ∠ОВА = 50°- 35°=15° ∠ВСО = 15°. Ответ: ∠ВСО = 15°.

Слайд 9

№ 16 вариант 16 На окружности отмечены точки А и В так ,что меньшая дуга АВ равна 134°. Прямая АС касается окружности в точке А так, что угол ВАС острый. Найдите угол ВАС. Дано: АС-касательная = 134 °. Найти: ∠ВАС Решение: ∠ВАС= 134°:2=67°. Ответ: ∠ВАС= 67°.

Слайд 10

Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О – центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 130°. Дано: окр( O ; R), АС- касательная, ◡AD =130°. Найти: ∠АСО Решение: АС-касательная, АС⟂АО Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. ∠ A О D = ∠АСО + ∠САО Центральный угол равен дуге, на которую он опирается ∠A О D = ◡AD ∠АСО = ∠A О D - ∠САО = 130° - 90° = 40°. Ответ: ∠АСО = 40°.

Слайд 11

Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 10. Дано: окр( O;R) , ∠А = 60°, АО = 10, АВ и АС – касательные Найти: R Решение: Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности ∠ОАВ = ∠ОАС= ∠А: 2 = 60°:2 = 30° В ∆ОАВ ∠АВО = 90°, ∠ОАВ = 30° = sin 30° ⇒ ВО = АО∙ sin 30° = 10 ∙ = 5. Ответ: R= 5.

Слайд 12

№16 вариант 36 Касательные в точках A и B к окружности с центром в точке O пересекаются под углом 72°. Найдите угол ABO.

Слайд 13

Дано: окр(О; R ), R=14, AB=48, АВ - касательная Найти: AD Решение: 1 способ : Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть : АВ² = AD ∙ АС ⇒ АВ² = AD ∙ ( AD + D С) 48 ² = AD ( AD +28) AD² + 28 AD – 2304 = 0 2 способ: D 1 =14² - 1∙(-2304)=196+2304=2500 В ∆АОВ ∠В=90° по теореме Пифагора AD 1 =-14+50=36, АО²=АВ²+ВО²⇒АО= =50 AD 2 =-14-50=-64 – не удовлетворяет смыслу задачи AD =АО – D О = 50 -14 =36. Ответ: AD =36. Отрезок AB=48 касается окружности радиуса 14 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD. D C

Слайд 14

Дано: ∆АВС, ∠АОВ=173° Найти: ∠АСВ Решение: №16 Вариант 35 Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 173°. Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего ему центрального угла. ∠АСВ = 173°:2=85,5° Ответ: ∠АСВ=85,5°.

Слайд 15

Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 17° Дано: ∆АВС, ∠ BAC =17° Найти: ∠ ABC Решение: Вписанный угол, опирающийся на диаметр равен 90° ∠A СВ = = 90°. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90° ∠А + ∠В = 90° ∠ABC = 90° - 17° = 73° Ответ: ∠ABC = 73°. О

Слайд 16

№16 вариант 10 Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 10. Найдите BC, если AC=16. Дано: ∆АВС, окр(О; R ), R= 10, АС=16 Найти: ВС Решение: АВ = 2 R = 2∙10 = 20 Вписанный угол, опирающийся на диаметр равен 90° ∠AСВ = = 90° В ∆АВС ∠С=90° по теореме Пифагора АВ²=АС²+ВС² ВС²= 20² - 16² = 400 – 256=144 ВС=12 Ответ: ВС=12. О

Слайд 17

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=32°. Найдите ∠NMB. Дано: АВ-диаметр, ∠NBA=32° Найти: ∠NMB Решение: Вписанный угол , опирающийся на диаметр равен 90°⇒ В ∆ ANB ∠ANB=90° , ∠N А B=90° - ∠NBA = 90°- 32°=58° Вписанные углы , опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. ∠N А B = ∠NMB = ½◡ NB ∠NMB = 58°. Ответ: ∠NMB = 58°.

Слайд 18

№16 вариант 7 Сторона равностороннего треугольника равна 16√3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. Дано: ∆АВС-равносторонний, АВ=16√3, окр(О; R) Найти : R Решение: ∆АВС-равносторонний, АВ=АС=ВС, ∠А = ∠ В = ∠ С = 60° по теореме синусов = = = 2R = 2R R = = 12. Ответ: 12. А В С О

Слайд 19

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 6. Найдите высоту этого треугольника. Дано:∆АВС-равносторонний, окр(О; R) , R =6 Найти: ВН Решение: НО = ВО:2 = 6:2 = 3 ВН = ВО + НО = 6+3 =9 Ответ : ВН = 9. А В С Н О

Слайд 20

№ 16 вариант 8 На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что∠ AOB=45°. Длина меньшей дуги AB равна 91. Найдите длину большей дуги. Дано: окр(О; R), ∠AOB=45°, ◡ АВ=91. Найти: ◡АМВ Решение: = ⇒ х= = 637 Ответ: ◡АМВ=637 градусная мера дуги длина дуги ◡ АВ 45° 91 ◡АМВ 360°-45°=315° х М 91

Слайд 21

№23 вариант 14 Отрезки АВ и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если АВ = 18, а расстояние от центра окружности до хорд АВ и CD равны соответственно 12 и 9. Дано: окр(О; R), АВ = 18, ОМ = 12, ОН = 9. Найти: CD Решение: ∆АОВ – равнобедренный, АО=ВО-радиусы, МО – высота и медиана ⇒АМ=ВМ=АВ:2=18:2=9. В ∆АОМ ∠М=90° по теореме Пифагора АО²=АМ²+ОМ² АО= = =15. ∆ C О D - равнобедренный, СО= D О-радиусы, ОН-высота и медиана ⇒ СН= D Н= CD:2 В ∆C ОН ∠Н=90° по теореме Пифагора СО²=СН²+ОН² ⇒ СН= = =12 CD =2∙12=24. Ответ: CD =24.

Слайд 22

№ 24 вариант 10 Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n. Дано: окр( I;R), окр( J;r), М N -касательная, MP:NP=m:n Доказать, что D:d = m:n Доказательство: IM ⟂ MN , JN ⟂ MN , MN – касательная к окружностям ∆IPM~∆JPN по 1 признаку (по двум углам): ∠ IMP= ∠ JNP=90° ,∠ IPM =∠ JPN как вертикальные углы. k= = = ⇒ = = = чтд

Слайд 23

№25 вариант 4 В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 14 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD. Дано: АВС D -параллелограмм, окр(О; r), АО=25, НО=14, КО=7 Найти: S ABCD Решение: Проведем радиусы ОМ и О L к AB и ВС соответственно Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны ⇒ АМ=А K , ВМ= BL, CL=CK В ∆АО K ∠ K =90° по теореме Пифагора АО²=А K ²+О K ² ⇒ А K = = =24 S ABCD = HL∙BC =(7+14)ВС=21ВС и S ABCD =2S ABC =2∙ 7( АВ+ВС+АС)=7(24+ВМ+В L+CL+CK+24)= 7 (48+2BC)= 336 + 14 BC 2 1 BC= 14 BC+ 336 ВС=48 S ABCD =21∙48=1008. Ответ: S ABCD =1008 .