Пирамида
занимательные факты по геометрии (9 класс)

                 Реферат на тему:

                       Пирамида

Подготовила :  Клеветова Анастасия
Ученица 9 А класса
МБОУ лицея №7

План:

Введение

1 История развития геометрии пирамиды

2 Элементы пирамиды

3 Развёртка пирамиды

4 Свойства пирамиды

5 Теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами

6 Формулы, связанные с пирамидой

7 Особые случаи пирамиды

7.1 Правильная пирамида

7.2 Прямоугольная пирамида

7.3 Усечённая пирамида

8 Связанные определения

9 Интересные факты

Примечания

Литература

Введение

Пирами́да — многогранник, одна из граней которого (называемая основанием) — произвольный многоугольник, а остальные грани (называемые боковыми гранями) — треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные (тетраэдр), четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса.

Общая вершина боковых граней-вершина пирамиды. Высота пирамиды-перпендикуляр, который опущен из вершины пирамиды на плоскость основания. 

 1. История развития геометрии пирамиды
Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Объем пирамиды был известен древним египтянам. Первым греческим математиком, кто установил, чему равен объём пирамиды, был Демокрит , а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке

2. Элементы пирамиды

апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины

боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды;

боковые ребра — общие стороны боковых граней;

вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;

высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);

диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;

основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

3. Развёртка пирамиды

Разверткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга). Приступая к изучению развертки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую пленку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путем изгибания совместить с плоскостью. При этом, если отсек поверхности может быть совмещен с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развертывающейся, а полученную плоскую фигуру – ее разверткой.

4. Свойства пирамиды

Все диагонали пирамиды принадлежат её граням.

Если все боковые ребра равны, то:

около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;

боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы.

также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:

в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;

высоты боковых граней равны;

площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

5.Теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами

Сфера

около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).[4] Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу;

в пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Конус

Конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);[5]

Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);

Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

 Цилиндр

Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.

Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания цилиндра. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды — вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).

6.Формулы, связанные с пирамидой

Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:

V= 1\3 * S * h

где  S — площадь основания и  h — высота;

Полная поверхность — это сумма боковой поверхности и площади основания:

S полная =  S боковая + S основания

Для нахождения боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы:

S b = 1\2 * P*A = n\2 * b * sin a

где a — апофема боковой грани,   P — периметр основания,   n — число сторон основания,  b — боковое ребро, α — плоский угол при вершине пирамиды.

7 Особые случаи пирамиды

7.1. Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:

боковые ребра правильной пирамиды равны;

в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;

в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу;

если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π, а каждый из них соответственно, π\n, где n — количество сторон многоугольника основания;

площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

7.2. Прямоугольная пирамида

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.

7.3. Усечённая пирамида

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

8. Связанные определения

Тетраэдром называется треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды. Кроме того, существует большое различие между понятиями «правильная треугольная пирамида» и «правильный тетраэдр». Правильная треугольная пирамида — это пирамида с правильным треугольником в основании (грани же должны быть равнобедренными треугольниками). Правильным тетраэдром является тетраэдр, у которого все грани являются равносторонними треугольниками.. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды. Кроме того, существует большое различие в понятиях правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр.

9. Интересные факты

Формула для расчёта объёма усечённой пирамиды была выведена раньше, чем для полной.

Примечания

Александров А.Д. Вернер А.Л. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений Изд. 2-е. — Просвещение, 2003 г.. — ISBN 5-09-010773-4

Б. Л. ван дер Варден Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. — КомКнига, 2007 г.. — ISBN 978-5-484-00848-3

Апофема - slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00003/87000.htm, БСЭ

А. Ю. Калинин, Д. А. Терешин Стереометрия. 11 класс. — Физматкнига, 2005 г.. — ISBN 5-89155-134-9

А. В. Погорелов Геометрия: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. — Просвещение, 2008 г.. — ISBN 978-5-09-019708-3

«Свойства правильной пирамиды, вписанной в сферу» Э. Готман. — научный журнал «Квант», 1998 г., 4 выпуск - kvant.mirror1.mccme.ru/1998/04/index.htm

Литература

Александров А.Д. Вернер А.Л. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. — 2-е. — Просвещение, 2003. — 271 с. — ISBN 5-09-010773-4

А. Ю. Калинин, Д. А. Терешин Стереометрия. 11 класс. — Физматкнига, 2005. — ISBN 5-89155-134-9

А. В. Погорелов Геометрия: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. — Просвещение, 2008. — ISBN 978-5-09-019708-3