«Правильные многогранники или Платоновы тела».
план-конспект урока по геометрии (11 класс) на тему

Тема: «Правильные многогранники или Платоновы тела».

Класс: 11

Цели урока:

Дидактическая цель:

• организовать деятельность учащихся по восприятию, осмыслению, первичному запоминанию и закреплению знаний.

Образовательная цель:

• способствовать формированию знаний о правильных многогранниках;
• содействовать в ходе исследовательской работы выводу соотношения между числами вершин, граней и ребер выпуклого многогранника.

Развивающая цель: 

• создать условия для развития познавательного интереса и творческой активности учащихся.

Воспитательная цель: 

• воспитание чувства ответственности, культуры диалога;
• воспитание интереса к математике как учебному предмету через современные технологии преподавания;
• создание условий для целостного восприятия общей картины мира.

Тип урока: изучение нового материала и первичное закрепление новых знаний.

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, групповая, коллективная.

Методы и приемы обучения:

объяснительно-иллюстративный; частично-поисковый; исследовательский; метод проектов; словесный; наглядный (демонстрация компьютерных презентаций); практический.

Оборудование:  

• наборы моделей геометрических тел;  
• рабочие «листы изучения новой темы» на печатной основе;  
• карточки с заданиями;
• экран; мультимедийный проектор; компьютер.  

Ход урока.

1. Организационный момент.

Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук.

Л. Кэррол

Сегодня мы с Вами попробуем в этом убедиться.

У всех на столе лежит «рабочий лист урока», в котором необходимо написать тему и цель нашего урока.

2. Актуализация опорных знаний.

Что же такое правильный многогранник? Какие фигуры называются правильными?

Правильный многогранник

- это выпуклый многогранник,

- грани которого являются равными правильными многоугольниками и в

- каждой вершине которого сходится одно и то же число рёбер.

Запишем определение правильного многогранника.

Выполнение практического задания «Много ли существует правильных многогранников?»

Цель: проверка умений работать с понятиями о многогранниках, выпуклых многогранниках; развитие пространственного мышления.

Работа с моделями геометрических тел.  В набор входят модели следующих тел: тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра, додекаэдра, цилиндра, конуса, четырехугольной пирамиды, усеченной пирамиды, шестиугольной призмы, наклонного параллелепипеда, невыпуклого многогранника.

Задание: Перед вами на столе модели геометрических тел.

1. Отложите в коробку те модели, которые не являются моделями многогранников.
2. Уберите в коробку модели невыпуклых многогранников.
3. Оставьте на столе только модели правильных многогранников.
4. Что называется многогранником?
5. Какие многогранники называют выпуклыми?

3. Изучение нового материала. 

Работа по формированию понятия о  правильных многогранниках.

Под руководством учителя учащиеся формулируют определение правильного многогранника (с помощью сравнения моделей).

Закрепление понятия о правильных многогранниках: «рабочий лист урока», задание 1.

Вывод: существует 5 видов правильных многогранников.

Почему правильные многогранники получили такие имена?

Это связано с числом их граней. В переводе с греческого языка:

эдро – грань         окта - восемь

тетра - четыре     додека - двенадцать

гекса - шесть       икоси - двадцать

Итак, мы получаем тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.

Название правильных многогранников пришли из Греции. В дословном переводе с греческого "тетраэдр", "октаэдр", "гексаэдр", "додекаэдр", "икосаэдр" означают: "четырехгранник", "восьмигранник", "шестигранник". "двенадцатигранник", "двадцатигранник". Этим красивым телам посвящена 13-я книга "Начал" Евклида.

Их еще называют телами Платона, т.к. они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания. Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или "стихии".

Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх

Куб - землю, как самый "устойчивый".

Октаэдр символизировал воздух, как самый лёгкий

Додекаэдр, воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным.

Икосаэдр символизировал воду, т.к. он самый "обтекаемый".

Доклады учеников «Правильные многогранники в природе и жизни человека»:

1)Форма тетраэдра образует жёсткую конструкцию, которой пользуется и природа и человек.

Например: во льду каждая молекула воды окружена четырьмя ближайшими к ней молекулами, которые размещены в вершинах правильного тетраэдра, именно это расположение молекул способствует формированию снежинок.

Такой же принцип молекулярного строения имеет и аммиак.

Каждый атом углерода в структуре алмаза расположен в центре тетраэдра, вершинами которого служат четыре ближайших атома. Именно такая прочная связь атомов углерода объясняет высокую твёрдость алмаза.

Тетраэдр используется в оптике. Если грани тетраэдра покрыть светоотражающим составом, то свет, направленный в грань будет отражаться в том же направлении, откуда он пришёл. Это свойство используется для создания уголковых отражателей, которые применяются в тестировании радаров,  в исследованиях космоса и катафотов – как отражающей поверхности, необходимых в повседневной жизни.

2) Мы считаем, что кубические формы не существуют в природе, но они есть. Взять хотя бы поваренную соль, её кристаллы  имеют форму куба.

Кристаллы диоптаза в кальците тоже имеют форму куба.

Пирит кристаллизуется, образуя кубические формы. Кубические кристаллы имеет и флюорит, который применяют в металлургии и в  химической промышленности

Ещё в детстве мы начинаем познавать мир с помощью кубиков. Решаем головоломку кубик – Рубика, бросаем игральные кости, видим форму куба во множестве предметов, сделанных человеком. Но учёные более серьёзно относятся к этой форме.

Так, например, создан нано куб – строительный аналог кирпича отличие которого в том, что  он имеет свои “электронные мозги”, кубическая форма его  обусловлена методом его получения и тем, что при скреплении стена построенная из нано кубов получается монолитной и оказывается прочнее обычной кирпичной.

Нано технологии прочно входят в нашу жизнь. Свойства наночастиц зависят от их формы. Так при огранке золота серебром добиваются получения кубической формы наночастиц, если хотят получить более высокую концентрацию серебра.

3) Молекула Гексафторида серы имеет октаэдрическую конфигурацию. Это бесцветный, нетоксичный, негорючий тяжелый газ, при нормальных условиях в 6 раз тяжелее воздуха. Используется в качестве диэлектрика в электротехнической промышленности. Многие помнят, что при вдыхании гелия голос человека становится детским, но мало кто знает, что при вдыхании гексафторида эффект совершенно обратный.

Алюмокалиевые, алюмонатриевые и хромокалиевые квасцы - большие прозрачные бесцветные кристаллы октаэдрической формы. Алюмонатриевые квасцы применяются в меховой и кожевенной промышленности для выделки меха и кожи. Хромокалиевые квасцы используются при крашении хлопчатобумажных тканей. Алюмокалиевые квасцы применяются для очистки питьевых и сточных вод,  в косметологии и медицине в составе антиперспирантов и средств по уходу за кожей, и как разрыхлитель при выпечке хлебобулочных изделий.

Палладиевым наночастицам специально придают октаэдрическую форму для того, чтобы у них появлялись антибактериальные свойства и даже способность к очистке воздуха от загрязнений и аллергенов.

4) Так как в додекаэдре 12 граней, очень удобно с его помощью создавать календарь. Многие головоломки имеют эту форму.

Додекаэдр с древних времён интересует человечество. Так Римский додекаэдр — маленький полый объект, сделанный из бронзы или камня, датируется II-м или III-м веком нашей эры. Около сотни подобных додекаэдров было найдено на территории различных стран западной Европы. По сей день функции этих объектов остаются загадкой.

Для создания условия всенаправленного источника звука и повышения звуковой мощности, устройство источника делают в форме додекаэдра,  именно эта форма способна обеспечить сосредоточение множества динамиков в маленьком объёме.

Вы уже встречались с видео, в котором пользователь во время просмотра может поворачивать камеру в разные стороны, указывая направление взгляда с помощью мышки. Весь секрет создания такого видео в специальном оборудовании – камере, выполненной в виде додекаэдра.

В вершинах додекаэдра расположены 12 видео камер с высоким разрешением, которые захватывают окружающее пространство во всех направлениях. Четыре встроенных микрофона также записывают звук во всех направлениях, и когда вы перемещаете вид, вместе с этим изменяется и звук.

Современные нанотехнологии способствовали созданию молекулярного кластера Ti8C12 со структурой додекаэдра. Синим обозначены атомы титана, красным - атомы углерода. Такая структура обеспечивает высокую стабильность кластера. Этот кластер используется для создания новых материалов и в качестве основы для производства аккумуляторных батарей,  обладающих способностью запасать примерно в 5 раз больше энергии.

5) Икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности.

Это свойство широко использует природа.

Так скелет одноклеточного организма феодарии, живущей на морской глубине, имеет форму  икосаэдра, она помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.

 Это же свойство используется вирусами для усиления проникающей способности.

Есть вирусы, которые размножаются в клетках животных, другие облюбовали растения, третьи (их называют бактериофагами) паразитируют в микробах, но икосаэдрическая форма встречается у вирусов всех этих трех групп.

Икосаэдр передает форму кристаллов бора, который в составе борной кислоты применяется в атомных реакторах. Карборан -  борорганическое соединение имеет структуру правильного икосаэдра. Карборан и его производные используют  при формировании материалов для солнечных батарей, а также для создания препаратов, используемых при лечении злокачественных опухолей.

Вот мы убедились, что правильные многогранники существуют и в нашей жизни.

А сейчас переходим к выполнению задания 2 в «рабочих листах», давайте разделимся на 5 групп и рассмотрим элементы правильных многогранников (учитель раздает листы и модели геометрических фигур группам).

От каждой группы выбирают 1 ученика, выходят к доске и заполняют таблицу задания 2. Проверяем таблицу.

4. Исследовательская работа.

а). Мотивация деятельности.

Учитель читает условие задачи. Предлагает ее решить. Разбираются все предложенные варианты. Так, как решение остается не найденным, то учитель предлагает провести исследовательскую работу по плану

б). Исследовательская работа.

Исследовательская задача.

С незапамятных времен тянется история драгоценных кристаллов. Пример тому – история одного из самых замечательных алмазов – алмаза «Кохинор», что означает «гора света».

Учитель: Многие века он был родовой ценностью индийских раджей. Но в 19 веке алмаз попал как военный трофей в сокровищницу английской короны. Английская королева дала указание сделать  огранку вдоль ребер алмаза золотой нитью. Но огранка не была сделана, так как ювелир не сумел рассчитать максимальную длину золотой нити, а сам алмаз ему не показали. Ювелиру были сообщены следующие данные: число вершин В=54, число граней Г=48, длина наибольшего ребра L= 4мм.

А вы сумеете найти максимальную длину золотой нити? (задание 3 в «рабочих листах»)

План исследовательской деятельности: 

1. Выделим проблему в предложенной ситуации.

Проблема: Найти число ребер алмаза (выпуклого многогранника), чтобы вычислить длину золотой нити.  

2. Определим цель исследования.

Цель: Выявить зависимость между числами вершин, граней и ребер выпуклого многогранника.

3. Сформулируем гипотезу.

Гипотеза: Если существует зависимость между числами вершин, граней и ребер, то ее можно выразить формулой и по ней найти число ребер выпуклого многогранника.

4. Проведение эксперимента для проверки  гипотезы.

Эксперимент: Заполняется таблица. Выявляется зависимость 

Вывод:  Мы нашли зависимость между числами вершин, граней и ребер, выраженную формулой   Г+В - Р = 2.

Учитель: Итак, мы вместе сделали открытие, вывели формулу, которая была подмечена и доказана Эйлером. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.

В любом выпуклом многограннике сумма числа граней и числа вершин больше числа рёбер на 2.

Учитель сообщает: «Теорема носит название Декарта – Эйлера. Эйлер нашел и проверил эту зависимость. За сто лет до Эйлера эта теорема была сформулирована Декартом, но не доказана. Теорема верна не только для правильных многогранников, но и для любых выпуклых многогранников и даже для некоторых невыпуклых».

Таким образом, можем подсчитать количество рёбер (ученик решает на доске):

Задача об алмазе:

Р = В + Г – 2 = 54 + 48 – 2 = 100;   100×4 = 400 мм = 40 см.

Вы смогли применить теоретические знания для решения практических вопросов.

5. Первичное осмысление и применение изученного материала.

Самостоятельная работа (тест) в «рабочих листах».

6. Рефлексия. Итог урока.

Сегодня на уроке (закончите предложения):

1. Я узнал, понял…
2. Я научился…
3. Самые значительные трудности я ощутил…

Спасибо за урок!