Стереометрия (подборка задач)
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (10, 11 класс)

Задачи по стереометрии

1. В правильной шестиугольной призме ABCDEFAB1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки В до плоскости DEA1

2. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 стороны основания равны 1, боковые ребра равны 3, точка D – середина ребра СС1. Найдите расстояние от точки С до плоскости АDВ1.

3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAB1C1D1 АВ=1, АD=АА1=2. Найдите угол между прямой АВ1 и плоскостью АВС1.

4. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник АВСD со сторонами АВ=, ВС=2. Длины боковых ребер пирамиды SA=, SB=2, SD=.

а) Докажите, что SA – высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.

5.         В треугольной пирамиде МАВС основанием является правильный треугольник АВС, ребро МВ перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 3, а ребро МА равно 5. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, на ребре АМ – точка L. Известно, что АD=АL=2 и ВЕ=1. Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки Е, D и L.

6.        На ребре АА1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка Е так, что А1Е:ЕА=8:1, а на ребре ВВ1 – точка F так, что В1F:FВ=4:5. Известно, что АВ=, АD=16, AA1=18.

а) Докажите, что плоскость ЕFD1 делит ребро В1С1 на два равных отрезка.

б) Найдите угол между плоскостью ЕFD1 и плоскостью АА1В1.

7.        В правильной четырехугольной пирамиды SABCD с вершиной S сторона основания равна 3. Точка L – середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми ВL и SA равен . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

8.        В тетраэдре АВСD ребро AD имеет длину 4, а все остальные ребра равны 3.

а) Докажите, что прямые AD и ВС перпендикулярны.

б) Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, содержащей прямую ВС и перпендикулярной прямой АD.

9.        В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 10, а боковое ребро АА1=2. Точка О принадлежит ребру А1В1 и делит его в отношении 4:1, считая от вершины А1. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки А, С и О.

10.        В правильной четырехугольной пирамиде МABCD с вершиной М стороны основания равны 3, а боковые ребра равны 8. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку В и середину ребра МD параллельно прямой АС.

11.        На ребре АА1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечена точка К так, что АК=8 и КА1=4. Точка О – центр грани АВСD куба.

а) Постройте сечение куба плоскостью D1OK.

б) Найдите объем меньшей из частей куба, на которые он разбивается указанной плоскостью.

12.        В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит квадрат АВСD со стороной 4, а высота призмы равна . Точка Е лежит на диагонали ВD1, причем ВЕ=1.

а) Постройте сечение призмы плоскостью А1С1Е.

б) Найдите угол наклона этой плоскости к плоскости АВС.