Презентация "Сфера"
презентация к уроку по геометрии (11 класс)

Урок геометрии в 11-м классе по теме "Сфера и шар. Уравнение сферы"

Цель: ввести понятие сферы, шара и их элементов, вывести уравнение сферы в заданной прямоугольной системе координат, научить решать задачи по данной теме.

Оборудование: презентация

Кратчайший путь - путь по прямой?

Ход урока

1. Мотивация изучения темы

Учитель: Наметив мелом две точки на классной доске, учительница предлагает юному школьнику задачу:начертить кратчайший путь между этими точками.

Ученик, подумав, старательно выводит между ними извилистую линию.

- Вот так кратчайший путь! -удивляется учительница. - Кто тебя так научил?

- Мой папа. Он шофер такси.

Чертеж наивного ученика,конечно, анекдотичен, но разве кратчайшим расстоянием от мыса Доброй Надежды до южной оконечности Австралии является отрезок? Нет, это дуга, которая называется ортодромия, и изучается все это в сферической геометрии, которая очень важна для мореплавания и астрономии.

Сегодня мы затронем маленький кусочек этой геометрии и займемся изучением сферы и шара. (слайд № 1)

2. Объяснение новой темы

- Вспомните определение окружности (Окружность геометрическая фигура, состоящая из всех точек,расположенных на заданном расстоянии от данной точки). (слайд № 2)

- Дайте определение сферы (Сфера- поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки). (слайд № 3)

- А что же по этому поводу говорит словарь? (Сообщение ученика)

Сферой называют поверхность шара. У нее есть замечательное свойство: все ее точки находятся на одном и том же расстоянии от некоторой точки, находящейся внутри - центра сферы. Если разрезать сферу плоскостью, то получим окружность. Сфера единственная поверхность, при пересечении которой плоскостью всегда получается окружность. Если пересекающая плоскость проходит через центр сферы, то полученная окружность будет самой большой. Еще одно важное свойство: из всех сосудов одинаковой вместимости у сферического наименьшая поверхность.

- По аналогии с окружностью,дайте определение радиуса сферы, центра и диаметра сферы. (Диаметр сферы -отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр. (= 2R)) (слайд № 4)

- Вспомните определение круга(Круг - часть плоскости, ограниченная окружностью).

- Дайте определение шара (Шар -тело, ограниченное сферой).

- Есть и другое определение шара(Шар радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек). (слайд № 5)

- Сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг ее диаметра, а шар - вращением полукруга вокруг его диаметра.

- Введем прямоугольную систему координат Oxyz и некоторую поверхность F . Уравнение с тремя переменными х, у,z называется уравнением поверхности Р, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности.

Поэтому уравнение сферы радиусаR с центром О (Хо, Уо, Zo) будет выглядеть таким образом: расстояние от произвольной точки М (х, у, z) до О (Хо,Уо, Zo) вычисляется по формуле

МО = ,т.к. MO=R

R = , т .к. М  - любая точка сферы,то уравнение сферы

(х - хо)2+ (у - уо)2 + (z - zo)2 == R2

Тогда уравнение шара (х -хо)2 + (у - уо)2 +(z - zo)2R  (слайд № 6)

3. Формирование умений и навыков учащихся

№ 573 (проверка решения) (слайд№ 7)

№ 576(а), № 578(а), № 577(а) самостоятельно,ответ проверяется (слайд № 8), № 579(а)

4. Итог

- Дайте определение сферы; чем шар отличается от круга?

5. Домашнее задание

П. 58,59, № 573(б), 576(в), 579(б) (слайд № 9).

онспект урока "Сфера и шар. Уравнение сферы"

На этом уроке мы вспомним понятия сферы и шара. Дадим их определения. Рассмотрим их основные элементы. А также выведем уравнение сферы радиуса  с центром в точке .

Итак, рассмотрим понятия сферы и шара. В окружающем мире предметы имеют очень разнообразные формы. Среди них встречаются так называемые «круглые тела». Особое место среди круглых тел занимает шар.

Итак, шар – это геометрическое тело.

Форму, близкую к форме шара, имеют шарики мороженного, снежный ком, бусинки, светильники.

Некоторые архитектурные сооружения.

Декоративным растениям также придают форму шара.

Поверхность шара называют сферой. Можно сказать, что сфера – это как-бы оболочка или граница шара. Как окружность, есть граница круга, так и сфера – это граница шара.

Представление о сфере дают полые круглые предметы, например, мячи (футбольный, баскетбольный, волейбольный и т.д.), шарики для украшения ёлки, мыльные пузыри.

А также ставший популярным видом отдыха в наше время «аквазорбинг». Зорб даёт представление о сфере.

Сфера входит в число наиболее привлекательных пространственных фигур. Использование в строительстве и архитектуре конструкций, имеющих форму сферы, придает сооружениям особое величие и служит подтверждением тому, что сфера – достаточно гармоничная геометрическая фигура.

Чтобы уяснить разницу между понятиями шар и сфера, давайте внимательно посмотрим на экран.

Перед вами изображены воздушный шар и бильярдный шар. Отметим, что оба этих предмета называют шарами. Однако в первом случае мы имеем дело со сферой, а во втором с полноценным шаром со своим содержимым внутри.

Определение:

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

А теперь назовём основные элементы сферы.

Данная точка называется центром сферы (в нашем случае это точка О), а данное расстояние – радиусом сферы. Радиус сферы часто обозначают латинской буквой .

Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Все радиусы одной сферы равны между собой.

Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две точки сферы.

Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется диаметром сферы. Любой диаметр сферы равен двум радиусам .

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Определение:

Шар – это совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного.

Центр, радиус, хорда и диаметр сферы называются также центром, радиусом, хордой и диаметром шара.

Т.е. отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром шара, называется радиусом шара.

Отрезок, соединяющий две точки сферы называется хордой шара.

Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр шара, называется диаметром шара. Диаметр шара равен двум радиусам .

Рассмотрим чертёж.

Перед нами математическое изображение шара. Точка О – это центр шара. Все точки поверхности шара одинаково удалены от центра шара. Понятно, что шар радиуса  с центром О содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем  (включая саму точку О), и не содержит других точек.

Хотелось бы обратить внимание на то, что шар может быть получен путём вращения полукруга вокруг его диаметра.

При этом сфера образуется в результате вращения полуокружности вокруг её диаметра.

Задача: отрезок  – хорда сферы, не проходящая через центр сферы . Вычислите расстояние от центра сферы до середины хорды , если радиус сферы равен  см, а длина хорды  равна  см.

Решение: обозначим середину хорды  точкой .

Рассмотрим . Он равнобедренный, т.е. , так как . А как мы знаем, все радиусы одной сферы равны между собой. Отсюда,  (см).

Теперь рассмотрим . Он прямоугольный, так как отрезок  является серединным перпендикуляром проведённым к хорде . Его катет  (см).

Воспользовавшись теоремой Пифагора найдём катет , который как раз таки и есть расстояние от центра сферы до середины хорды . Получаем, что  (см).

Запишем ответ.

Перейдём к уравнению сферы.

Для начала вспомним, что уравнение с тремя переменными , ,  называется уравнением поверхности , если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности  и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности.

Напомним, что уравнение плоскости, проходящей через точку  и перпендикулярной к ненулевому вектору  имеет следующий вид:

где 

Теперь давайте выведем уравнение сферы радиуса  с центром в точке .

Напомним, что расстояние от произвольной точки  до точки  вычисляется по формуле:

Если точка  лежит на данной сфере, то расстояние , или , т.е. координаты точки  удовлетворяют уравнению:

Если же точка  не лежит на данной сфере, то расстояние , или , т.е. координаты точки  не удовлетворяют уравнению сферы.

Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса  с центром в точке :

Если уравнение относительно прямоугольных координат  определяет поверхность в пространстве, то ею является сфера.

Задача: напишите уравнение сферы с центром в точке  радиусом равным  см.

Решение: запишем уравнение сферы в общем виде, где ,  и  – координаты центра сферы.

Подставим заданные координаты центра сферы в уравнение. Получим, что уравнение данной нам сферы выглядит так:

Запишем ответ.

Задача: найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением: .

Решение: запишем уравнение сферы в общем виде, где ,  и  – координаты центра сферы.

Тогда не трудно заметить, что координаты центра сферы будут равны 2, - 1, 0.

А радиус заданной сферы равен .

Не забудем записать ответ.

Задача: какую поверхность определяет уравнение

 ?

Решение: запишем уравнение сферы в общем виде, где ,  и  – координаты центра сферы.

Преобразуем наше уравнение.

Разделим почленно это уравнение на 4.

Получим, .

Затем выделим полные квадраты. Получим, .  

Преобразуем слагаемые получившегося выражения. Получим, .

Теперь сравним последнее уравнение с уравнением сферы в общем виде. Заметим, что исходное уравнение определяет сферу с центром в точке  и .

Запишем ответ.

Итоги:

На этом уроке мы вспомнили понятия сферы и шара. Узнали, что сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. А шар – это совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Назвали основные элементы сферы и шара. А также вывели уравнение сферы радиуса  с центром в точке .