Урок по теме "Средняя линия треугольника"
методическая разработка по геометрии (8 класс)

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

   Приветствие учащихся.

Фиксация отсутствующих на уроке.

   Проверка подготовленности к уроку: наличие учебника, тетради, письменных принадлежностей.

   Приветствие учителя.

Дежурные называют отсутствующих

в классе ребят.

   Проверяют наличие учебных

принадлежностей.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Прежде чем перейти к изучению новой темы, давайте вспомним, о чем мы говорили на предыдущих уроках?

   Хорошо. А какие треугольники называются подобными?

   Верно. Сколько существует признаков подобия треугольников?

   Давайте вспомним каждый из них.

Два треугольника являются подобными, если … .

   по первому признаку подобия:

   по второму признаку подобия:

   по третьему признаку подобия:

   Правильно.
  А теперь предлагаю решить вам следующую задачу: (карточка с задачей лежит у каждого ученика на парте)

   Откройте тетради, запишите дату, классная работа.

Задача 1:

    Даны точки М и N — середины сторон АВ и ВС треугольника ABC. Докажите, что MN ||AC.

   Назовите и запишите, что дано и что нужно найти. Сделайте чертеж к задаче.

   Для того, чтобы доказать, что стороны MN и AC параллельны, чем мы будем пользоваться?

   Мы с вами знаем, что все признаки параллельности связаны с углами. Чем мы будем пользоваться для того, чтобы доказать равенство углов?

   На предыдущих уроках мы говорили о подобных треугольниках.

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

  Всего существует три признака подобия треугольников.

  два угла одного треугольника соответственно равны двух углам другого треугольника.

   две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами равны.

   три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

   Открыли тетради, записывают дату, классная работа.

   Внимательно читают условие задачи.

   Пытаются решить задачу самостоятельно, один человек решает около доски.

Дано: ABC – треугольник, точка М — середина стороны АВ, и N — середина стороны ВС.

Доказать: MN || AC.

   Для доказательства параллельности сторон воспользуемся признаками параллельности прямых.

   Для того, чтобы доказать равенство углов воспользуемся признаками подобия треугольников.

Доказательство:

1.  – общий;

 т.к. точки М и N — середины сторон АВ и ВС.

   Следовательно, треугольник ABC подобен треугольнику BMN, по двум пропорциональным сторонам и углам, заключенным между этими сторонами.

2. BMN=BAC т.к. треугольник ABC подобен треугольнику BMN.

3. MN || AC т.к. BMN и BAC – соответственные при прямых МN и АС и секущей АВ.

Ч.т.д.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

   Посмотрите на рисунок к задаче. В данной задаче мы с вами рассматривали отрезок MN, который имеет свое собственное «ИМЯ» и обладает определенными свойствами.

   Как бы вы назвали отрезок MN?

   Как вы думаете, чем мы будем заниматься сегодня на уроке?

   Внимательно изучают рисунок к уже решенной задаче.

   Предлагают свои варианты названия отрезка MN.

   Сегодня на уроке мы познакомимся с «ИМЕНЕМ» отрезка MN и его свойствами.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

И так, мы определили цель сегодняшнего урока.

 А темой сегодняшнего урока будет «Средняя линия треугольника».

Запишите тему сегодняшнего урока.

  И так, рассматриваемый нами отрезок MN называется средней линией треугольника.

   Как вы думаете ребята, что же такое средняя линия треугольника?

   Так вот, средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

   Как вы думаете, а сколько средних линий можно провести в одном треугольнике?

   Верно, а теперь нам предстоит выяснить, какими свойствами обладает средняя линия треугольника.

   Для этого вернемся к рисунку и к ранее разобранной задаче. Каким свойством обладает средняя линия?

   Верно. Но это не единственное свойство средней линии.

   Как вы думаете, каким еще свойством обладает средняя линия треугольника?

   Еще одним свойством является то, что средняя линия равна половине основания.

   Давайте докажем это. (Доказательство производится с помощью учеников)

Пусть дан треугольник ABC, где MN– средняя линия. Докажем, что MN || ACи MN = .

   Заметим, что первую часть теоремы мы с вами уже доказывали в начале урока.

   Теперь предлагаю доказать второе утверждение.

Поиск доказательства теоремы:

1. Что нужно доказать?

2. Что для этого нужно доказать?

3. В какие треугольники входят рассматриваемые отрезки?

4.Что нужно знать, чтобы доказать подобие треугольников?

5. Какие пары равных и (или) пропорциональных элементов можно указать в данных треугольниках?

6. Какой вывод можно сделать по этим данным?

7. Какой вывод можно сделать об отрезках MN и AC?

9. Какой вывод можно сделать из доказанного?

   Два доказанных нами свойства можно объединить в следующую теорему, доказательство которой будет состоять из 2-х частей:

   Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

   Доказанные нами свойства мы можем применять при решении различных задач.

   Записывают тему урока в тетрадь.

   Предлагают свои варианты формулировки определения средней линии треугольника.

   В одном треугольнике можно провести три средние линии.

   Внимательно изучают уже знакомый рисунок и отвечают на вопросы учителя.

   Средняя линия треугольника параллельна основанию треугольника.

   Высказывают свои предположения относительно свойства средней линии треугольника.

   Записывают краткую запись вместе с рисунком в тетрадь.

Дано: ABC – треугольник, MN– средняя линия.

Доказать: 1. MN || AC;

                    2. MN = .

1. Нужно доказать, что

MN = .

2. Для этого нужно доказать подобие треугольников, содержащих стороны MN и AC.

3. Рассматриваемые отрезки входят в треугольники BMN и BAC.

4. Нужно знать три пары пропорциональныхсторон, или две пары равных углов, или две пары пропорциональных сторон, и пару равных углов, заключенных между этими сторонами.

5. Для треугольников BMNи BAC: B–общий,  – по условию.

6. Треугольники BMNи BAC подобны по двум пропорциональным сторонам и углу, заключенному между этими сторонами.

7. Эти отрезки относятся в отношении  , т.к. треугольники BMNи BAC подобны.

9. .

Доказательство:

1. B–общий, , то треугольники BMNи BAC подобны по двум пропорциональным сторонам и углам, заключенным между этими сторонами.

2. BMN=BAC, т.к. треугольники BMNи BAC подобны.

3.  , т.к. треугольники BMNи BAC подобны.

    Следовательно, .

Ч.т.д.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

   У каждого на столе лежит карточка с заданиями.

Задача 1:

   Укажите номера чертежей, на которых указана средняя линия треугольника:

Задача 2:

   Чему равна средняя линия треугольника, параллельная стороне a?

1 клетка = 1 см.

   Чем отличаются эти задания друг от друга? В чем сложность их выполнения?

   Откройте учебник на странице 152, выполним следующие упражнения письменно.

№ 564

   Дан треугольник, стороны которого равны 8 см, 5 см и 7 см. Найдите периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.

   Назовите и запишите, что дано и что нужно найти. Сделайте чертеж к задаче.

   Чем мы будем пользоваться для решения данной задачи?

   Верно.

   Чему у нас получится равна сторона DE?

   Чему равна сторона DF?

   Чему равна сторона EF?

   Как найти периметр треугольника?

   Чему равен периметр треугольника?

   Что запишем в ответ?

№ 567

   Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

   Назовите и запишите, что дано и что нужно найти. Сделайте чертеж к задаче.

   Чем мы будем пользоваться для решения данной задачи?

   Для того, чтобы доказать, что четырехугольник является параллелограммом, чем мы будем пользоваться?

   Чем отличаются друг от друга и что общего у двух последних задач? В чем состоит трудность решения данных задач?

Решают задания с карточки самостоятельно в тетрадях, после проверяем устно, обсуждая способ решения.

Задача 1:

Средняя линия треугольника указана на чертежах 1 и 3.

Задача 2:

  Средняя линия треугольника, параллельная стороне aравна

 (см)

Для определения длины средней линии треугольника используется теорема (свойства средней линии).

Говорят о возникших трудностях при решении задач, если они были.

Открывают учебник на указанной странице и приступают к выполнению первого задания самостоятельно. Один ученик решает около доски.

Дано:ABC, DEF– треугольники; AB = 5 см, BC = 8 см, AC = 7 см,

AD = BD, AE = EC, BF = FC.

Найти: .

   Для решения данной задачи воспользуемся свойствами средней линии треугольника.

Решение:

   1. DE – средняя линия треугольника ABC, т.к. D – середина AB, E–середина AC;

      Следовательно, DE = BC. DE =  = 4 см.

  2.  DF – средняя линия треугольника ABC, т.к. D – середина AB, F–середина BC;

      Следовательно, DF = AC. DF =  = 3,5 см.

 3.  EF – средняя линия треугольника ABC, т.к. E–середина AC, F–середина BC;

      Следовательно, EF = AB. EF =  = 2,5 см.

4. = DE + DF + EF;

 = 4 + 3,5 + 2,5 = 10 (см).

Ответ: 10 см.

Дано:GHIJ–произвольный четырехугольник;

MG = MJ, KG = KH, LH = LI, IN = NJ.

Доказать: MKLN– параллелограмм.

   Для решения данной задачи воспользуемся свойствами средней линии треугольника.

   Для того, чтобы доказать, что четырехугольник является параллелограммом, воспользуемся признаком:

Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны.

Доказательство:

   1. Рассмотрим треугольник JGH:

MK – средняя линия, т.к. M–середина GJ, K–середина GH.

       Следовательно, MK || JH; и MK = JH.

2. Рассмотрим треугольник JIH:

NL – средняя линия, т.к. L–середина HI, N–середина JI.

Следовательно, NL || JH; и NL=JH.

   3. MK || NL, т.к. MK || JH, и NL || JH.

   4. MK = NL т.к. MK = JH и NL=JH.

   5. MKLN– параллелограмм, т.к. MK = NL и MK || NL. (по признаку параллелограмма)

Ч.т.д.

   Отвечают на поставленные учителем вопросы.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

      У каждого на столе лежит лист для самооценки, называется «Дерево успехов»

Выберите изображение «яблоко» - если на уроке нам удалось выполнить все задания правильно;

   «цветочек» - если неплохо поработал на уроке, но что-то не совсем получилось;

   «листок» - если сегодня многое не получилось, но вы не отчаиваетесь.

   Оценивают свою деятельность на уроке:

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Чем мы занимались сегодня на уроке?

   Какой отрезок называют средней линией треугольника?

   Какими свойствами обладает средняя линия треугольника?

  Средняя линия треугольника встречается только в задачах, где речь идет о треугольниках?

   Встречались ли мы сегодня с такими задачами?

   Какой отсюда можно сделать вывод?

   Выставление оценок за урок.

   Сегодня на уроке мы рассматривали понятие «средняя линия треугольника», а также познакомились с ее свойствами.

   Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

   Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

  Средняя линия встречается не только в таких задачах.

   Да, встречались. Тогда речь в задаче шла о четырехугольниках.

   Применение свойств средней линии треугольника возможно для решения любых задач, где можно найти треугольники.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

   А теперь откройте дневники и запишите домашнее задание:

  с. 159, вопросы 8,9.

  № 565, 566.

   Открывают дневники и записывают задание на следующий урок.