Площади плоских фигур. Теорема Пифагора
методическая разработка по геометрии (8 класс) на тему

        Площади плоских фигур.                              Геометрия 8.

1. Понятие площади.
2. Площадь прямоугольника.
3. Площадь параллелограмма.
4. Площадь треугольника и ромба.
5. Площадь трапеции.
6. Теорема  Пифагора.
7. Карточки для устного опроса.

1. Понятие площади.

   Геометрическая фигура называется простой, если ее можно разбить на конечное число плоских треугольников.

   Площадь простой фигуры – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

● 1. Равные фигуры имеют равные площади.

● 2. Если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей ее частей.

● 3. Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице.

          Фигуры, имеющие равные площади, принято называть равновеликими.

2. Площадь прямоугольника.

        ●           Площадь прямоугольника равна произведению его измерений.      

                                                                  S = a ∙ b

Пример 1.   Сравнить площадь прямоугольника со сторонами 48см и 27см  с площадью квадрата  со стороной 36см.

Решение.     Искомые площади прямоугольника и квадрата равны:

                     48 ∙ 27 = 1296 ()  и  36 ∙ 36 =1296 ().

   Ответ:  площади этих фигур одинаковы.

Пример 2.    Как изменится площадь прямоугольника, если его основание увеличить на 50% ,    

         а высоту уменьшить на 50%?

Решение.      Если основание прямоугольника принять за  х, а высоту  за  у, то его площадь будет

                      равна   S = х у.

                      Основание увеличили на 50%, т. е. оно стало  1,5х. Высоту уменьшили на 50%, т. е.

                      она стала  0,5у. Поэтому   = 1,5х ∙ 0,5у = 0,75 ху.

                      Следовательно, площадь прямоугольника уменьшится на 25%.

  Ответ:   площадь прямоугольника уменьшится на 25%.

                         3.   Площадь параллелограмма 

  ●     Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

                                                             S = a ∙ h

Пример 1.      Основание параллелограмма равно 35см, а боковая сторона – 20см. Найти площадь

                        параллелограмма, если боковая сторона образует с высотой, опущенной на

               основание, угол 60˚.

Решение.      ∠ВСН = 90˚ - 60˚ =30˚  и, значит, катет ВН = ½ ВС = 20 : 2 =10 (см).

                     Искомая площадь   S = 35 ∙ 10 = 350 ().

   Ответ:   350 .

Пример 2.     Дан параллелограмм АВСД  со стороной АВ = 12см  и диагональю  АС = 16см.

                      Вершина  Д  удалена от диагонали АС на 4см. Вычислить расстояние от точки Д

                      до прямой  АВ.

Решение.       АС ∙ ДМ = 64 , а так как   АВ ∙ ДК , то  ДК = 64/12,

                        т. е.  ДК = 5  см.

   Ответ:   5  см.

Пример 3.      АВСД – параллелограмм, ВН и СК – высоты, АВ = 6см, ВС = 8см, ∠ВАН = 30˚.

                       Найдите площадь параллелограмма АВСД.

Решение.       S = АД ∙ ВН,  АД = ВС (свойство сторон параллелограмма).

                       Δ АВН – прямоугольный и ∠ВАН = 30˚, то ВН = ½ АВ = 6 : 2 = 3(см).

                        S = 8 ∙ 3 = 24 ().

   Ответ:  24 .

Пример 4.      АВСД – параллелограмм, диагональ ВД перпендикулярна к основанию ДС, ВД = 13см,

                       ДС = 12см. Найдите площадь параллелограмма АВСД.

Решение.       S = ДС ∙ ВД, так как  ВД ┴ДС (ВД – высота параллелограмма АВСД) ,

                      S = 12 ∙ 13 = 156 ().

   Ответ:  156 .

Пример 5.    АВСД – параллелограмм, длины сторон которого равны соответственно 4,5см и 6см,

                     имеет площадь равную 54. Найдите длины высот, проведенные к сторонам АВСД .

Решение.     S = a ∙                   или                 S =

                     (см),                      (см).

   Ответ:  12см,  9см.     

                                                       Самостоятельная работа

Вариант 1

Стороны параллелограмма равны 10см  и 6см, а угол между этими сторонами равен 150˚.

Найдите площадь этого параллелограмма.

Вариант 2

Острый угол параллелограмма равен 30˚, а высоты, проведенные из вершины тупого угла,

Равны 4см и  3см. Найдите площадь этого параллелограмма.

Ответ:  1)   30 .        2)   24  .

        4.  Площадь треугольника и ромба        

●     Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту,

        проведенную к этой стороне.    .

Следствие 1.    Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения

                           его катетов.

Следствие 2.    Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Пример 1.      В равнобедренном треугольнике основание равно 30 м, а высота,

                       опущенная на  основание, равна 20 м. Найти высоту, опущенную

                       на боковую сторону, длина  которой равна 25 м.

Решение.      В  Δ АВС  основание  АС = 30 м, высота  ВД = 20 м, сл-но, можно

                      найти площадь этого треугольника:    = 300 .

                      Площадь этого треугольника  можно найти по другому:  

                             откуда  АЕ =2S: ВС,  (м).

   Ответ:    24 м.

Пример 2.    Две стороны треугольника равны 6 см  и 16 см. Высота, проведенная

                     к меньшей  стороне, равна 6 см. Найдите высоту, проведенную к

                     большей из этих сторон.

Решение.     С одной стороны  S =(6 ∙ 6) : 2 = 18 , а c другой  S = ½ ∙16 ∙ ,

                     т. е. 18 = 8 ∙ , откуда  = 18 : 8 = 2,25 (см).

  Ответ:  2,25 см.

Пример 3.     Вычислить площадь ромба, диагонали которого равны 6 см  и  3,3 см.

Решение.        Согласно следствию 2 искомая площадь равна  S = 6 ∙ 3,5 : 2 = 10, 5 .

   Ответ:    10, 5 .

Пример 4.      Найти площадь ромба, если его высота 10 м, а острый угол 30˚.

Решение.        Пусть  АВСД – ромб, где  ∠ВАД = 30˚,  ВЕ ┴АД  и  ВЕ = 10.

                       Из прямоугольного Δ АВЕ  найдем  АВ:   ВЕ = ½ АВ (как катет,

                       лежащий против угла в  30˚) и, значит,  АВ = 2ВЕ = 20 (м).

                       Так как АВ = АД, то площадь ромба S = ВЕ ∙ АД = 200 ().

   Ответ:  200 .

Пример 5.      Смежные стороны параллелограмма АВСД  равны 8см  и 12см,

                       образуют угол 150˚. Найдите площади  Δ АВС  и Δ АВД.

Решение.      Рассмотрим  Δ АВС и Δ АДС :  ,ВС = АД,  АВ = ДС,  АС – общая ,

                      то Δ АВС = Δ АДС, то  

                     =АД ∙ ВН,   Δ АВН – прямоугольный  и  ∠ А = 30˚, то

                     ВН = АВ : 2 =8 : 2 = 4(см),  = 4 ∙ 12 = 48 (),

                       то (). Аналогично, ().

   Ответ:  24 ,  24

                                                5.   Площадь трапеции

      ●     Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Пример1.      Стекла фонаря имеют вид трапеции, параллельные стороны которой равны

                       22 см  и  18 см, а расстояние между ними – 10 см. Как велика площадь каждого

                      стекла?

Решение.        Искомая площадь  S = ½ (22 + 18) ∙ 10 = 200 ().

   Ответ:  200 .

Пример2.      В трапеции АВСД основания равны 6 см  и 18 см. Боковая сторона трапеции    

                      образует с большим основанием угол 30˚  и имеет длину 12 см. Найдите площадь

                      трапеции.

Решение.       1)

2. Пусть СH АД, тогда Δ СHД – прямоугольный, ∠Д = 30˚,

СД – гипотенуза, сл-но, СН = ½ СД = 6 см (по св-ву катета,

                    Лежащего против угла в 30˚).

              3)  .

Ответ:  72 .

Пример 3 (№481).    Найдите площадь прямоугольной  трапеции, у которой две

                                 меньшие стороны  равны 6см, а больший угол равен 135˚.

Решение.         1)  ВН =НС= АД =6 см  (∠С = ∠В =45˚)

2. ДР = 6см, ДС = 6 + 6 =12 см
3. ().

Ответ:    54  .

Пример 4 (№480, б) Найдите площадь трапеции АВСД с основаниями АВ и СД,

                             если  ∠Д = 30˚, АВ = 2см, СД =10см, ДА = 8см.

Решение.    1)  Δ АДН – прямоугольный и   ∠Д = 30, то АН = ½АД = 4см

                    2)    .

  Ответ:   24 .  

                                                Самостоятельная работа

Вариант 1

Высота и основания трапеции относятся как  5 : 6 : 4. Найдите меньшее основание трапеции,

         если ее площадь равна 88 .

Вариант 2

Высота трапеции равна меньшему основанию и в два раза меньше большего основания. Найдите высоту трапеции, если ее площадь равна 54 .

                      6.   Теорема  Пифагора и обратная к ней

●  В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

                                                            .

●  Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон,

    то треугольник прямоугольный.

Пример1.        В прямоугольнике АВСД  стороны равны  5 см  и  12 см. Чему равна диагональ АВ?

Решение.        Из прямоугольного Δ АСВ согласно теореме Пифагора имеем:

                          ,   ,  АВ = 13 (см).

   Ответ:  13 см.

Пример2.     Диагонали ромба равны 24 м  и  70 м. Найти его сторону.

Решение.     Как известно диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

                     Поэтому  Δ АОВ прямоугольный с катетами 12м  и 35м и, значит, по теореме

                     Пифагора:   АВ = .

  Ответ:  37 м.

Пример3.     Основание равнобедренного треугольника а, боковая сторона b . Найти

                      биссектрису,  проведенную из вершины, противолежащей основанию.

Решение.      Пусть Δ АВС – равнобедренный с основанием АВ и биссектрисой СД,

                      которая одновременно является медианой и высотой . Поэтому АД =1/2 АВ.

                      Δ АДС – прямоугольный с прямым углом Д, по теореме Пифагора:

   Ответ:  ДС= 

Пример 4.    Найти площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, если его гипотенуза

                      равна 8 см.

Решение.      Обозначив один из катетов треугольника через  х, согласно теореме Пифагора имеем:

                       Так как ,  то  

   Ответ:  16.

Пример 5.    В равнобедренном треугольнике основание равно 30 м, а высота, опущенная на

                        основание, равна 20 м. Найти высоту, опущенную на боковую сторону.

Решение.     В  Δ АВС  основание  АС = 30 м, высота  ВД = 20 м, сл-но, можно найти площадь

                    этого треугольника:    = 300 .  Площадь этого треугольника

                    можно найти по другому:   откуда  АЕ =2S: ВС.

                    ВС можно найти из прямоугольного Δ ВДС по теореме Пифагора:

                    ВС = .  АЕ = (м).

  Ответ:  24 м.

Пример 6.    Найти площадь трапеции, параллельные стороны которой равны 16 м  и 44м,

                     а  непараллельные – 17м  и 25м.

Решение.    Пусть  АВСД – трапеция, тогда  АД = 44, ВС = 16, сл-но, АЕ + КД = 44 -16 = 28

                   ( ВЕ и СК – высоты). Обозначим  АЕ = х, тогда  КД = 28 – х. По условию АВ = 17,

                    СД = 25. Δ АВЕ – прямоугольный, по теореме Пифагора:

                    Δ СКД – прямоугольный, по теореме Пифагора:

                    Так как ВЕ = СК, то , откуда х = 8.Тогда =15.

                    Площадь трапеции ().

  Ответ:  450 .

Пример 7.(№498, а)   Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны

                                  выражаются числами  6, 8, 10.

Решение.               ,  получили   , значит по теореме

                      обратной  теореме Пифагора, треугольник является прямоугольным.

   Ответ:  треугольник является прямоугольным.

                                                         Самостоятельная работа          

Вариант 1 

В прямоугольной трапеции основания равны 22см и 6см, а большая боковая сторона – 20см.

Найдите площадь трапеции.

Вариант 2

В прямоугольной трапеции боковые стороны равны 7см и25см, а меньшее основание равно 2см.

Найдите площадь трапеции.

    Ответ:  1)  168 ;            2)  98 .

                                           Самостоятельная работа (итоговая)

Вариант 1

1. В треугольнике АВС  ∠ А = 45˚,  ВС = 13 см, а высота  ВД отсекает от стороны АС отрезок ДС, равный 12 см. Найдите площадь Δ АВС и высоту, проведенную к стороне ВС.
2. Одна из диагоналей ромба на 4 см больше другой, а площадь ромба равна 96 .

Найдите стороны ромба.

Вариант 2 

1. В треугольнике АВС  ∠ В = 45 , а высота АМ делит сторону ВС на отрезки ВМ = 8см  и

МС = 6см. Найдите площадь Δ АВС и сторону АС.

2.   Найдите площадь ромба, если его сторона равна 20см, а диагонали относятся как 3 : 4.

  7.  Карточки для устного опроса.  «Площади плоских фигур».   8 Г        

 Карточка 1.

1. Сформулируйте теорему о площади прямоугольника.
2. Площадь прямоугольника равна 75 . Найдите стороны этого прямоугольника, если одна из

них в три раза больше другой.

3. Найдите площадь прямоугольника , если одна из его сторон равна 5см, а угол между диагоналями равен 60˚.

  Карточка 2.        

1. Сформулируйте теорему о площади параллелограмма.
2. Площадь параллелограмма равна 90 . Найдите высоту параллелограмма, проведенную к

стороне, равной 12см.

  3.   Диагональ параллелограмма равна его стороне. Найдите площадь параллелограмма, если одна

Из его сторон равна 14см, а один из углов равен 60˚.

Карточка 3.

1. Сформулируйте теорему о площади треугольника.
2. Стороны АВ и ВС треугольника АВС равны соответственно 8см и 4, 8см, а высота, проведенная к стороне АВ, равна 6см. Найдите высоту, проведенную к стороне ВС.
3. Найдите площадь равностороннего треугольника, сторона которого равна 12см.

Карточка 4.

1. Сформулируйте теорему о площади трапеции.
2. Вычислите площадь трапеции АВСД  с основаниями АД и ВС, если АД = 20см, ВС = 4см,

      АВ = 16см  и  ∠А = 30˚.

3. Найдите площадь равнобедренной трапеции, основания которой равны 8см  и  12см, а боковая

сторона – 10см.

Карточка 5.

1. Сформулируйте теорему Пифагора.
2. Найдите сторону ромба, если его диагонали равны 12см и 16см.
3. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его основание  равно 10см, а боковая сторона равна 13см.

Карточка 6.

1. Сформулируйте теорему, обратную теореме Пифагора.
2. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 6см, 8см  и  10см.
3. Найдите площадь трапеции АВСД с основанием АД и ВС, если АД = 12см, ВС = 6см, СД = 5см, АС = 13см.