Урок по теме "Признаки подобия треугольников"
план-конспект урока по геометрии (8 класс)

Конспект урока по теме: «Признаки подобия треугольников»

Тема урока: «Признаки подобия треугольников»

Тип урока: урок решения задач

Учебная задача урока: рассмотрение видов задач, решаемых на основе первого, второго и третьего признаков подобия треугольников.

Диагностируемые цели:  

В результате урока ученик:

• Знает

- определение подобных треугольников;

- формулировки первого, второго и третьего признаков подобия треугольников;

- виды задач, решаемых на основе признаков подобия треугольников;

• Умеет

- применять признаки подобия при решении задач;

- приводить примеры подобных треугольников;

• Понимает

- какие предметы, в частности треугольники,  являются подобными;

- практическую значимость данных признаков;

- в каких условиях лучше применить тот или иной признак.

Учебные действия, формируемые на уроке:

• Личностные: умение учащегося устанавливать связи между целью учебной деятельности и её мотивом, т.е. между результатом учения, и тем, что побуждает деятельность, ради чего она осуществляется, таким образом должна осуществляться осмысленная организация собственной деятельности ученика
• Регулятивные: целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимся, и того, что ещё неизвестно, планирование - определение последовательности промежуточных целей с учётом конечного результата, оценка - выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что ещё подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения
• Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками, т. е. определение цели сотрудничества, функций участников, способов взаимодействия, умение с достаточно полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации, владение монологической и диалогической формами речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка, умение доказывать собственное мнение
• Познавательные: анализ объектов  с целью выделения признаков (существенных, несущественных); выдвижение гипотез и их обоснование; построение логической цепи рассуждений, доказательство; подведение под понятие; выведение следствий; установление причинно-следственных связей

Методы обучения: репродуктивный, частично-поисковые, УДЕ

Форма работы: фронтальная, групповая

Средства обучения: традиционные, презентация, карточки с заданиями.

Структура урока:

1. Мотивационно-ориентировочная часть (7 мин.)
2. Операционно-познавательная часть (35 мин.)
3. Рефлексивно-оценочная часть (3 мин.)

Ход урока

Мотивационно-ориентировочная часть

Актуализация знаний 

Задача 1: Выберите из данных треугольников подобные и объясните почему они подобны

ΔABC ∼ ΔPSQ, т.к. ∠A=∠P,  ∠B=∠S .

ΔDRT ∼ ΔNMK, т.к. ∠R=∠M,    =  = 3,   =  = 3 =>  =

ΔA1B1D1 ∼ Δ M1L1K1, т.к.  =  = 2,    =  = 2 =>     =   =    

- Какие треугольники называются подобными?

Два треугольника, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника называются подобными.

- Сформулируйте первый признак подобия треугольников.

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

- Сформулируйте второй признак подобия треугольников.

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.      

- Сформулируйте третий признак подобия треугольников.

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Задача 2: Треугольники АВС и NPQ подобны, с коэффициентом подобия k = 3. Известно что площадь Δ NPQ меньше площади ΔАВС, которая равна  27см2. Периметр ΔАВС равен 7 см. Чему равен периметр и площадь Δ NPQ?

Дано: ΔАВС∼Δ NPQ,  k = 3, SΔ NPQ < SΔАВС, SΔАВС = 27см2 , PΔ АВС = 7см.

Найти: SΔ NPQ,  РΔ NPQ

Решение:   Обозначим РΔ NPQ = у. По условию ΔАВС∼Δ NPQ,  k = 3, значит по свойствам получим:

 =  = 3  

3у=7

У= 

 =  = 9  

27 = 9Х

Х= 3

Ответ: SΔ NPQ = 3см2 , РΔ NPQ=   cм

- сформулируйте свойства, которые вы использовали при решении данной задачи

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Мотивация

- Итак, на предыдущих уроках вы изучили понятие подобных треугольников, некоторые свойства подобных треугольников и три признака подобия треугольников.

Постановка учебной задачи

- Поэтому сегодня на уроке мы должны рассмотреть, как изученная теория, и в частности, признаки подобия треугольников используются при решении задач.

Операционно-познавательная часть

Работа идёт фронтально со всем классом

Задача 1.  Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает сторону АВ в точке А1, а сторону ВС — в точке С1. Найти длину отрезка А1С1, если АС=35,  А А1: А1В=2:5.

Дано: ΔАВС, А1С1|| АС, А1є АВ,  С1є ВС , АС=35,

 А А1: А1В=2:5.

Найти: А1С1

Поиск решения:

- Какие треугольники есть на рисунке?

ΔАВС и ΔА1В1С1

- Сравните их

Они подобны

- Что у них общего?

∠В 

- Чего не хватает для доказательства их подобия?

Пары равных углов.

- Какие углы равны и почему?

∠А=∠ А1,   т.к. это соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых АС и А1С1 секущей АВ.

- будут ли тогда треугольник подобны и почему?

Треугольники ABC и А1BC1 подобны по первому признаку подобия, т.к. ∠А=∠ А1, ∠В - общий

- Что следует из подобия треугольников?

- Как тогда определить коэффициент подобия этих треугольников?

по условию А А1: А1В=2:5, тогда  =

- Длина какой стороны нам известна из условия?

АС=35

- Найдите сторону А1С1.

   , А1С1 = = 5*5 = 25

Решение:

1. ∠А и ∠ А1 - соответственные углы при пересечении АС // А1С1  и секущей АВ, то (по 2 свойству) ∠А=∠ А1
2. ΔABC ∼ Δ А1BC1, т.к. ∠А=∠ А1, ∠В - общий (по первому признаку подобия). Тогда
3.  =   →  = .
4.  =  ,    =  → А1С1 =   = 25

Ответ: А1С1 =25.

- Итак, что требовалось найти в задаче?

Отрезок А1С1

- Как мы смогли это сделать?  

Мы доказали подобие двух треугольников, в одном из которых лежал данный отрезок как сторона, а в другом треугольнике известная по величине сторона была этому отрезку сходственной.  

Задача 2.  АС – диагональ четырехугольника ABCD. Известно, что стороны AD = 21, ВС =10, СD=15, АВ = 9, АС =14,В = 80º, D = 55º. Чему равен BAD?

Дано: ABCD – четырехугольник, АС – диагональ, AD = 21, ВС =10, СD=15, АВ = 9, АС =14,В = 80º, D = 55º.

Найти: BAD.

Поиск решения задачи:

- Какой угол нам надо найти? 

BAD.

- Из каких углов он состоит? 

∠BAD= ВАС + САD

- В какие треугольники входят указанные углы?

  ∆ АВС  и  ∆ACD

- Сравните эти треугольники

Составим соотношение сторон этих треугольников.

 =  

Значит ∆ АВС подобен ∆ ACD (по 3 признаку)

- Что следует из подобия треугольников?

∠BAC=CAD; BCA=D = 55º ; B= 80º =ACD

- Тогда ∠BAD = 2ВАС. Найдите ∠ВАС

∠ВАС = 180º - BCA - ACD = 180º -  55º  - 80º  = 45º

- Найдите ∠BAD

∠BAD = 2ВАС = 2*45º = 90º

Решение:

1. 

 =  

2. Значит ∆ АВС ~ ∆ ACD (по 3 признаку). Тогда (по определению) ∠BAC=CAD; BCA=D = 55º ; B= 80º =ACD

3. Из ∆ АВС: BAC=180º - BCA - ACD = 180º -  55º  - 80º  = 45º

 (по свойству суммы углов треугольника)

4. BAD=ВАС+САD= 2ВАС=90º.

Ответ: BAD = 90º.

- Итак, что требовалось найти в задаче?

Величину угла

- Как мы смогли это сделать?  

Доказав подобие треугольников, нашли соответственно равные углы в треугольниках и вывели с помощью этого величину искомого угла.

Задача 3. На стороны BC и CD параллелограмма ABCD (или на их продолжения) опущены перпендикуляры AM и AN. Докажите, что треугольник MAN подобен треугольнику ABC.

Дано: ABCD – параллелограмм. AM ┴ BC, М∈CB,  AN┴ CD, N ∈CD.

Доказать: ΔMAN ∼ Δ ABC

Поиск решения:

- Рассмотрим треугольники AMB и AND. Какие они по виду?

Прямоугольные, т.к. AM ┴ BC, значитМ = 90о  и AN┴ CD, значит N = 90 о.

- Сравним углы ∠ ABM  и ∠ ADN.

∠ ABM  и ∠ВАD - накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей AB. Тогда ∠ ABM  = ∠ВАD . ∠ ADN  и ∠ ВАD - накрест лежащие при параллельных прямых AB и DC и секущей AD. Тогда  ∠ВАD =∠ ADN. Значит ∠ ABM  = ∠ВАD =∠ ADN.  

- Будут ли тогда треугольники AMB и AND подобны и почему?

ΔAMB ∼ Δ AND, т.к. М = N = 90 о и  ∠ ABM  = ∠ ADN (по 1 признаку подобия треугольников).

- Что следует из подобия треугольников?

 , ∠DAN  = ВАМ

- Какой стороне равна сторона AD?

ВС

- Как по другому можно переписать данное равенство?

 или

- В какие треугольники входят данные стороны как соответственные?

В треугольники ΔMAN и Δ ABC .

- Чего не хватает для доказательства подобия этих треугольников?

равных углов  ∠MAN = ∠ АВС .

- Чему равен ∠MAN?

∠MAN = ∠MAВ + ∠ ВАD + ∠DAN  = ∠ ВАD + 2∠DAN  = ∠ ВАD + 2(900-  ∠ ADN) =∠ ВАD + 2(900-  ∠ ВAD)= 1800 - ∠ ВAD=∠ АВС

- Следовательно, что мы можем сказать о треугольниках MAN и ABC?

Они подобны по 2 признаку подобия, т.к. ∠MAN = ∠ АВС  и  .

Доказательство:

1. Т.к. ABCD – параллелограмм, то (по определению) AD || BC, AB || DC и AD=ВС.
2. ∠ ABM  и ∠ВАD – накрест лежащие при AD // BC и секущей AB, значит (по свойству углов) ∠ ABM  = ∠ВАD.
3. ∠ ADN  и ∠ ВАD – накрест лежащие при AB // DC и секущей AD, значит (по свойству углов) ∠ВАD =∠ ADN.
4. ∠ ABM  = ∠ВАD=∠ ADN  
5. ΔAMB ~ ΔAND (по 1 признаку подобия), так как  ∠ABM = ∠ADN, М = N = 90 о .  Тогда (по определению)  , ∠DAN  = ВАМ
6. AD = ВС, тогда  или
7.  ∠MAN = ∠MAВ + ∠ ВАD + ∠DAN  = ∠ ВАD + 2∠DAN  = ∠ ВАD + 2(900-  ∠ ADN) =∠ ВАD + 2(900-  ∠ ВAD)= 1800 - ∠ ВAD=∠ АВС
8. ΔMAN ~Δ ABC (по 2 признаку подобия), т.к. ∠MAN = ∠ АВС  и  .

- Итак, что требовалось доказать в задаче?

Подобие треугольников

- Как мы смогли это сделать?  

Чтобы доказать подобие одних треугольников, сначала доказали подобие других вспомогательных треугольников и вывели необходимые для доказательства подобия первой пары треугольников следствия.

 Работа по группам:

Задача 1.  В треугольник AFK вписан ромб ABCD так, что угол A у них общий, вершина C принадлежит стороне FK. Найти сторону ромба, если AF=21 см, AK=24 см.

Дано: в ΔAFK вписан ABCD – ромб, Cє FK, AF=21 см, AK=24 см.

Найти: АВ.

Решение:

1) Т.к. ABCD – ромб, то AB || DC, BC || AD и AB = DC= BC = AD

2) ∠F — общий; ∠ FAK=∠FBC (как соответственные углы при AD∥BC и секущей AB). Следовательно, Δ AFK ~Δ BFC (по первому признаку). Тогда (по определению) .    

3) Пусть  AB = х см 

Тогда BF=AF-AB=21-x см. Отсюда

   см

Ответ: 11,2 см

Задача 2.  Дан треугольник АВС. Прямая В1С1 пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС  соответственно в точка С1 и В1, причем В1С1 = 3см, АС1 =В1С= 2см, ВС1 = 10 см, АВ1 = 4 см. Найдите ВС.

Дано:  Δ АВС, С1єАВ, В1єАС, В1С1 = 3см, АС1 =В1С= 2см, ВС1 = 10 см, АВ1 = 4 см.

Найти: ВС

Решение:

1. ∠A является общим для треугольников Δ ABC  и Δ AB1C1 .

АВ = АС1 + С1В = 2 + 10 = 12 см

АС = АВ1 + В1С = 4 + 2 = 6 см

Составим соотношение сторон треугольников.

 =  = 3  ,    =  = 3,  следовательно   =  .

Тогда , Δ ABC  ~ Δ AB1C1 , по второму признаку подобия треугольников.

2. Т.к. Δ ABC ~Δ AB1C1 , то   =  =   = 3.

  = 3 ,  BC = 3 * 3 = 9см.

Ответ: ВС = 9 см

Рефлексивно-оценочная часть

- Какова была цель урока?

Рассмотреть как признаки подобия треугольников используются при решении задач.

- Достигли мы ее?

Да

- Как мы её достигли?        Какие виды задач мы рассмотрели?

Мы решили задачи на доказательство подобия треугольников, при этом находили длину неизвестной стороны, величину неизвестного угла.  

Домашнее задание:

№ 557 (а), 559, 560(б).

Задача 557.  Стороны угла А пересечены параллельными прямыми ВС и DE, причем точки В и D лежат на одной стороне угла, а С и E — на другой. Найдите: а) АС, если СЕ = 10 см, AD = 22 см, BD = 8см.

Дано:  ∠А, ВєАD, DєAD, CєAE, EєAE, ВС || DE,СЕ = 10 см, AD = 22 см, BD = 8см.

Найти: АС

Решение:

1. Рассмотрим ΔАВС и ΔАDЕ: ∠А – общий. ∠АВС = ∠АDЕ  как соответственные углы при ВС // DE и секущей  AD. Следовательно ΔАВС ~ ΔАDЕ  (по первому признаку подобия треугольников). Тогда (по определению)
2. АЕ = АС + СЕ  => АЕ = АС + 10,  

АD = AB + BD  => 22 = AB + 8  => AB = 14см.

3.  =>   =>  

11АС = 7(АС + 10)

11АС = 7АС + 70

4АС=70

АС = 17,5см

Ответ: АС = 17,5см

№559. На одной из сторон данного угла А отложены отрезки АВ=5 см и АС = 16 см. На другой стороне этого же угла отложены отрезки AD=8 см и AF= 10 см. Подобны ли треугольники ACD и AFB? Ответ обоснуйте.

Дано: ∠САF, BєAC, DєAF, АВ=5 см, АС = 16 см, AD=8 см,  AF= 10 см.

Найти: ΔACD ∼ ΔAFB

Решение: В ΔACD и ΔAFB:  ∠А – общий, по условию :  =  ;   =   , значит, ΔACD ∼ ΔAFB (по второму признаку подобия).

№560 (б). Подобны ли треугольники АВС и А1В1С1 если: АВ = 1,7 см, ВС = 3см, СА = 4,2 см, А1В1 = 34дм, В1С1 = 60дм, С1А1=84дм.

Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1 ,  АВ = 1,7 см, ВС = 3см, СА = 4,2 см, А1В1 = 34дм, В1С1 = 60дм, С1А1=84дм.

Найти: ΔАВС ∼ ΔА1В1С1

Решение: А1В1 = 34дм = 340 см, В1С1 = 60дм = 600дм,  С1А1=84дм = 840см.

 =  =   ,     =  =  ,   =  =  .

Значит, ΔАВС ∼ ΔА1В1С1 по трем сторонам.