Исследовательская работа "Плановы тела"
проект по геометрии (10 класс)

ГУРЬЕВСКИЙ МУНИЦИПАЛЬНЫЙ РАЙОН

МБОУ МАРШАЛЬСКАЯ СОШ

МУНИЦИПАЛЬНАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ШКОЛЬНИКОВ

«ИНТЕЛЛЕКТ. ПОИСК. ТВОРЧЕСТВО»

Исследовательская работа

«Платоновы тела»

Выполнена

ученицей 10 класса

Козловой Дианой.

Научный руководитель

учитель математики

Шилова Любовь Юрьевна.

г. Гурьевск

Содержание

 Введение……………………………………………………………………………..3

1. Определение и классификация многогранников………………………………4

2. Виды правильных многогранников………………………………………………

     2.1 Первые упоминания о  правильных многогранниках……………………..5

     2.2 Почему их только 5?........................................................................................6

3.Многогранники вокруг нас……………………………………………………….7

         3.1 Многогранники в математике. Формула Эйлера………………………….7

     3.2 Многогранники в различных науках (таких как химия, биология)………8

     3.3 Многогранники в искусстве…………………………………………………9

     3.4 Гипотеза о строении Земли…………………………………………………10

4. Методы создания моделей правильных многогранников…………………….11

     4.1 Создание моделей правильных многогранников с помощью разверток..11

     4.2 Создание моделей правильных многогранников методами оригами…...12

     4.3  Создание моделей правильных многогранников из квадратного листа       бумаги (модуля Сонобэ)…………………………………………………………...14

 Заключение…………………………………………………………………………15

Список использованных источников и литературы……………………………..16

Приложение 1………………………………………………………………………17

Приложение 2………………………………………………………………………19

Приложение 3………………………………………………………………………20

Введение

На свете есть еще геометрия, которая ждет, чтобы ее познали и оценили… Так давайте же вновь перелистаем Евклида, познакомимся с некоторыми новыми результатами. Быть может, мы вновь сумеем испытать тот же восторг и трепет, как и при первых встречах с геометрией.

Самуэль Грейтцер

Есть в школьной геометрии особые темы,  в которых открывается не только удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. К таким темам можно отнести "Правильные многогранники". Но к сожалению в школьной программе мы не углубляемся в изучение правильных многогранников,  поэтому сведений об этих геометрических телах для нас недостаточно. Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники.

«Правильных многогранников вызывающе мало, - написал когда-то Л. Кэролл, - но этот весьма скромный по  численности  отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук».

На уроке в 10 классе мы изучали «Правильные многогранники» через проектную работу, где каждая группа готовила презентацию о многогранниках.

Весь класс с удовольствием изучал эту тему, решали задачи, делали чертежи, поделки, готовили презентации.

И после этого урока я задалась вопросом «Действительно ли правильные многогранники вокруг нас? Каким образом можно создать модели правильных многогранников? »

Цель исследования: расширить собственные знания о правильных многогранниках.

Задачи исследования:

1) познакомиться с информацией по теме в различных источниках;

2)изучить свойства правильных многогранников и их развертках;

3)показать роль математических знаний в развитии общества, науки и искусства

- многогранники в истории.

- многогранники в математике.

- многогранники в различных науках (таких как химия, биология)

- многогранники в искусстве

- гипотеза о строении Земли

4)найти различные методы  для создания моделей правильных многогранников;

5)изготовить модели правильных многогранников с помощью разверток и методами оригами.

1. Определение и классификация многогранников

Многогранники представляют собой простейшие тела в пространстве, подобно тому, как многоугольники - простейшие фигуры на плоскости. С чисто геометрической точки зрения многогранник - это часть пространства, ограниченная плоскими многоугольниками - гранями. Стороны и вершины граней называют рёбрами и вершинами самого многогранника. Грани образуют так называемую многогранную поверхность. На многогранную поверхность обычно накладывают такие ограничения:

1) каждое ребро должно являться общей стороной двух и только двух граней, называемых смежными;

2) каждые две грани можно соединить цепочкой последовательно смежных граней;

3) для каждой вершины углы прилежащих к этой вершине граней должны ограничивать некоторый многогранный угол.

Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости любой из его граней.

Фигура на рисунке 1 является многогранником. Фигура на рисунке 2 многогранником не является, потому что не выполняются ограничения, накладываемые на многогранные поверхности.

     Рис1.                    Рис.2

Многогранник называется правильными, если:

- он выпуклый;

- все его грани являются равными правильными многоугольниками;

- в каждой его вершине сходится одинаковое число граней;

- все его двухгранные углы равны.

2. Виды правильных многогранников

«Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук»

Л. Кэррол

2.1 Первые упоминания о правильных многогранниках

В дословном переводе с греческого «тетраэдр» означает «четырехгранник», октаэдр» - «восьмигранник», «гексаэдр» - «шестигранник», «додекаэдр» - «двенадцатигранник», «икосаэдр» - «двадцатигранник».  Этим красивым телам посвящена 13-я книга «Начал» Евклида. Их так же изучал Театет, Гипсикл, Папп. Правильные многогранники еще называют телами Платона, так как они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания. Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или «стихии».  Стихиями натурфилософы называли вещества, из которых путем сгущения и разряжения, охлаждения и нагревания образуются все тела.

Пифагорейцы считали, что огонь состоит из мельчайших тетраэдров, так как тетраэдр обладает наименьшим числом граней и наиболее «острыми» многогранными углами при вершинах, а значит, обладает наибольшей проникающей способностью. Обладает рациональной конструкцией: высокой прочностью при малом весе.

Итак, тетраэдр символизировал огонь, так как его вершина устремлена вверх; икосаэдр – воду, так как он самый «обтекаемый»; куб – землю, как самый «устойчивый»; октаэдр – воздух, как самый «воздушный»; додекаэдр, воплощал в себе «все сущее», символизировал все мироздание, считался главным.

Уравнение: 1 вода = 2 воздух + 1 огонь надо понимать так: в элементе воды – икосаэдре – 20 граней, образованных равносторонними треугольниками, которые, в свою очередь состоят из 6 прямоугольных треугольников. По Платону, атомы – плоские тела – прямоугольные треугольники двух видов: равнобедренные и с катетом, равным половине гипотенузы. Значит, сложный атом икосаэдр состоит из 6 × 20 = 120 простых атомов – треугольников. В элементе воздуха – 8 граней, значит общее число треугольников 48 × 2 = 96. Итак, равенство верно: 20 граней и 120 треугольников (8 × 2 + 4) граней и (48 × 2 + 24) треугольников.

Школе Пифагора приписывают открытие существования 5 типов правильных выпуклых многогранников.

2.2 Почему их только 5?

А все-таки, почему же правильных многогранников только пять? Ведь правильных многоугольников на плоскости - бесконечное число.

а) Пусть грани правильного многогранника - правильные треугольники, каждый плоский угол при этом равен 60°. Если при вершине многогранного угла n плоских углов, то 60° < n < 360° , n < 6,

n = 3, 4, 5, т.е. существует 3 вида правильных многогранников с треугольными гранями. Это тетраэдр, октаэдр, икосаэдр.

б) Пусть грани правильного многогранника - квадраты, каждый плоский угол составляет 90°. Для n - гранных углов 90° < n<360°, n < 4,

n = 3, т.е. квадратные грани может иметь лишь правильный многогранник с трехгранными углами - куб.

в) Пусть грани - правильные пятиугольники, каждый плоский угол равен 180° (5 - 2) : 5 = 108°, 108°<  n<360°, n< n = 3, додекаэдр.

г) У правильного шестиугольника внутренние углы:

L = 180° (6 - 2 ) : 6 = 120°

 В этом случае невозможен даже трехгранный угол. Значит, правильных многогранников с шестиугольными и более гранями не существует.

3. Многогранники вокруг нас

Многогранники окружают нас в повседневной жизни ежедневно: спичечный коробок, книга, комната, молочные пакеты в форме тетраэдра или параллелепипеда, гайки, башни Кремля, знаменитые египетские пирамиды, кристаллы минералов, различные архитектурные сооружения.

Многие удивительно красивые пространственные формы придумал не сам человек, их создала природа. Кристаллы – природные многогранники. Свойства кристаллов, изучаемые на уроках химии и физики, определяются их геометрическим строением.

Особый интерес к правильным многоугольникам и правильным многогранникам связан с красотой и совершенством формы. Они довольно часто встречаются в природе. Достаточно вспомнить форму снежинок, граней кристаллов, ячеек в пчелиных сотах. Из правильных многоугольников можно складывать не только плоские фигуры, но и пространственные. Многие из нас склеивали новогодние игрушки из открыток или яркой бумаги в форме правильных многогранников.

3.1.Правильные многогранники в математике. Формула Эйлера

Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у него граней, ребер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов правильных многогранников и зафиксируем результаты в таблице. Сумма числа граней и вершин равна числу ребер, увеличенному на 2: Г + В = Р + 2. Эта формула была подмечена уже Декартом в 1640 году, а позднее переоткрыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она и носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.

Двойственность ли сопряженность правильных многогранников.

Если центры граней куба соединить отрезками, то получится октаэдр, то есть вписанный в куб октаэдр. Обратно: центры граней октаэдра являются вершинами вписанного куба. Двойственными являются икосаэдр и додекаэдр. Тетраэдр двойственен сам себе. (Приложение1)

3.2.Многогранники в биологии.

Встречаются ли в живой природе правильные многогранники?

Скелет одноклеточного организма феодарии (Circogoniaicosahedra) по форме напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Простейшее животное пытается себя защитить: из 12 вершин скелета выходят 12 полых игл. На концах игл находятся  зубцы, делающие иглу еще более эффективной при защите.

Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий?

Тем, что из всех многогранников именно икосаэдр имеет наибольший объем при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи. (Приложение2)

Водоросль вольвокс - один из простейших многоклеточных организмов, представляет собой сферическую оболочку, сложенную в основном семиугольными, шестиугольными и пятиугольными клетками, то есть клетками, имеющими семь, шесть или пять соседних; в каждой «вершине» сходятся три клетки.

Соты пчелиные -  восковые постройки пчёл, предназначенные для хранения запасов корма и выращивания потомства. Соты пчелиные состоят из шестигранных призматических ячеек, которые  заполняют пространство без просветов. Верхняя часть пчелиной ячейки представляет собой часть ромбододекаэдра.

В разрезе соты представляют сеть равных правильных шестиугольников. Из  правильныхn-угольников с одинаковой площадью правильные шестиугольники имеют наименьший периметр. Т.о. мудрые пчёлы экономят воск и время для постройки сот. (Приложение2).

3.3. Правильные многогранники  и химия

Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Поваренная соль NaCl - она хорошо растворима в воде, служит проводником электрического тока, кристаллы поваренной соли  имеют форму куба.

Производство алюминия используют алюминиево-калиевые квасцы K[Al(SO4)2]·12H2O,монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра.

Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента используют сернистый колчедан FeS–пирит. Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра.

Использование в химических реакциях сурьмянистый сернокислый натрий Na5(SbO4(SO4) – вещество, синтезированное учеными. Кристалл сурьмянистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра.

Икосаэдр передает форму кристаллов бора. В свое время бор использовался для создания полупроводников первого поколения. Из школьного курса химии мы знаем, что модели молекулы метана, зеркальных изомеров молочной кислоты являются тетраэдрами. Кристаллы медного купороса представляют собой октаэдры; кристаллические решетки имеют  многие металлы:Li, Na, Cr, Pb, Al, Au, Cu. Кристаллическую решетку имеют соли CsCl, кислой соли K2[PtCl6].Правильные многогранники определяют форму кристаллических решеток некоторых химических веществ.  (Приложение №2).

3.4.Многогранники и искусство

Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли  и проявляют скульпторы, архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников.

Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» (1955 г)изобразил И. Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

Леонардо да   Винчи (1452 — 1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Например, он проиллюстрировал изображениями правильных и полуправильных многогранников книгу своего друга монаха Луки Пачоли (1445 — 1514гг.) «О божественной пропорции» (1959 г.) Изображение Леонардо да Винчи усеченного икосаэдра методом жестких ребер.

Кубические пространственные решетки в изображении Леонардо.

Этим изображением Леонардо на три века предвосхитил гипотезу о периодическом строении кристаллов, высказанную французскими кристаллографами аббатом Рэнэ-Жюстом Гаюи (1743-1822гг.)и морским офицером Огюстом Бравэ (1811-1863).

Мауриц Эшер в своих рисунках как бы открыл и интуитивно проиллюстрировал законы сочетания элементов симметрии, т.е. те законы, которые властвуют над кристаллами, определяя и их внешнюю форму, и их атомную структуру, и их физические свойства. Графическая фантазия.

3.5.Гипотеза о строении Земли

Научная гипотеза о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира. Гипотеза московских инженеров В. Макарова и В. Морозова. (80-е годы).Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли проявляется в том, что в земной коре как бы

проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки. 62 вершины и середины рёбер многогранников, называемых авторами узлами, обладают

рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия,  и др. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. 

4. Методы создания моделей правильных многогранников.

Можно признать идею полезной, но не уметь ею воспользоваться.          

И. Гете

4.1 Создание моделей правильных многогранников с помощью разверток

Чаще всего при создании моделей многогранников из плоских разверток используют такие развертки, в которых грани прилегают друг к другу ребрами, а модель строится путем загибания развертки вдоль ребер. Например, при создании моделей правильных многогранников чаще всего используют следующие развертки

Создание моделей многогранников из развертки граней опирается на две изумительные теоремы. Одна из них была доказана великим французским математиком Огюстеном Луи Коши, другая принадлежит выдающемуся академику Александру Даниловичу Александрову.

Теорема Коши (доказанная в 1813 г.) говорит о том, что из данных граней, взятых в определенном порядке, можно склеить единственный ( с точностью до движения) выпуклый многогранник. Каждый клеил или держал в руках картонную модель выпуклого многогранника и ощущал ее «жесткость». Это свойство многогранников может вызвать удивление, особенно если сопоставить его с тем, что среди многоугольников жестким является лишь треугольник. Шарнирный многоугольник отличный от треугольника подвижен. Чтобы задать многоугольник однозначно требуется знать не только стороны, но и углы. Многогранник же своими гранями задается однозначно, несмотря на то, что каждые две смежные по ребру грани, взятые сами по себе, легко поворачиваются вокруг общего ребра. В процессе склеивания модель будущего многогранника может долго сохранять подвижность. Но как только заклеивается последняя грань, модель становится жесткой. Единственный не школьный материал, который используется в доказательстве, - это знаменитая теорема Эйлера о многогранниках.

В недалеком прошлом молоко разливали в пакеты, которые имели форму не параллелепипеда как сейчас, а тетраэдра. Такую тару было легко изготавливать. Сначала прямоугольная лента склеивается в цилиндр, горизонтальные края которого затем заклеиваются в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Развертка такого тетраэдра - прямоугольник, стороны которого разбиваются на меньшие отрезки-ребра, попарное отождествление которых показано на рисунке.

4.2. Создание моделей правильных многогранников с помощью оригами.

Немного истории.

Знакомство с оригами следует начинать с древней истории. Именно там, в Древнем Китае, в 105 году нашей эры появились первые предпосылки для возникновения оригами - искусства складывания любых фигурок из квадратного листа бумаги без использования ножниц и клея. Как свидетельствует история, в том знаменательном году чиновник Цай Лунь сделал официальный доклад императору о том, что создана технология производства бумаги. Многие десятилетия под страхом смертной казни китайцы хранили тайну создания белого листа. Но со временем, когда монахи Китая начали свои путешествия в Японию, вместе с ними стали путешествовать, и некоторые тайны этой страны. В 7веке странствующий буддийский монах Дан-Хо, о котором современники говорили, что он богат знаниями и умеет делать тушь и бумагу, пробирается в Японию и обучает монахов изготавливать бумагу по китайской технологии. Очень скоро в Японии сумели наладить свое массовое производство бумаги, во многом обогнав Китай.

Первые листочки бумаги, сложенные в необычные фигурки появляются сначала в монастырях. Иначе и быть не могло. Ведь в японском языке понятия "Бог" и "Бумага" звучат одинаково, хотя и обозначаются разными иероглифами. Фигурки из бумаги имели символическое значение. Они становились участниками религиозных церемоний. Украшали стены храмов. Помещались на жертвенный костер. До наших дней дошли одни из первых фигурок из бумаги - коробочки "санбо", в которые японцы вкладывали кусочки рыбы и овощей, поднося их в качестве жертвоприношений. Но это еще не было искусство. Просто лист бумаги, очень ценный и дорогой, несущий в себе имя Бога, становился неотъемлемой частью жизни японца. В средние века, когда производство бумаги позволило снизить на нее цену, искусство складывания проникло в быт дворянства. И тогда появилось искусство самураев. В те времена считалось признаком хорошего воспитания умение богатого дворянина развлечь свою даму на балу складыванием бумажных фигурок. Тогда же возникло и искусство сворачивания тайных писем. Используя свое умение, самураи так складывали свои записки, что только посвященный мог развернуть его. 

Со временем оригами (а этот термин возникает только в 1880 году) становится обязательным занятием во многих японских семьях. Мамы передавали свои знания дочкам, показывая немногие известные им фигурки.

Расцвет оригамного творчества приходится на середину двадцатого века, когда рабочий-металлист Акиро Йошидзава решил посвятить себя оригами и его развитию. Основная заслуга Йошидзава в том, что он сумел создать то, что сегодня называется "оригамная азбука". Условные обозначения, символы, графические знаки, придуманные Акиро, позволили зафиксировать на бумаге процесс складывания оригамной фигуры. Это замечательное открытие позволило оригами стать универсальным международным языком. И сегодня все книги, посвященные искусству оригами, используют оригамную азбуку Акиро Йошидзава.

Сегодня оригами переживает очередную волну интереса. Практически во всем мире это искусство развивается в соответствии с традициями народа. Появились новые направления оригами и области его применения. Так, математики открыли множество возможностей для решения геометрических и топологических задач. Архитекторы и строители увидели в оригамном конструировании возможности для создания многогранных структур из плоского листа. Для педагогов оригами уникальная возможность развития тонкой моторики ребенка, что прямо связано с развитием интеллекта. Для психологов оригами - это одно из направлений арттерапии, возможности оказания психологической помощи больному посредством искусства.

Остановимся более подробно на создании моделей правильных многогранников методами оригами. Существует несколько методов для создания одного и того же многогранника.

4.3  Создание моделей правильных многогранников из квадратного листа бумаги (модуля Сонобэ)

Данные модели наименее трудоемкие и одни из самых простых в сборке, схема их сборки приводится в Приложении 3 

Сонобе кусудама - куб, который делается из нескольких бумажных модулей.

Если использовать разноцветные вставки, то куб получится еще красивее.

«Октаэдр» собирается очень просто и весело. Вы можете использовать её в качестве декоративного украшения на праздники и другие мероприятия. Понадобится 12 модулей сонобе.

Вариант из 30 модулей получил название «Икосаэдр».

Заключение

Личностью человек становится только тогда, когда начинает самостоятельно выполнять творческую деятельность.                              Постулат философии

В результате данной исследовательской работы я лишний раз убедилась в том, что математика не «сухая» наука, и ее «выход» в повседневную жизнь может быть чрезвычайно интересен, красив и даже загадочен.

Я выполнила все задачи, которые ставила перед собой в начале данной исследовательской работы:

расширила собственную систему знаний и сведений о правильных многогранниках;

изучила теоремы о свойствах правильных многогранников и их развертках: теорему Эйлера, теорему Коши ;

изучила различные методы оригами для создания моделей правильных многогранников;

создала коллекцию моделей правильных многогранников с помощью разверток и методами оригами.

Я думаю, что систематизированный мной материал заинтересует многих увлекающихся математикой, а полученные мной модели могут быть использованы на различных уроках физики, математики, химии, биологии и факультативных занятиях как наглядно-иллюстративный материал, а так же, как материал для дальнейших исследований всех заинтересовавшихся.

Литература

1. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кардомцев и др.– М.: Просвещение,2010.

2. Гильберт Д., Конфоссен С. Наглядная геометрия. М.: Наука, 1981

3. Лаптев Б.Л.. Н.И.Лобачевский и его геометрия. М.: Просвещение, 1976.

4. Погорелов А.В. Геометрия. Учебное пособие для 7-11 классов. М., Просвещение, 1992.

5. Фридман Л.М., Изучаем математику, Москва, «Просвещение», 1995г

6.Перельман Я.И. «Занимательная геометрия». «Астрель», 2003

7.Энциклопедия для детей. Математика. Т.11, «Аванта+», 2003

Сайты:

1.http://www.newacropol.ru/Alexandria/philosophy/Philosofs/Plato/Plato_Biograph/

2.http://www.sfera-icosaedr.narod.ru/second.htm

3.http://geometry.elabugae.ru/platonic.html

4.http://www.goldenmuseum.com/0213Solids_rus.html

5.http://poznaisebya.com/content/view/69/50/

6.http://stepanov.lk.net/gardner/sec/sec01.html

7.http://ref.net.ua/work/det-16978.html

8.http://www.tmn.fio.ru/works/22x/307/ 

Приложение1

Формула Эйлера.     Г + В = Р + 2

Платон (427 – 347 г. до н.э.)

Приложение 2

Многогранники вокруг нас

                 Феодарии                                                        Вольвокс

Пчелинные соты                                                 Поваренная соль

Алюмокалиевые квасцы.                          Кристалл пирита (сернистого колчедана )

Монокристалл

Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» (1955 г)

Леонардо да Винчи - усеченный          Кубические пространственные икосаэдр методом жестких ребер.                               решетки в  изображении Леонардо.

Маурица Эшер (1898-1972)                         Икосаэдро-додекаэдровая «Звезды» (1948).                                                                    структура Земли

Приложение 3

Создание моделей правильных многогранников из квадратного листа бумаги  (Модуль Сонобе)

Краткое описание работы

В данной научно-исследовательской работе рассматриваются: классификация многогранников, более подробно - виды правильных многогранников, их свойства, теоремы о развертках выпуклых многогранников, Коши и Александрова. Изучены различные способы для создания моделей правильных многогранников: с помощью разверток и методами оригами. Результаты данных исследований были применены на практике, были созданы различные модели правильных многогранников. Полученные модели могут быть использованы на различных уроках и факультативных занятиях как наглядно-иллюстративный материал, а так же, как материал для дальнейших исследований всех заинтересовавшихся.