Площади плоских фигур. Теорема Пифагора
методическая разработка по геометрии (8 класс) на тему
Данный материал состоит из 7 глав: 1. Понятие площади. 2. Площадь прямоугольника. 3. Площадь параллелограмма. 4. Площадь треугольника и ромба. 5. Площадь трапеции. 6. Теорема Пифагора. 7. Карточки для устного опроса. К каждой главе дан кратко теоретический материал, основные формулы и подобраны задачи ( с решениями), а также даны тексты 4-х самостоятельных работ.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 194.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Площади плоских фигур. Геометрия 8.
- Понятие площади.
- Площадь прямоугольника.
- Площадь параллелограмма.
- Площадь треугольника и ромба.
- Площадь трапеции.
- Теорема Пифагора.
- Карточки для устного опроса.
- Понятие площади.
Геометрическая фигура называется простой, если ее можно разбить на конечное число плоских треугольников.
Площадь простой фигуры – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:
● 1. Равные фигуры имеют равные площади.
● 2. Если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей ее частей.
● 3. Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице.
Фигуры, имеющие равные площади, принято называть равновеликими.
- Площадь прямоугольника.
● Площадь прямоугольника равна произведению его измерений.
S = a ∙ b
Пример 1. Сравнить площадь прямоугольника со сторонами 48см и 27см с площадью квадрата со стороной 36см.
Решение. Искомые площади прямоугольника и квадрата равны:
48 ∙ 27 = 1296 () и 36 ∙ 36 =1296 ().
Ответ: площади этих фигур одинаковы.
Пример 2. Как изменится площадь прямоугольника, если его основание увеличить на 50% ,
а высоту уменьшить на 50%?
Решение. Если основание прямоугольника принять за х, а высоту за у, то его площадь будет
равна S = х у.
Основание увеличили на 50%, т. е. оно стало 1,5х. Высоту уменьшили на 50%, т. е.
она стала 0,5у. Поэтому = 1,5х ∙ 0,5у = 0,75 ху.
Следовательно, площадь прямоугольника уменьшится на 25%.
Ответ: площадь прямоугольника уменьшится на 25%.
3. Площадь параллелограмма
● Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
S = a ∙ h
Пример 1. Основание параллелограмма равно 35см, а боковая сторона – 20см. Найти площадь
параллелограмма, если боковая сторона образует с высотой, опущенной на
основание, угол 60˚.
Решение. ∠ВСН = 90˚ - 60˚ =30˚ и, значит, катет ВН = ½ ВС = 20 : 2 =10 (см).
Искомая площадь S = 35 ∙ 10 = 350 ().
Ответ: 350 .
Пример 2. Дан параллелограмм АВСД со стороной АВ = 12см и диагональю АС = 16см.
Вершина Д удалена от диагонали АС на 4см. Вычислить расстояние от точки Д
до прямой АВ.
Решение. АС ∙ ДМ = 64 , а так как АВ ∙ ДК , то ДК = 64/12,
т. е. ДК = 5 см.
Ответ: 5 см.
Пример 3. АВСД – параллелограмм, ВН и СК – высоты, АВ = 6см, ВС = 8см, ∠ВАН = 30˚.
Найдите площадь параллелограмма АВСД.
Решение. S = АД ∙ ВН, АД = ВС (свойство сторон параллелограмма).
Δ АВН – прямоугольный и ∠ВАН = 30˚, то ВН = ½ АВ = 6 : 2 = 3(см).
S = 8 ∙ 3 = 24 ().
Ответ: 24 .
Пример 4. АВСД – параллелограмм, диагональ ВД перпендикулярна к основанию ДС, ВД = 13см,
ДС = 12см. Найдите площадь параллелограмма АВСД.
Решение. S = ДС ∙ ВД, так как ВД ┴ДС (ВД – высота параллелограмма АВСД) ,
S = 12 ∙ 13 = 156 ().
Ответ: 156 .
Пример 5. АВСД – параллелограмм, длины сторон которого равны соответственно 4,5см и 6см,
имеет площадь равную 54. Найдите длины высот, проведенные к сторонам АВСД .
Решение. S = a ∙ или S =
(см), (см).
Ответ: 12см, 9см.
Самостоятельная работа
Вариант 1
Стороны параллелограмма равны 10см и 6см, а угол между этими сторонами равен 150˚.
Найдите площадь этого параллелограмма.
Вариант 2
Острый угол параллелограмма равен 30˚, а высоты, проведенные из вершины тупого угла,
Равны 4см и 3см. Найдите площадь этого параллелограмма.
Ответ: 1) 30 . 2) 24 .
4. Площадь треугольника и ромба
● Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту,
проведенную к этой стороне. .
Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения
его катетов.
Следствие 2. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Пример 1. В равнобедренном треугольнике основание равно 30 м, а высота,
опущенная на основание, равна 20 м. Найти высоту, опущенную
на боковую сторону, длина которой равна 25 м.
Решение. В Δ АВС основание АС = 30 м, высота ВД = 20 м, сл-но, можно
найти площадь этого треугольника: = 300 .
Площадь этого треугольника можно найти по другому:
откуда АЕ =2S: ВС, (м).
Ответ: 24 м.
Пример 2. Две стороны треугольника равны 6 см и 16 см. Высота, проведенная
к меньшей стороне, равна 6 см. Найдите высоту, проведенную к
большей из этих сторон.
Решение. С одной стороны S =(6 ∙ 6) : 2 = 18 , а c другой S = ½ ∙16 ∙ ,
т. е. 18 = 8 ∙ , откуда = 18 : 8 = 2,25 (см).
Ответ: 2,25 см.
Пример 3. Вычислить площадь ромба, диагонали которого равны 6 см и 3,3 см.
Решение. Согласно следствию 2 искомая площадь равна S = 6 ∙ 3,5 : 2 = 10, 5 .
Ответ: 10, 5 .
Пример 4. Найти площадь ромба, если его высота 10 м, а острый угол 30˚.
Решение. Пусть АВСД – ромб, где ∠ВАД = 30˚, ВЕ ┴АД и ВЕ = 10.
Из прямоугольного Δ АВЕ найдем АВ: ВЕ = ½ АВ (как катет,
лежащий против угла в 30˚) и, значит, АВ = 2ВЕ = 20 (м).
Так как АВ = АД, то площадь ромба S = ВЕ ∙ АД = 200 ().
Ответ: 200 .
Пример 5. Смежные стороны параллелограмма АВСД равны 8см и 12см,
образуют угол 150˚. Найдите площади Δ АВС и Δ АВД.
Решение. Рассмотрим Δ АВС и Δ АДС : ,ВС = АД, АВ = ДС, АС – общая ,
то Δ АВС = Δ АДС, то
=АД ∙ ВН, Δ АВН – прямоугольный и ∠ А = 30˚, то
ВН = АВ : 2 =8 : 2 = 4(см), = 4 ∙ 12 = 48 (),
то (). Аналогично, ().
Ответ: 24 , 24
5. Площадь трапеции
● Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
Пример1. Стекла фонаря имеют вид трапеции, параллельные стороны которой равны
22 см и 18 см, а расстояние между ними – 10 см. Как велика площадь каждого
стекла?
Решение. Искомая площадь S = ½ (22 + 18) ∙ 10 = 200 ().
Ответ: 200 .
Пример2. В трапеции АВСД основания равны 6 см и 18 см. Боковая сторона трапеции
образует с большим основанием угол 30˚ и имеет длину 12 см. Найдите площадь
трапеции.
Решение. 1)
- Пусть СH АД, тогда Δ СHД – прямоугольный, ∠Д = 30˚,
СД – гипотенуза, сл-но, СН = ½ СД = 6 см (по св-ву катета,
Лежащего против угла в 30˚).
3) .
Ответ: 72 .
Пример 3 (№481). Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две
меньшие стороны равны 6см, а больший угол равен 135˚.
Решение. 1) ВН =НС= АД =6 см (∠С = ∠В =45˚)
- ДР = 6см, ДС = 6 + 6 =12 см
- ().
Ответ: 54 .
Пример 4 (№480, б) Найдите площадь трапеции АВСД с основаниями АВ и СД,
если ∠Д = 30˚, АВ = 2см, СД =10см, ДА = 8см.
Решение. 1) Δ АДН – прямоугольный и ∠Д = 30, то АН = ½АД = 4см
2) .
Ответ: 24 .
Самостоятельная работа
Вариант 1
Высота и основания трапеции относятся как 5 : 6 : 4. Найдите меньшее основание трапеции,
если ее площадь равна 88 .
Вариант 2
Высота трапеции равна меньшему основанию и в два раза меньше большего основания. Найдите высоту трапеции, если ее площадь равна 54 .
6. Теорема Пифагора и обратная к ней
● В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
.
● Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон,
то треугольник прямоугольный.
Пример1. В прямоугольнике АВСД стороны равны 5 см и 12 см. Чему равна диагональ АВ?
Решение. Из прямоугольного Δ АСВ согласно теореме Пифагора имеем:
, , АВ = 13 (см).
Ответ: 13 см.
Пример2. Диагонали ромба равны 24 м и 70 м. Найти его сторону.
Решение. Как известно диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
Поэтому Δ АОВ прямоугольный с катетами 12м и 35м и, значит, по теореме
Пифагора: АВ = .
Ответ: 37 м.
Пример3. Основание равнобедренного треугольника а, боковая сторона b . Найти
биссектрису, проведенную из вершины, противолежащей основанию.
Решение. Пусть Δ АВС – равнобедренный с основанием АВ и биссектрисой СД,
которая одновременно является медианой и высотой . Поэтому АД =1/2 АВ.
Δ АДС – прямоугольный с прямым углом Д, по теореме Пифагора:
Ответ: ДС=
Пример 4. Найти площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, если его гипотенуза
равна 8 см.
Решение. Обозначив один из катетов треугольника через х, согласно теореме Пифагора имеем:
Так как , то
Ответ: 16.
Пример 5. В равнобедренном треугольнике основание равно 30 м, а высота, опущенная на
основание, равна 20 м. Найти высоту, опущенную на боковую сторону.
Решение. В Δ АВС основание АС = 30 м, высота ВД = 20 м, сл-но, можно найти площадь
этого треугольника: = 300 . Площадь этого треугольника
можно найти по другому: откуда АЕ =2S: ВС.
ВС можно найти из прямоугольного Δ ВДС по теореме Пифагора:
ВС = . АЕ = (м).
Ответ: 24 м.
Пример 6. Найти площадь трапеции, параллельные стороны которой равны 16 м и 44м,
а непараллельные – 17м и 25м.
Решение. Пусть АВСД – трапеция, тогда АД = 44, ВС = 16, сл-но, АЕ + КД = 44 -16 = 28
( ВЕ и СК – высоты). Обозначим АЕ = х, тогда КД = 28 – х. По условию АВ = 17,
СД = 25. Δ АВЕ – прямоугольный, по теореме Пифагора:
Δ СКД – прямоугольный, по теореме Пифагора:
Так как ВЕ = СК, то , откуда х = 8.Тогда =15.
Площадь трапеции ().
Ответ: 450 .
Пример 7.(№498, а) Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны
выражаются числами 6, 8, 10.
Решение. , получили , значит по теореме
обратной теореме Пифагора, треугольник является прямоугольным.
Ответ: треугольник является прямоугольным.
Самостоятельная работа
Вариант 1
В прямоугольной трапеции основания равны 22см и 6см, а большая боковая сторона – 20см.
Найдите площадь трапеции.
Вариант 2
В прямоугольной трапеции боковые стороны равны 7см и25см, а меньшее основание равно 2см.
Найдите площадь трапеции.
Ответ: 1) 168 ; 2) 98 .
Самостоятельная работа (итоговая)
Вариант 1
- В треугольнике АВС ∠ А = 45˚, ВС = 13 см, а высота ВД отсекает от стороны АС отрезок ДС, равный 12 см. Найдите площадь Δ АВС и высоту, проведенную к стороне ВС.
- Одна из диагоналей ромба на 4 см больше другой, а площадь ромба равна 96 .
Найдите стороны ромба.
Вариант 2
- В треугольнике АВС ∠ В = 45 , а высота АМ делит сторону ВС на отрезки ВМ = 8см и
МС = 6см. Найдите площадь Δ АВС и сторону АС.
2. Найдите площадь ромба, если его сторона равна 20см, а диагонали относятся как 3 : 4.
7. Карточки для устного опроса. «Площади плоских фигур». 8 Г
Карточка 1.
- Сформулируйте теорему о площади прямоугольника.
- Площадь прямоугольника равна 75 . Найдите стороны этого прямоугольника, если одна из
них в три раза больше другой.
- Найдите площадь прямоугольника , если одна из его сторон равна 5см, а угол между диагоналями равен 60˚.
Карточка 2.
- Сформулируйте теорему о площади параллелограмма.
- Площадь параллелограмма равна 90 . Найдите высоту параллелограмма, проведенную к
стороне, равной 12см.
3. Диагональ параллелограмма равна его стороне. Найдите площадь параллелограмма, если одна
Из его сторон равна 14см, а один из углов равен 60˚.
Карточка 3.
- Сформулируйте теорему о площади треугольника.
- Стороны АВ и ВС треугольника АВС равны соответственно 8см и 4, 8см, а высота, проведенная к стороне АВ, равна 6см. Найдите высоту, проведенную к стороне ВС.
- Найдите площадь равностороннего треугольника, сторона которого равна 12см.
Карточка 4.
- Сформулируйте теорему о площади трапеции.
- Вычислите площадь трапеции АВСД с основаниями АД и ВС, если АД = 20см, ВС = 4см,
АВ = 16см и ∠А = 30˚.
- Найдите площадь равнобедренной трапеции, основания которой равны 8см и 12см, а боковая
сторона – 10см.
Карточка 5.
- Сформулируйте теорему Пифагора.
- Найдите сторону ромба, если его диагонали равны 12см и 16см.
- Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно 10см, а боковая сторона равна 13см.
Карточка 6.
- Сформулируйте теорему, обратную теореме Пифагора.
- Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 6см, 8см и 10см.
- Найдите площадь трапеции АВСД с основанием АД и ВС, если АД = 12см, ВС = 6см, СД = 5см, АС = 13см.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2019/11/12/picture-41345-1573567067.png)
План конспект урока по теме: Вычисление площадей плоских фигур, изображенных на клетчатой бумаге.
План – конспект урока математики в 5 Б классе по теме: «Вычисление площадей плоских фигур, изображенных на клетчатой бумаге».Цели урока:- содержательная: с помощью практических заданий обеспечить пони...
![](/sites/default/files/pictures/2011/09/25/picture-20909.jpg)
Зачет по геометрии 8 класс по теме "Площади фигур. Теорема Пифагора"
В данной разработке представлены карточки в 23 вариантах для практической части зачета по геометрии в 8 классе по теме"площади фигур. Теорема Пифагора". В карточках отражены задачи на нахождение площа...
![](/sites/default/files/pictures/2012/09/05/picture-106148.jpg)
Урок геометрии в 8 классе по теме: "Площади фигур. Теорема Пифагора"
Урок геометрии в 8 классе по теме: "Площади фигур. Теорема Пифагора" ...
![](/sites/default/files/pictures/2017/06/26/picture-933623-1498487989.jpg)
Контрольная работа по теме " Площади фигур. Теорема Пифагора."
Контрольная работа по теме " Площади фигур. Теорема Пифагора."...
![](/sites/default/files/pictures/2016/12/02/picture-860769-1480692144.jpg)
Контрольная работа по геометрии для 8 класса по теме "Площади фигур. Теорема Пифагора"
Данный материал озволяет проконтролтровать уровень усвоения материала по теме "Площади фигур. Теорема Пифагора"...
![](/sites/default/files/pictures/2021/04/05/picture-1327116-1617630505.jpg)
Зачет по геометрии 8 класс по теме "Площади фигур. Теорема Пифагора"
В данной разработке представлены карточки в 23 вариантах для практической части зачета по геометрии в 8 классе по теме"площади фигур. Теорема Пифагора". В карточках отражены задачи на нахожд...