Пирамида
план-конспект по геометрии на тему

Пирамида. Площадь поверхности пирамиды

Сегодня мы с вами познакомимся с еще одним видом многогранников - пирамида.

Рассмотрим многоугольник  и точку P, не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединив точку P отрезками с вершинами многоугольника, получим n треугольников: . 

Определение. Многогранник, составленный из n - угольника  и n треугольников , называется пирамидой.

Многоугольник  называется основанием, а треугольники  - боковыми гранями пирамиды. Точка P называется вершиной пирамиды, а отрезки  - ее боковыми ребрами.

Пирамиду с основанием  и вершиной P обозначают так:  - и называют n-угольной пирамидой.

Показываются модели четырехугольной и шестиугольной пирамиды.

- Как называется пирамида, в основании которой лежит треугольник? (Тетраэдр).

Таким образом, тетраэдр - это треугольная пирамида. 

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды.

Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней.

Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

Таким образом,

=+

Определение. Пирамида называется правильной, если ее основание - правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является высотой.

Напоминаю, что центром правильного многоугольника называется центр вписанной в него окружности.

Теорема 1. Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Доказательство.

Рассмотрим правильную пирамиду. Докажем, что все боковые ребра этой пирамиды равны. Любое боковое ребро представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, одним катетом которого служит высота PO пирамиды, а другим - радиус описанной около основания окружности. Пусть - гипотенуза треугольника ,  По теореме Пифагора любое боковое ребро равно , поэтому .

Так как боковые ребра правильной пирамиды равны друг другу, следовательно, боковые грани - равнобедренные треугольники. Основания этих треугольников также равны друг другу, т.к.  - правильный многоугольник. Следовательно, боковые грани правильной пирамиды равны друг другу по третьему признаку равенства треугольников.

Определение. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой. Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу.

Теорема 2.  Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Доказательство. Боковые грани правильной пирамиды - равные равнобедренные треугольники, основания которых - стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме. Площадь S боковой поверхности пирамиды равна сумме произведений сторон основания на половину апофемы d. Вынося множитель  за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды, т.е. периметр.