"Справочник" по геометрии за 7 класс для учащихся 8 класса
учебно-методическое пособие по геометрии (7, 8 класс)

СПРАВОЧНИК   ПО ГЕОМЕТРИИ, 7 КЛАСС

Аннотация. Ни для кого не является секретом то, что при изучении математики затруднения вызывает именно геометрия.

      Если, изучая алгебру, составляются алгоритмы решения заданий, то в геометрии таких алгоритмов практически нет, так как почти каждая задача  - нестандартная. Сложность еще заключается в том, что любую геометрическую задачу можно решить разными способами и каждый из них требует знания всего теоретического материала.

       Уникальность геометрии как учебного предмета заключается в том, что она позволяет наиболее ярко устанавливать связи между естественными представлениями об окружающих предметах и их абстрактными моделями; формировать мыслительные операции различных видов и уровней; учитывать индивидуальные особенности протекания психических процессов учащихся. Ясно, что успешное решение этих задач возможно лишь при условии непрерывного геометрического образования.

Цель работы – создание справочника по геометрии, в котором

- изложить курс геометрии, кратко и последовательно;

- помочь обучающимся овладеть базовым понятийным аппаратом по основным

   разделам содержания,

- систематизировать знания о плоских фигурах и их свойствах.

      Учитывая что, особенностью модернизации образовательного процесса на современном этапе является усиление самостоятельности обучающихся на всех его организационных этапах, предлагаемый справочник предназначен для самостоятельного выбора той или иной темы в решении задач.

          Справочник содержит все определения, правила, формулы и теоремы геометрии      7 класса.  Подробное и последовательное содержание  курса геометрии позволяет легко и быстро получать необходимую информацию.

             Он имеет двоякое значение. Во-первых, здесь можно получить достаточно полное  объяснение. Все определения, правила, формулы и теоремы сопровождаются рисунками.  Во-вторых, этот справочник, может служить пособием для  обучения геометрии.  На каждом уроке возможно изучение  конкретных понятий, теорем и использование справочника в виде конспекта, который в отличие от учебника остается у обучающегося (ведь учебник в конце года сдается в библиотеку).

    Ключевые слова: геометрия, точка, угол, треугольник, параллельные прямые, перпендикулярные прямые, расстояние, аксиома, теорема, признак, биссектриса, медиана, высота, катет, гипотенуза.  

1. Геометрия  (греч. слова geо – «Земля» и metreo – «измеряю») – наука, занимающаяся изучением геометрических фигур (в переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие»).

2. В планиметрии (лат.слово planum – «плоскость» и metreo – «измеряю») изучаются свойства фигур на плоскости. В стереометрии ( греч. слова stereos – «объемный» и metreo – «измеряю») изучаются свойства фигур в пространстве.

       К основным геометрическим фигурам на плоскости относятся точка, прямая  линия (линия - лат. слово linea – «лен», «нить», «шнур», «веревка»).

      Точка — это самая малая геометрическая фигура, которая является основой всех прочих построений (фигур) в любом изображении или чертеже.

       Точка — это абстрактный объект, который не имеет измерительных характеристик: ни высоты, ни длины, ни радиуса. В рамках задачи важно только его местоположение.

Точка обозначается заглавной (большой) латинской буквой, несколько точек разными буквами, чтобы их можно было различать.

Всякая более сложная геометрическая фигура — это множество точек, которые обладают определенным свойством, характерным только для этой фигуры.

      Прямую линию, или прямую, можно представить себе как бесчисленное множество точек, которые расположены на одной линии, не имеющей ни начала, ни конца. На листе бумаги мы видим только часть прямой линии, так как она бесконечна.

        Прямая линия — это линия,  которая не искривляется, не имеет ни начала, ни конца, её можно бесконечно продолжать в обе стороны. Даже когда виден небольшой участок прямой, предполагается, что она бесконечно продолжается в обе стороны.

Обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами — точками, лежащими на прямой.                                                                                                                 

Прямая линия изображается так:

                                             а                                                                                

или

       Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

3.  Отрезок, луч, ломаная линия — простейшие геометрические фигуры на плоскости.

     Часть прямой линии, ограниченная с двух сторон точками, называется отрезком прямой, или отрезком. Эти точки называются концами отрезка.

    Отрезок изображается так:  ЕМ, АВ.  

   Луч — это направленная полупрямая, которая имеет точку начала и не имеет конца. Луч изображается так:     АВ

    Если на прямой вы поставили точку, то этой точкой прямая разбивается на два луча, противоположно направленных. Такие лучи называются дополнительными.

     В                  А                      С

        АВ и АС – дополнительные лучи.

     Ломаная линия — это несколько отрезков, соединенных между собой так, что конец первого отрезка является началом второго отрезка, а конец второго отрезка — началом третьего отрезка и т. д., при этом соседние (имеющие одну общую точку) отрезки расположены не на одной прямой. Если конец последнего отрезка не совпадает с началом первого, то такая ломаная линия называется незамкнутой.

На рисунке  изображена трехзвенная ломаная линия.

   4. Угол  (лат.слово angulus – «угол») — это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а точка — вершиной угла. Или  угол — это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, исходящими из одной точки, называемой вершиной угла.

   Если плоскость круга разделить на 360 равных частей радиусами, то 1/360 часть круга — это угловой градус (лат. слово gradus – «шаг», «ступень»), который обозначается знаком « ° » (читается — «градус»).  Следовательно, 1° = 1/360 часть круга.

          Круг составит 1/360 * 360 = 1° * 360 = 360°.

         Угол, равный плоскости круга, составляет 360° и называется полным углом.

5. Угол называется развёрнутым, если обе его стороны лежат на одной прямой.                   Развёрнутый угол равен 180°.

      Если плоскость круга разделить диаметром (двумя радиусами, расположенными на одной прямой линии) на две равные части, то плоскость полукруга составит  угол в   360°: 2 = 180°.

      Если плоскость круга разделить двумя диаметрами (горизонтальной и вертикальной линиями) на четыре равные части, то плоскость одной части составит угол в   360° : 4 = 90°.

6. Угол называется прямым, если он равен 90°, он равен четвертой части круга

7. Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

   Углы равны, если равны их градусные меры или у них при наложении одного угла на другой совпадают вершины и соответствующие стороны углов.

   8. Угол называется острым, если он меньше 90° (т.е. меньше прямого угла).

Все острые углы имеют градусную меру в пределах: больше 0° и меньше 90°.

9. Угол называется тупым, если он больше 90°, но меньше 180° (т.е. больше прямого, но меньше развёрнутого).

                      Угол 135°

 10. Середина отрезка — это точка отрезка, делящая его пополам, т.е. на два равных отрезка.

АС = ВС =1/2 АВ

11.  Биссектрисой (от лат. bi - "двойное", и sectio - "разрезание") угла называется луч, который исходит из вершины угла и делит  угол на две равные части (пополам)

12. Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными. Сумма смежных углов равна 180°.

               ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180° .

13. Два угла называются вертикальными (лат. слово verticalis – «вершинный»), если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.  Вертикальные углы равны.

 ∠АОВ=∠COD,     ∠ АОС = ∠ ВOD.

14. Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла (перпендикуляр - лат. perpendicularis «отвесный»).

   Если прямые  AС и ВD  пересекаются  и ∠1 = ∠2= ∠3= ∠4 = 90°, то AС ⊥ ВD.

или 

     Две прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными.

 Если прямая а и прямая в пересекаются в точке О и ∠СОВ = 90°, то а ⊥ в.

     Перпендикулярность прямых (или их отрезков) обозначают знаком перпендикулярности «⊥».

  Свойства перпендикулярных прямых

а) Через точку А можно провести только одну перпендикулярную прямую АH к прямой BT; остальные прямые, проходящие через точку А и пересекающие BT, называются наклонными   (прямые АB, AC и АT).

б) Длина перпендикуляра (длина отрезка АH), проведенного из точки А на прямую BT,— это самое короткое расстояние от A до BT. 

              Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к прямой.

с) Несколько перпендикуляров, проведенных через различные точки к одной  прямой, никогда между собой не пересекаются.

15. Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой и трех отрезков, соединяющих эти точки. Точки называются вершинами, а отрезки— сторонами треугольника.

Вершины: А, В, С

Стороны: АС, АВ, ВС,  или соответственно b, c, а.

         Периметром треугольника, как в прочем и любой фигуры, называется сумма длин всех сторон. Периметр - греч.слово peri – «вокруг», «около» и metreo – «измеряю».

16. Если два треугольника равны,  то элементы (т.е.три стороны и три угла) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.

   У равных треугольников все соответствующие элементы равны (стороны, углы, высоты, медианы, биссектрисы, средние линии и т.д.)

   В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов – равные стороны.

17. Теорема – утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений. Сами рассуждения называются доказательством теоремы. Теорема состоит из двух утверждений: утверджение-условие, утверждение-вывод. Теорему всегда можно записать в виде:

                     Если   «утверджение-условие»,   то   «утверждение-вывод».

      Признак – это свойство,  по которому познают или узнают предмет, свойство объекта, обуславливающее его различие или общность с другими объектами.

       Признак в математике это теорема, в которой утверждается, что определенные условия обеспечивают принадлежность фигуры (фигур) конкретному множеству, которое было определено ранее (например,  множеству треугольников).

18. Теорема. Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

      Если

                                                               то  

19. Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к  прямой, содержащей противоположную сторону.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.

    ha –высота, проведенная из вершины А к стороне а,

                                  hb - высота, проведенная из вершины В к стороне b,

                                  hc - высота, проведенная из вершины С к стороне с.

20. Медианой  (лат. mediāna — средний) треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

21. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

  la –биссектриса угла А,    lb - биссектриса угла B,

                                            lc - биссектриса угла С.

           Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, находящейся внутри треугольника, равноудалённой от трёх его сторон, которая является центром окружности, вписанной в данный треугольник.

22. Свойства медианы, биссектрисы и высоты треугольника. В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке; биссектрисы пересекаются в одной точке; высоты или их продолжения также пересекаются в одной точке.

23. Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием  равнобедренного треугольника.

     Если АВ = ВС, то треугольник АВС – равнобедренный.

24. Теорема о свойстве равнобедренного треугольника. 

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠A = ∠C.

25.  Теорема о свойстве равнобедренного треугольника.

           В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.     BL – медиана, высота.

         В равнобедренном треугольнике  медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.     BL –биссектриса, высота.

          В равнобедренном треугольнике  высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.     BL – медиана, биссектриса.

26. Треугольник называется равносторонним или правильным , если все его стороны равны.  Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Все углы равностороннего треугольника равны:

                               ∠A = ∠В = ∠C = 60°.

     27. Теорема. Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если

                                                                     то

28. Теорема. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если

                                                                 то  

29. Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, равноудаленных от данной точки. Данная точка называется центром окружности (лат. слово centrum – «острие ножки циркуля», «колющее орудие»).

 Длина окружности:   

Площадь круга:  

30. Радиус  (лат. radius — спица колеса, луч) окружности – отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо её точкой. Для любой точки L, лежащей на окружности выполняется равенство OL=R. Длина отрезка  OL  равна радиусу окружности.

31. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой (греч. χορδή «струна, жила»). CD – хорда.

    Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром (греч. διάμετρος «поперечник»).

AB = D,  D= 2R.

 32.    Часть окружности, заключенная между двумя ее точками называется дугой

(от русск. «радуга»); окружности. Две точки окружности определяют две дуги.

  Хорда  CD стягивает две дуги:  CАD и  CВD

33. Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью.

       Круг — геометрическое место точек плоскости (всех таких точек), расстояние от которых до заданной точки, называемой центром круга, не превышает заданного неотрицательного числа, называемого радиусом этого круга. Если радиус равен нулю, то круг вырождается в точку. Границей круга по определению является   окружность. 

34. Две прямые на плоскости называются параллельными (параллель от греч. παράλληλος «линия, идущая вдоль другой»), если они не пересекаются. Две прямые  называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их ни продолжать.

Для обозначения параллельных прямых используют символ «||». То есть, если прямые c и d параллельны, то можно кратко записать:   

 c || d

35. Расстоянием между параллельными прямыми называется  расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

36 .Теорема. Свойство параллельных прямых. Все точки одной параллельной прямой находятся на одинаковом расстоянии от другой параллельной прямой.

          Принято считать, что угол между параллельными прямыми равен нулю.

 Угол между двумя параллельными лучами равен нулю, если у них одинаковые направления, и 180°, если их направления противоположны. 

37. При пересечении двух прямых секущей образуется восемь углов: накрест лежащие, односторонние и соответственные:

    1)  соответственные углы ( 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8 ); эти углы попарно  

          равны: ( 1 =  5;  2 =  6;  3 =  7;  4 =  8 );

     2)  внутренние накрест лежащие углы ( 4 и 6; 3 и 5 ); они попарно равны;

     3)  внешние накрест лежащие углы ( 1 и 7; 2 и 8 ); они попарно равны;

     4)  внутренние односторонние углы ( 3 и 6; 4 и 5 ); их сумма равна 180°

    ( 3 +  6 = 180° ;  4 +  5 = 180° );

5)  внешние односторонние углы  ( 1 и 8; 2 и 7 ); их сумма равна 180°

     ( 1 +  8 = 180°,   2 +  7 = 180°).

 38. Теорема. Признак параллельности двух прямых по накрест лежащим углам. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.     Если 4=  6, то прямые параллельны.

39. Теорема. Признак параллельности двух прямых по соответственным углам. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.         Если 2 =6, то прямые  параллельны.

40.Теорема. Признак параллельности двух прямых по односторонним углам. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.    Если  3 +  6 = 180°, то прямые параллельны.

41. Аксиомы (греч. слово axios- ценный; axioma – «принятие положения», «почет», «уважение», «авторитет») – это утверждения о свойствах геометрических фигур, которые принимаются без доказательств в качестве исходных положений, на основе которых доказываются теоремы и строится вся геометрия.  

42. Аксиома. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

43. Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

 Через точку K, не лежащую на данной прямой a, проходит только одна прямая b, параллельная данной прамой a.

44. Теорема. Свойства параллельных прямых. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

 Если прямая c пересекает одну прямую a, причем  a || b,  то она пересекает и прямую  b.

45.Теорема. Признак параллельных прямых.

       Если две  прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

              Если a || c,  b || c, тогда  a || b.

46.   Во всякой теореме две части: условие (то, что дано) и заключение (то, что требуется доказать).

         Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является вывод данной теоремы, а выводом – условие данной теоремы.

47. Теорема (обратная). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

       Если a || b, тогда 3=5.

48. Теорема(обратная).  Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.    Если  a || b, тогда 4=8

49.Теорема(обратная).  Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.  Если  a || b, тогда 3+8=180°.

50.Углы с соответственно параллельными сторонами либо равны друг другу  ( если они оба острые, или оба тупые), либо их сумма равна 180°.

               АВС = DEF                                                 ABC + DEF = 180° 

51.Углы с соответственно перпендикулярными сторонами  либо равны друг другу ( если они оба острые, или оба тупые ),  либо их сумма равна 180°( если один из них острый, а другой тупой).

   52.Обратная теорема. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами равны между собой, если они оба острые или оба тупые.

 53.Углами (внутренними углами) треугольника называются три угла, каждый из которых образован тремя лучами, выходящими из вершин треугольника и проходящими через две другие вершины.

54. Теорема о сумме углов треугольника. Сумма углов треугольника равна 180°.

55. Внешним углом треугольника называется угол,  смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.

56.  Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.                 

57. Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным.

58. Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным.

59. Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным.

60. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой (греч.слово gyipotenusa – «стягивающая»), а две стороны, образующие прямой угол — катетами (лат. слово katetos – «отвес»).

 61. Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно, против большего угла лежит большая сторона. 

62. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

т.к. напротив большего угла всегда лежит большая сторона.

63. Признаки  равнобедреного треугольника. 

 -    если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный;

 - если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой,  
                  то этот треугольник равнобедренный;

 -    если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой, то  

                  этот треугольник равнобедренный; 

 -    если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой,

                   то этот треугольник равнобедренный. 

   64. Теорема. Неравенство треугольника. Длина каждой стороны треугольника больше разности и меньше суммы длин двух других сторон:  

65.Свойство углов прямоугольного треугольника.

 Сумма  двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

               A + В = 90°

66. Свойство  прямоугольного треугольника.

 Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

                   Если  /  А  = 30°, то ВС = ½ АВ

67. Свойства прямоугольного треугольника. 

а) Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

     Если ВС = ½ АВ, то /  B  = 30°

б) Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. 

          медиана CF = ½ AB

68. Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам.

 Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

69. Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу. 

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого, то такие треугольники равны.

70.  Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.

 Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

71. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.