Урок геометрии по теме "Правильная пирамида"
план-конспект урока по геометрии (10 класс)

Тема урока: «Правильная пирамида»

 В работе использованы электронные образовательные ресурсы с Федерального портала ФЦИОР, http://eor.edu.ru/ и с портала «Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов ЦОР, http://school-collection.edu.ru/ 

Класс: 10.

Предмет: стереометрия.

Цели урока: 

• Образовательные

• введение понятия правильной пирамиды;
• рассмотрение свойств правильной пирамиды;
• введение понятия апофема;
• рассмотрение задач на нахождение элементов правильной пирамиды.

• Развивающие

• развитие графической культуры;
• развитие пространственного мышления;
• расширение математической терминологии.

• Воспитательные

• формирование интереса к предмету.

План урока:

1. Организационный момент

2. Подготовка к изучению новой темы

1.1. Актуализация знаний по теме: «Пирамида». Проверка усвоения теоретического материала.

Вопросы к учащимся:

• Сформулируйте определение пирамиды. Покажите на модели (чертеже) ее элементы.
• Сформулируйте определение высоты пирамиды.
• Сколько граней, перпендикулярных к плоскости основания, может иметь пирамида?
• Существует ли четырехугольная пирамида, у которой противоположные боковые грани перпендикулярны к основанию?
• Могут ли все грани треугольной пирамиды быть прямоугольными треугольниками?
• Что называется площадью боковой поверхности пирамиды, площадью полной поверхности пирамиды?

1.2. Проверка домашнего задания.

На предыдущем уроке учащиеся получили домашнее задание по вариантам:

Проводится визуальная проверка наличия выполненного домашнего задания.
Проводится обсуждение решения задач № 247а и № 249а. Учащиеся комментируют решение с использованием готовых чертежей.

№ 247а

Двугранные углы при основании пирамиды равны. Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основания. 

Вопросы к учащимся:

• Какая окружность называется вписанной в многоугольник?
• Сформулируйте определение  двугранного угла.
• Как построить линейный угол двугранного угла?
• Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах.

№ 249а

В пирамиде все боковые ребра равны между собой. Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности,  описанной около основания. 
Вопросы к учащимся:

• Какая окружность называется описанной около многоугольника?
• Как построить угол между боковым ребром и плоскостью пирамиды?

1.3. Актуализация знаний по планиметрии.

Определение правильного многоугольника:

Правильный многоугольнике – выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Определение центра правильного многоугольника:

В правильном многоугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Это точка – центр правильного многоугольника.

Формулы для вычисления элементов правильного многоугольника:

3. Объявление темы и целей урока

Тема урока: «Правильная пирамида».

Цели урока: 

• познакомиться с понятием правильной пирамиды, ее элементами и свойствами;
• научиться строить правильную пирамиду и ее элементы;
• рассмотреть задачи на нахождение элементов правильной пирамиды.

4. Изучение теоретического материала

4.1. Определение правильной пирамиды. Изображение правильных пирамид на чертежах.

Пирамида называется правильной, если

1) ее основание – правильный многоугольник;

2) ее высота – отрезок, соединяющий вершину пирамиды с ее центром.

Одним из примеров правильной пирамиды являются египетские пирамиды. Это четырехугольные пирамиды.

Внимание учащихся обращается также на изображение правильных треугольной и шестиугольной пирамид.

Задание для учащихся: 

• Выполнить в тетради чертеж правильной шестиугольной пирамиды.

4.2. Свойства правильной пирамиды.

Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Доказательство данных фактов проводится устно: 

1. Любое боковое ребро представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, одним катетом которого служит высота пирамиды, а другим – радиус описанной около основания окружности. Эти прямоугольные треугольники равны. Следовательно, равны их гипотенузы.
2. Так как боковые ребра правильной пирамиды равны, то  ее боковые грани -  равнобедренные треугольники. Так как А1А2…Аn – правильный многоугольник, то основания этих треугольников также равны друг другу. Значит, боковые грани равны (по трем сторонам).

4.3.  Апофема.

Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.
Данный термин употребляется для правильной пирамиды, хотя у неправильной пирамиды также могут быть равны высоты боковых граней.
Вопросы к учащимся:

• Сколько апофем в правильной пирамиде?
• Равны ли апофемы правильной пирамиды друг другу? Почему?
• Сколько высот в пирамиде?

Задание для учащихся: 

• Провести апофему правильной шестиугольной пирамиды.

5. Закрепление нового материала

• Решение задачи на построение.

В правильной четырехугольной пирамиде построить:

а) угол между боковым ребром и плоскостью основания;
б) линейный угол двугранного угла при основании;
в) линейный угол двугранного угла между боковыми гранями.

Комментируется ход построения (с применением готового чертежа). Учащиеся выполняют построения в тетради.

• Решение задачи на нахождение элементов правильной пирамиды.

№ 255

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, а плоский угол при вершине основания . Найдите высоту этой пирамиды.

Решение проводится учеником у доски.

6. Подведение итогов урока

Вопросы к учащимся:

• Какая пирамида называется правильной?
• Являются ли равными боковые ребра правильной пирамиды?
• Чем являются боковые грани правильной пирамиды?
• Что называется апофемой?
• Сколько высот в пирамиде? Сколько апофем в пирамиде?

Выставление оценок за работу на уроке.

7. Домашнее задание

§ 2 п.29   № 256 (а, в, г)

Список  литературы: 

1.  Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений  / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 6-е изд. – М.: Просвещение; ОАО «Московские учебники,  2006.
2.  Изучение геометрии в 10-11 классах: Метод. рекомендации к учебнику.: Книга для учителя/С.М. Саакян, В.Ф. Бутузов. – М.: Просвещение, 2001.