Задания-тренажеры для подготовки к ЕГЭ по геометрии 11 класс
тренажёр по геометрии (11 класс)

ЕГЭ 2017 Задание №6

Прямоугольный треугольник. Вычисление углов.

1. В треугольнике  угол  равен 90°, . Найдите .
2. В треугольнике  угол  равен 90°, . Найдите .
3. В треугольнике  угол  равен 90°, . Найдите 
4. В треугольнике  угол  равен 90°, . Найдите .
5. В треугольнике  угол  равен 90°, . Найдите .
6. В треугольнике  угол  равен 90°,  – высота, , . Найдите .
7. В треугольнике  угол  равен 90°, высота  равна 20, . Найдите .
8. В треугольнике  угол  равен 90°, высота  равна 4, . Найдите .
9. В треугольнике  угол  равен 90°, синус внешнего угла при вершине  равен .

Найдите 

10. В треугольнике  угол  равен 90°, косинус внешнего угла при вершине  равен . Найдите .
11. В треугольнике  угол  равен 90°, тангенс внешнего угла при вершине  равен .

Найдите .

12. Один острый угол прямоугольного треугольника на  больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.
13. Один острый угол прямоугольного треугольника в 4 раза больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.
14. В треугольнике  угол  равен 90°,  – высота, угол  равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Прямоугольный треугольник. Вычисление внешних углов.

1. В треугольнике  угол  равен 90°, . Найдите косинус внешнего угла при вершине .
2. В треугольнике  угол  равен 90°, . Найдите тангенс внешнего угла при вершине .
3. В треугольнике  угол  равен 90°, . Найдите тангенс внешнего угла при вершине .
4. В треугольнике  угол  равен 90°, . Найдите синус внешнего угла при вершине .
5. В треугольнике  угол  равен 90°, , . Найдите тангенс внешнего угла при вершине .
6. В треугольнике  угол  равен 90°, , . Найдите тангенс внешнего угла при вершине .
7. В треугольнике  угол  равен 90°, угол  равен . Найдите синус угла .
8. В треугольнике  угол  равен 90°, угол  равен . Найдите тангенс угла . В ответе укажите 

Прямоугольный треугольник. Вычисление элементов.

1. В треугольнике  угол  равен 90°, , . Найдите .
2. В треугольнике  угол  равен 90°, , . Найдите .
3. В треугольнике  угол  равен 90°, , . Найдите .
4. В треугольнике  угол  равен 90°,   — высота, , . Найдите 
5. В треугольнике  угол  равен 90°,  – высота, , . Найдите .
6. В треугольнике  угол  равен 90°, , . Найдите высоту 
7. В треугольнике  угол  равен 90°,  – высота, , . Найдите .

8. В треугольнике  угол  равен 90°,  – высота, , . Найдите .
9. В треугольнике  угол  равен 90°, синус внешнего угла при вершине 

равен , . Найдите .

10. В треугольнике  угол  равен 90°, косинус внешнего угла при вершине 

равен , . Найдите .

11. В треугольнике  угол  равен 90°, синус внешнего угла при вершине 

равен , . Найдите .

12. В треугольнике  угол  равен 90°, тангенс внешнего угла при вершине равен -0,5, . Найдите .
13. В треугольнике  угол  равен 90°,  – высота, , . Найдите .
14. В треугольнике  угол  равен 90°, угол  равен , . Найдите .
15. В треугольнике  угол  равен 90°, угол  равен , . Найдите .
16. В треугольнике  угол  равен 90°, угол  равен , . Найдите .
17. В треугольнике  угол  равен 90°,  – высота, угол  равен , . Найдите .

Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если стороны квадратных клеток равны 1.

 Равнобедренный треугольник: вычисление углов

1. В треугольнике  , . Найдите .
2. В треугольнике  , . Найдите .
3. В треугольнике  , высота  равна 4, . Найдите .
4. В треугольнике  ,  – высота, . Найдите .
5. В треугольнике  , высота  равна 20, . Найдите .
6. В тупоугольном треугольнике  , высота равна 4. Найдите .
7. В треугольнике  , высота  равна 24, . Найдите .
8. В треугольнике  , . Найдите тангенс внешнего угла при вершине 

Равнобедренный треугольник: вычисление элементов

1. В треугольнике  , . Найдите .
2. В треугольнике  , . Найдите .
3. В треугольнике  , , . Найдите высоту .
4. В треугольнике  , высота  равна 20, . Найдите .
5. В треугольнике  ,  – высота, , . Найдите .
6. В треугольнике  , , косинус внешнего угла при вершине  равен –0,5. Найдите .
7. В треугольнике  угол  равен 90°,   — высота, , . Найдите .
8. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150°. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 100.
9. В треугольнике  . Найдите высоту .
10. В равностороннем треугольнике  высота равна . Найдите стороны этого треугольника.
11. В треугольнике  , угол  равен , . Найдите .

Параллелограмм. Прямоугольник. Ромб. Трапеция.

1. В параллелограмме  . . Найдите высоту, опущенную на сторону .
2. В параллелограмме  , , . Найдите большую высоту параллелограмма.
3. В параллелограмме  . Найдите .
4. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
5. Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.
6. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.
7. Диагональ прямоугольника вдвое больше одной из его сторон. Найдите больший из углов, который образует диагональ со сторонами прямоугольника? Ответ выразите в градусах.
8. В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении , меньшая его сторона равна 6. Найдите диагональ данного прямоугольника.
9. Найдите площадь ромба, если его высота равна 2, а острый угол 30°.
10. Площадь ромба равна 6. Одна из его диагоналей в 3 раза больше другой. Найдите меньшую диагональ.
11. Диагонали ромба относятся как 3:4. Периметр ромба равен 200. Найдите высоту ромба.
12. В ромбе ABCD угол ACD равен 43°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

13. Основания равнобедренной трапеции равны 17 и 87. Высота трапеции равна 14. Найдите тангенс острого угла.
14. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите периметр трапеции.
15. Основания прямоугольной трапеции равны 12 и 4. Ее площадь равна 64. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
16. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите боковую сторону трапеции.
17. Средняя линия трапеции равна 28, а меньшее основание равно 18. Найдите большее основание трапеции.
18. Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Центральные и вписанные углы. Касательная, секущая, хорда.

Вписанные, описанные окружности

1. Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.
2. Радиус окружности равен 1. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.
3. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет окружности. Ответ дайте в градусах.
4. В окружности с центром   и  – диаметры. Центральный угол равен . Найдите вписанный угол . Ответ дайте в градусах.
5. Угол  равен . Градусная величина дуги  окружности, не содержащей точек  и , равна . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
6. Найдите градусную величину дуги  окружности, на которую опирается угол . Ответ дайте в градусах.
7. Найдите хорду, на которую опирается угол , вписанный в окружность радиуса .
8. Угол между хордой  и касательной  к окружности равен . Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой . Ответ дайте в градусах.
9. Угол  равен . Его сторона  касается окружности. Найдите градусную величину большей дуги окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
10. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен . Найдите сторону этого треугольника.
11. В треугольнике  , , угол  равен 90°. Найдите радиус вписанной окружности.
12. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.
13. Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, периметр которого равен 20. Найдите его площадь.
14. Точки , , , расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как . Найдите больший угол треугольника . Ответ дайте в градусах.
15. Сторона  треугольника  равна 1. Противолежащий ей угол  равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
16. Сторона  тупоугольного треугольника  равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
17. Четырехугольник  вписан в окружность. Угол  равен , угол  равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
18. Найдите сторону квадрата, вписанного в окружность радиуса .
19. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны  и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
20. Около окружности, радиус которой равен , описан правильный шестиугольник. Найдите радиус окружности, описанной около этого шестиугольника.
21. Периметр правильного шестиугольника равен 72. Найдите диаметр описанной окружности.

ЕГЭ 2016 Задание №8

Куб

1. Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.
2. Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.
3. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.
4. Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в три раза?
5. Объем куба равен . Найдите его диагональ.
6. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объем увеличится на 19. Найдите ребро куба.
7. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в три раза?
8. Объем одного куба в 8 раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

Прямоугольный параллелепипед

1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 6. Объем параллелепипеда равен 48. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.
2. Объем параллелепипеда  равен 4,5. Найдите объем треугольной пирамиды 
3. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , ,  прямоугольного параллелепипеда , у которого , , 
4. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , ,  прямоугольного параллелепипеда , у которого, , .
5. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Призма

1. В прямоугольном параллелепипеде  известно, что    Найдите длину ребра .
2. Сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2300  воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 25 см до отметки 27 см. Найдите объем детали. Ответ выразите в .
3. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 80 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в см.
4. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота – 10.
5. Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 20, а площадь поверхности равна 1760.
6. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.
7. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.
8. От треугольной призмы, объем которой равен 6, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.
9. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 288. Найдите высоту призмы.
10. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 8. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.
11. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , ,  правильной треугольной призмы , площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.
12. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , ,  правильной шестиугольной призмы , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.
13. Найдите расстояние между вершинами А и D прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA = 3.
14. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите угол  Ответ дайте в градусах.
15. В прямоугольном параллелепипеде  известно, что , , Найдите длину диагонали 
16. В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 3, найдите угол между прямыми  и . Ответ дайте в градусах.
17. В правильной четырёхугольной призме  известно, что . Найдите угол между диагоналями  и . Ответ дайте в градусах.

Пирамида

1. В правильной треугольной пирамиде  медианы основания  пересекаются в точке . Площадь треугольника  равна 2; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка .
2. В правильной четырехугольной пирамиде  точка  – центр основания,  – вершина, =12, =18. Найдите боковое ребро 
3. В правильной треугольной пирамиде    – середина ребра ,   – вершина. Известно, что =7, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 42. Найдите длину отрезка .
4. Объем параллелепипеда  равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды .
5. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?
6. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?
7. Объем треугольной пирамиды , являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды , равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды.
8. Объем правильной четырехугольной пирамиды  равен 12. Точка  – середина ребра . Найдите объем треугольной пирамиды .
9. От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.
10. Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.
11. Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.
12. В правильной треугольной пирамиде  медианы основания пересекаются в точке . Объем пирамиды равен , . Найдите площадь треугольника .

Элементы составных многогранников

Цилиндр

1. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 21, а диаметр основания равен 7. Найдите высоту цилиндра.
2. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 18, а диаметр основания равен 9. Найдите высоту цилиндра.
3. В цилиндрический сосуд налили 2000  воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в .
4. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в  раза больше первого? Ответ выразите в см.
5. Объем первого цилиндра равен 12 м3. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания — в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.
6. В цилиндрический сосуд, в котором находится 6 литров воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза. Чему равен объем детали? Ответ выразите в литрах.
7. Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.
8. Площадь боковой поверхности цилиндра равна , а диаметр основания — 1. Найдите высоту цилиндра.
9. Площадь боковой поверхности цилиндра равна , а высота — 1. Найдите диаметр основания.

Конус

1. Высота конуса равна 12, а диаметр основания – 10. Найдите образующую конуса.
2. Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
3. Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 3 раза?
4. Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 1,5 раза?
5. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 3 раза?
6. Площадь полной поверхности конуса равна 12. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.
7. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает  высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Шар

1. Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.
2. Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 2 раза?
3. Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в три раза?
4. Объем одного шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Комбинация тел

1. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда.
2. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 4. Объем параллелепипеда равен 16. Найдите высоту цилиндра.
3. В куб вписан шар радиуса 1. Найдите объем куба.
4. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 25.
5. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.
6. Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,5 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.
7. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 150.
8. Объем прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы.
9. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?
10. Объем тетраэдра равен 1,9. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.
11. Площадь поверхности тетраэдра равна 1,2. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.
12. Цилиндр описан около шара. Объем шара равен 24. Найдите объем цилиндра.
13. Конус вписан в цилиндр. Объем конуса равен 5. Найдите объем цилиндра.

14. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 2. Площадь боковой поверхности призмы равна 48. Найдите высоту цилиндра
15. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна . Найдите радиус сферы.
16. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен . Найдите образующую конуса.
17. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Объем составных многогранников

 Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).