Конус 11 класс
тренажёр по геометрии (11 класс)

Слайд 1

Учитель математики: Нестерова Елена Николаевна. Практикум №8 по решению стереометрических задач

Слайд 2

Конус в заданиях ЕГЭ

Слайд 3

Содержание Задача №1 Задача №2 Задача №3 Задача №4 Задача №5 Задача №6 Задача №7 Задача № 8 Задача № 9 Задача № 10 Задача № 11 Задача № 12 Задача № 13 Задача № 14 Задача № 15 Задача № 16 Задача № 17 Задача № 18 Задача № 19 Задача № 20 Задача № 21 Задача № 22 Задача № 23 Задача № 24 Задача № 25 Задача № 26 Задача № 27 Задача № 28 Задача № 29 Задача № 30 Задача № 31 Задача № 32 Задачи для самостоятельного решения

Слайд 4

Задача №1 Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 3 и 9, а второго — 6 и 9. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой поверхности первого? Решение. Т.к. площадь боковой поверхности конуса: S= π rl. Значит S1= π ·3·9= 27 π , S2= π ·6·9= 54 π . Тогда S2 : S1 = 54 π : 27 π = 2

Слайд 5

Задача №2 Объём ко­ну­са равен 135. Через точку, де­ля­щую вы­со­ту ко­ну­са в от­но­ше­нии 1:2, счи­тая от вер­ши­ны, про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная ос­но­ва­нию. Най­ди­те объём ко­ну­са, от­се­ка­е­мо­го от дан­но­го ко­ну­са про­ведённой плос­ко­стью. От­но­ше­ние объ­е­мов ко­ну­сов равно кубу их ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. Вы­со­ты ко­ну­сов от­но­сят­ся как 1:3, по­это­му их объ­е­мы от­но­сят­ся как 1:27. Сле­до­ва­тель­но, объем от­се­ка­е­мо­го ко­ну­са равен 135 : 33 = 5.

Слайд 6

Задача №2 Объём ко­ну­са равен 135. Через точку, де­ля­щую вы­со­ту ко­ну­са в от­но­ше­нии 1:2, счи­тая от вер­ши­ны, про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная ос­но­ва­нию. Най­ди­те объём ко­ну­са, от­се­ка­е­мо­го от дан­но­го ко­ну­са про­ведённой плос­ко­стью. От­но­ше­ние объ­е­мов ко­ну­сов равно кубу их ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. Вы­со­ты ко­ну­сов от­но­сят­ся как 1:3, по­это­му их объ­е­мы от­но­сят­ся как 1:27. Сле­до­ва­тель­но, объем от­се­ка­е­мо­го ко­ну­са равен 135 : 33 = 5.

Слайд 7

К задаче №2 Объём конуса равен 32. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью . Решение. Отношение объемов конусов равно кубу их коэффициента подобия k . Так как высоты конусов относятся как 1:2, то k равно одной второй, а значит объем отсекаемого конуса будет равен 32 : 2 ³ = 4.

Слайд 8

Задача №3 Объём конуса равен 50 π а его высота равна 6 . Найдите радиус основания конуса . Найдём ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са по фор­му­ле: V=1/3 · π R²h Откуда R²=3V: π h => R²= 150 π : 6 π = 25. Тогда R =5

Слайд 9

Задача №4 Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 3 раза? Объем ко­ну­са вычисляется по формуле V=1/3 ·Soc.·h . Значит, если высоту увеличить в 3 раза, то и объём увеличится в 3 раза

Слайд 10

Задача №5 Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 1,5 раза? Объем конуса вычисляется по формуле V=1/3·Soc.·h = 1/3 · π R²·h . Значит, если радиус основания увеличить в 1,5 раза, то и объём конуса увеличится в 2,25 раза

Слайд 11

Задача №6 Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 3 раза? Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле S= π R·L, где L -образующая . Значит если увеличить L в 3 раза , то площадь боковой поверхности конуса тоже увеличится в 3 раза .

Слайд 12

Задача №7 Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 1,5 раза, а образующая останется прежней? Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле S= π R·L . Значит, если радиус основания уменьшится в 1,5 раза, то площадь боковой поверхности конуса тоже уменьшится в 1,5 раза.

Слайд 13

Задача №8 Высота конуса равна 4, а диаметр основания — 6. Найдите образующую конуса. По теореме Пифагора

Слайд 14

Задача №9 Высота конуса равна 4, а длина образующей — 5. Найдите диаметр основания конуса. По теореме Пифагора…. Ответ: 6.

Слайд 15

Задача №10 Диаметр основания конуса равен 6, а длина образующей — 5. Найдите высоту конуса. По теореме Пифагора…. Ответ: 4.

Слайд 16

Задача №11 В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд? Меньший конус подобен большему с коэффициентом 0,5. Объемы подоб­ных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому объем большего конуса в 8 раз больше объема меньшего конуса, он равен 560 мл. Следовательно, необходимо долить 560 − 70 = 490 мл жидкости.

Слайд 17

Задача №12 В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объём сосуда 1600 мл. Чему равен объём налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах.

Слайд 18

Решение Пусть х — высота налитой жидкости, у — радиус окружности в основании конуса. Тогда 2 х — высота сосуда, 2 у — радиус окружности в основании сосуда (так как поверхность жидкости отсекает от конического сосуда конус подобный данному). Найдем отношения объёмов конусов, Таким образом, объём сосуда в 8 раз больше объёма налитой жидкости: 1600 : 8 = 200

Слайд 19

Задача №13 Объём конуса равен 96π, а его высота равна 8. Найдите радиус основания конуса. Найдём радиус основания конуса из формулы: V=1/3· π R²h Откуда R²=3V: π h =>

Слайд 20

Задача №14 Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны, соответственно, 2 и 4, а второго — 6 и 8. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой поверхности первого?

Слайд 21

Решение Найдём площадь боковой поверхности первого конуса: S1= π ·R1·L1 = π ·2·4=8 π 2) Найдём площадь боковой поверхности второго конуса: S 2 = π ·R 2 ·L 2 = π · 6 · 8 = 4 8 π 3) Найдём отношение площадей этих конусов: S 2 : S1 = 48 π : 8 π = 6

Слайд 22

Задача №15 Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 3√2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Слайд 23

Решение Заметим, что конус и цилиндр имеют общую высоту и равные радиусы основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна S б.п. = 2 π R·h, но R=h следовательно S б.п. = 2 π R² и =3√2 => π R² =1,5√2 2) Площадь боковой поверхности конуса равна S= π R·L, Но L² = R²+h², но R=h => L² = 2 R² => L = R√2. Значит S б.п. = π R·L = π R· R√2 = π R²·√ 2 = = 1,5√2 ·√ 2 = 3

Слайд 24

Задача №16 Диаметр основания конуса равен 12, а длина образующей — 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, основание которого —это диаметр основания конуса, а высота совпадает с высотой конуса. Но L² = R²+h² => h = √100-36=√64=8 Следовательно, площадь осевого сечения равна 0,5 · 12 · 8 = 48 .

Слайд 25

Задача № 17 Высота конуса равна 8, а длина образующей — 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, основание которого — диаметр основания конуса, а высота совпадает с высотой конуса. Но L² = R²+h² => R= √100-64=√36=6 Следовательно, диаметр осевого сечения конуса равен 12, а площадь осевого сечения равна 0,5 · 12 · 8 = 48.

Слайд 26

Задача № 18 Площадь основания конуса равна 18. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью

Слайд 27

Решние Сечение плоскостью, параллельной основанию, представляет собой круг, радиус которого относится к радиусу основания конуса как 3 : 9. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому площадь сечения в 9 раз меньше площади основания. Тем самым, она равна 2.

Слайд 28

Задача № 19 Площадь основания конуса равна 16π, высота — 6. Найдите площадь осевого сечения конуса. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, высота которого совпадает с высотой конуса, а основание является диаметром основания конуса. Поэтому площадь осевого сечения равна половине произведения высоты конуса на диаметр его основания или произведению высоты конуса на радиус основания R . Поскольку по условию π R²=16 π , то радиус основания конуса равен 4, а тогда искомая площадь осевого сечения равна 24.

Слайд 29

Задача №20 Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен 10√2. Найдите образующую конуса. Высота конуса перпендикулярна основанию и равна радиусу сферы. Тогда по теореме Пифагора получаем:

Слайд 30

Задача №21 Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 28. Найдите объем конуса. Формулу для объёма шара: V=4/3 · π R³ , а формула объёма конуса: V=1/3 · π R³. Значит объём конуса в 4 раза меньше объёма шара. Тогда объём конуса равен 28 : 4 = 7

Слайд 31

Задача №22 Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.

Слайд 32

Решение Значит, в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, образующей и радиусом основания конуса, катет, равный радиусу, вдвое меньше гипотенузы. Тогда он лежит напротив угла 30°. Следовательно, угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°.

Слайд 33

Задача №23 Радиус основания конуса равен 3, высота равна 4. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на π . Найдем образующую по теореме Пифагора: L= √h²+R²=√16+9=√25=5 Площадь полной поверхности конуса

Слайд 34

Задача № 24 Длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса. Площадь боковой поверхности конуса равна

Слайд 35

Задача №25 Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника АВС вокруг катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на π . Треугольник АВС – так же равнобедренный, т.к. углы при основании АВ равны 45 ° . Тогда радиус основания равен 6, и объем конуса, деленный на π :

Слайд 36

Задача №26 Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π.

Слайд 37

Решение В треугольнике, образованном радиусом основания r , высотой h и образующей конуса l , углы при образующей равны, поэтому высота конуса равна радиусу его основания: h = r . Тогда объем конуса, деленный на вычисляется следующим образом:

Слайд 38

Задача №27 Найдите объем конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30 ° . В ответе укажите V/ π . 30 °

Слайд 39

Решение Высоту конуса найдем по свойству стороны прямоугольного треугольника, находящейся напротив угла в 30 ° – она вдвое меньше гипотенузы, которой в данном случае является образующая конуса. Радиус основания найдем по теореме Пифагора: R=√2²-1=√3

Слайд 40

Задача №28 Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на π . Радиус основания конуса r равен половине диагонали квадрата ABCD : r=√2/2·AB=2√2 Тогда объем конуса, деленный на π :

Слайд 41

Задача № 29 Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/ π . Объем данной части конуса равен

Слайд 42

Задача № 30 Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/ π . Объем данной части конуса равен

Слайд 43

Задача № 31 Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/ π . Объем данной части конуса равен

Слайд 44

Задача № 32 Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/ π . Объем данной части конуса равен

Слайд 45

Задачи для самостоятельного решения

Слайд 46

Задача №2 Решить самостоятельно Объём конуса равен 27. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью. Ответ:1 Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса. Ответ:2 Объем конуса равен 128. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Слайд 47

Задача №3 Решить самостоятельно Объём конуса равен 9 π , а его высота равна 3 . Найдите радиус основания конуса. Ответ:3 Объём конуса равен 25 π , а его высота равна 3 . Найдите радиус основания конуса. Ответ:5

Слайд 48

Задача №4 Решить самостоятельно Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 18,5 раза? 2) Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 24 раза? 3) Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 10 раз?

Слайд 49

Задача №5 Решить самостоятельно Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 40 раз? 2) Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 22 раза? 3) Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 31 раз?

Слайд 50

Задача №6 Решить самостоятельно Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 36 раз? Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 11 раз? Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 1,5 раза?

Слайд 51

Задача №7 Решить самостоятельно Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 8 раз, а образующая останется прежней? 2) Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 36 раз, а образующая останется прежней? 3) Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 21 раз, а образующая останется прежней?

Слайд 52

Задача №8 Решить самостоятельно Высота конуса равна 8, а диаметр основания — 30. Найдите образующую конуса. Ответ: 17 2) Высота конуса равна 5, а диаметр основания — 24. Найдите образующую конуса. Ответ: 13 3) Высота конуса равна 6, а диаметр основания — 16. Найдите образующую конуса. Ответ: 10

Слайд 53

Задача №9 Решить самостоятельно Высота конуса равна 72, а длина образующей — 90. Найдите диаметр основания конуса. Ответ:108 2) Высота конуса равна 21, а длина образующей — 75. Найдите диаметр основания конуса. 3) Высота конуса равна 57, а длина образующей — 95. Найдите диаметр основания конуса.

Слайд 54

Задача №10 Решить самостоятельно Диаметр основания конуса равен 108, а длина образующей — 90. Найдите высоту конуса. Ответ: 72 2) Диаметр основания конуса равен 42, а длина образующей — 75. Найдите высоту конуса. Ответ: 72 3) Диаметр основания конуса равен 24, а длина образующей — 13. Найдите высоту конуса. Ответ: 5

Слайд 55

Задача №11 Решить самостоятельно В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/3 высоты. Объём жидкости равен 14 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд? Ответ: 364 2) В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объём жидкости равен 40 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд? Ответ: 280 3) В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/4 высоты. Объём жидкости равен 6 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд? Ответ:

Слайд 56

Задача №19 Решить самостоятельно Площадь основания конуса равна 36π, высота —10. Найдите площадь осевого сечения конуса. Ответ:60 2)

Слайд 57

Задача №21 Решить самостоятельно Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 116. Найдите объем конуса. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 160. Найдите объем конуса. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 132. Найдите объем конуса.

Слайд 58

Задача №2 3 Решить самостоятельно Радиус основания конуса равен 12 , высота равна 16 . Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на π . 2) Радиус основания конуса равен 28 , высота равна 21 . Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на π . 3) Радиус основания конуса равен 15 , высота равна 36 . Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на π .

Слайд 59

Задача №2 4 Решить самостоятельно Длина окружности основания конуса равна 6, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса. Ответ: 6 Длина окружности основания конуса равна 5, образующая равна 8. Найдите площадь боковой поверхности конуса. Длина окружности основания конуса равна 8, образующая равна 6. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Слайд 60

Задача №25 Решить самостоятельно Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника АВС вокруг катета, равного 15. Найдите его объем, деленный на π . 2) Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника АВС вокруг катета, равного 120. Найдите его объем, деленный на π . 3) Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника АВС вокруг катета, равного 60. Найдите его объем, деленный на π .

Слайд 61

Задача №26 Решить самостоятельно Диаметр основания конуса равен 66, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π. 2) Диаметр основания конуса равен 12, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π. 3) Диаметр основания конуса равен 36, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π.

Слайд 62

Задача №27 Решить самостоятельно Найдите объем конуса, образующая которого равна 44 и наклонена к плоскости основания под углом 30 ° . В ответе укажите V/ π . Ответ: 10 648 Найдите объем конуса, образующая которого равна 51 и наклонена к плоскости основания под углом 30 ° . В ответе укажите V/ π . Найдите объем конуса, образующая которого равна 34 и наклонена к плоскости основания под углом 30 ° . В ответе укажите V/ π .

Слайд 63

Задача №28 Решить самостоятельно Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 3 и высотой 13. Найдите его объем, деленный на π . Ответ:19,5 Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 8 и высотой 12 . Найдите его объем, деленный на π . Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 9 . Найдите его объем, деленный на π .

Слайд 64

Задача №2 9 Решить самостоятельно 1) Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/ π .

Слайд 65

Задача № 30 Решить самостоятельно Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/ π .

Слайд 66

Задача № 31 Решить самостоятельно Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/ π .

Слайд 67

Задача № 32 Решить самостоятельно Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/ π .

Слайд 68

Используемые ресурсы Шаблон п одготовила учитель русского языка и литературы Тихонова Надежда Андреевна «Решу ЕГЭ» Образовательный портал для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ. Режим доступа: http :// mathb.reshuege.ru http ://sch-53.ru/ files / director /GIA/2016/%D0%95%D0%93%D0%AD%202016.jpg Автор и источник заимствования неизвестен http://belmathematics.by/images/teorija/konys3.jpg http://900igr.net/datai/geometrija/Konus-geometrija/0001-001-G-11-urok-1.png http://www.k6-geometric-shapes.com/image-files/3d-t3-cone.jpg http://900igr.net/datai/geometrija/Osnovy-stereometrii/0040-033-Obem-konusa.png https://im1-tub-ru.yandex.net/i?id=72aa47f9b7dce12424f069f72b9a3c2a&n=33&h=215&w=158