Особенности формирования понятия треугольник в 7 классе
учебно-методический материал по геометрии на тему

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Основы методики изучения математических понятий.

1.1.  Понятие в философии и психологии.

2.1. Психологические аспекты формирования понятия.

3.1. Математические понятия, их содержание и объемы, классификация понятий.

3.1.1. Определение математических понятий, первичные понятия, поясняющие описание

4.1. Способы определения понятий

4.1.1. Методические особенности к определению понятия

5.1. Введение понятий в школьном курсе математики

5.1.1. Основные этапы изучения понятий в школе

6.1. Педагогические основы обучения математики в 7 классах

6.1.1. Особенности познавательной деятельности

6.1.2. Некоторые педагогические особенности обучения математики в 7 классах

ГЛАВА 2. Введение понятия ТРЕУГОЛЬНИК.

2.1. Определение треугольник.

2.2. Государственный стандарт по курсу изучения темы треугольник

2.3. Анализ учебников геометрии Атанасяна Л.С., Погорелова А.В., Шарыгина И.Ф. по теме треугольники.

2.4. Формирование понятия треугольник по Атанасяну Л.С.

2.5. Ошибки, допускаемые учениками при формировании понятия треугольник.

2.6.  Рекомендации.

2.7. Система упражнений по теме треугольник.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

ПРИЛОЖЕНИЯ

ВВЕДЕНИЕ

Понятие является одной из главных составляющих в содержании любого учебного предмета, в том числе – и математики.

С самого начала встреча с понятиями происходит у учащихся при изучении различных математических дисциплин. Так, начиная изучать геометрию, учащиеся сразу же встречаются с понятиями: точка, линия, угол, а далее – с целой системой понятий, связанных с видами геометрических объектов.

Задача учителя – обеспечить полноценное усвоение понятий. Однако в школьной практике данная задача решается не так успешно, как того требуют цели общеобразовательной школы.

Объект исследования: процесс формирования математического понятия в 7 классе.

Цель работы: разработать методические рекомендации для изучения понятия треугольник в 7 классе.

Задачи работы:

1. Изучить математическую, методическую, педагогическую литературу по теме треугольник.
2. Выявить основные способы определения понятия треугольник в учебниках 7 класса.
3. Определить особенности формирования понятия треугольник в 7 классе.
4. Разработать методические рекомендации формирования понятия треугольник.

Методы исследования:

• изучение методической и психологической литературы по теме;
• сравнение различных учебников по математике;
• наблюдение.

ГЛАВА 1. ОСНОВЫ МЕТОДИКИ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ

1. Понятие в философии и психологии

Понятие – форма мышления о целостной совокупности существенных и несущественных свойств объекта.

Переход от чувственной ступени познания к логическому мышлению характеризуется прежде всего как переход от восприятий, представлений к отражению в форме понятий. По своему происхождению понятие является результатом длительного процесса развития познания, концентрированным выражением исторически достигнутого знания. Образование понятия — сложный диалектический процесс, который осуществляется с помощью таких методов, как сравнение, анализ, синтез, абстрагирование, идеализация, обобщение, эксперимент и др. Понятие — это необразное, выраженное в слове отражение действительности. Оно обретает своё реальное мыслительно-речевое бытие лишь в развёртывании определений, в суждениях, в составе определённой теории.

В понятии выделяется и фиксируется прежде всего общее, которое достигается за счёт отвлечения от всех особенностей отдельных предметов данного класса. Но оно не исключает единичное и особенное. На основе общего только и возможно выделение и познание особенного и единичного. Научное понятие является единством общего, особенного и единичного, то есть конкретно-всеобщим. При этом общее в понятии относится не просто к числу экземпляров данного класса, обладающих общими свойствами, не только к множеству однородных предметов и явлений, а к самой природе содержания понятия, выражающего нечто существенное в предмете.

В истории философии выявились две противоположные линии — материалистическая, считающая, что понятия объективны по своему содержанию, и идеалистическая, согласно которой понятие есть спонтанно возникающая мысленная сущность, абсолютно независимая от объективной реальности. Например, для объективного идеалиста Г. Гегеля понятия первичны, а предметы, природа суть лишь бледные копии их.

Под понятием И.Кант разумел любое общее представление, поскольку последнее фиксировано термином. Отсюда и его определение: «Понятие… есть общее представление или представление того, что обще многим объектам, следовательно — представление, имеющее возможность содержаться в различных объектах»

Понятие для Г.Гегеля — «прежде всего синоним действительного понимания существа дела, а не просто выражение любого общего, любой одинаковости объектов созерцания. В понятии раскрывается подлинная природа вещи, а не её сходство с другими вещами, и в нём должна поэтому находить свое выражение не только абстрактная общность (это лишь один момент понятия, роднящий его с представлением), а и особенность его объекта. Вот почему формой понятия оказывается диалектическое единство всеобщности и особенности, которое и раскрывается через разнообразные формы суждения и заключения, а в суждении выступает наружу. Неудивительно, что любое суждение ломает форму абстрактного тождества, представляет собою её самоочевиднейшее отрицание. Его форма — А есть В (то есть не‑A)».

Всеобщее понятие выражает не простую абстрактную общность, одинаковость единичных представителей данного класса, но «действительный закон возникновения, развития и исчезновения единичных вещей».

Психология позволяет подойти к изучению понятий эмпирически, исследуя существующие в сознании отношения между понятиями (семантические кластеры, группы, сети), в том числе с помощью математических методов (кластерного и факторного анализа); процессы формирования понятий, в том числе с помощью метода формирования искусственных понятий; возрастное развитие понятий и т. п.

Психологические исследования позволили установить, что понятия не являются неизменными по своей природе сущностями, не зависящими от возраста оперирующего ими субъекта. Овладение понятиями происходит постепенно, и понятия, которыми пользуется ребёнок, отличаются от понятий взрослого человека.

2.1. Психологические аспекты формирования понятий 

Обратимся к психологической литературе и выясним основные положения концепции формирования научных понятий.

Становление понятий – это процесс формирования не только особого образца мира, но и определённой системы действий. Действия, операции и составляют психологический механизм понятий. Без них понятие не может быть ни усвоено, ни применено в дальнейшем к решению задач. В силу этого особенности сформированных понятий не могут быть поняты без обращения к действиям, продуктом которых они являются. И необходимо формировать следующие виды действий, используемых при изучении понятий [10]:

•  Действие распознавания используется, когда понятие усваивается для распознавания объектов, относящихся к данному классу. Данное действие может быть применено при формировании понятий с конъюнктивной и дизъюнктивной логической структурой.
• Выведение следствий.
• Сравнение.
• Классификация.
• Действия, связанные с установлением иерархических отношений внутри системы понятий, и другие.

Определение – ориентировочная основа для оценки предметов, с которыми взаимодействует обучаемый. Так, получая определение угла, ученик может теперь анализировать различные предметы с точки зрения наличия или отсутствия в них признаков угла. Такая реальная работа создаёт в голове ученика образ предметов данного класса. Таким образом, получение определения – это лишь первый шаг на пути усвоения понятия.

Второй шаг – включение определения понятия в те действия учащихся, которые они выполняют с соответствующими объектами и с помощью которых строят в своей голове понятие об этих объектах.

Третий шаг состоит в том, чтобы научить школьников ориентироваться на содержание определения при выполнении различных действий с объектами. Если это не обеспечено, то в одних случаях ученики будут опираться на свойства, которые они сами выделили в объектах, в других случаях дети могут использовать только часть указанных свойств; в-третьих – могут добавить к указанным определениям свои.

Условия, обеспечивающие управление процессом усвоения понятий

1. Наличие адекватного действия: оно должно быть направлено на существенные свойства.
2. Знание состава используемого действия. Например, действие распознавания включает: а) актуализацию системы необходимых и достаточных свойств понятия; б) проверку каждого из них в предлагаемых объектах; в) оценку полученных результатов.
3. Представленность всех элементов действий во внешней, материальной форме.
4. Поэтапное формирование введённого действия.
5. Наличие пооперационного контроля при усвоении новых форм действия.

Итак, у ребёнка постепенно формируется определённый образ предметов данного класса. Понятие действительно нельзя дать в готовом виде, оно может быть построено только самим учеником путём выполнения определённой системы действий с предметами. Учитель помогает ученику сформировать этот образ с содержанием, опережающим существенные свойства предметов данного класса, и задаёт общественно выработанную точку зрения на предметы, с которыми работает ученик. Понятие - это продукт действий, выполняемых учеником с предметами данного класса.

3.1. Математические понятия, их содержание и объём, классификация понятий.

Математические понятия имеют свои особенности: они часто возникают из потребности науки и не имеют аналогов в реальном мире; они обладают большой степенью абстракции. В силу этого желательно показать учащимся возникновение изучаемого понятия (либо из потребности практики, либо из потребности науки).

Каждое понятие характеризуется объёмом и содержанием. Содержание – множество существенных признаков понятия. Объём – множество объектов, к которым применимо данное понятие. Рассмотрим связь между объёмом и содержанием понятия. Если содержание соответствует действительности и не включает противоречивых признаков, то объём – это не пустое множество, что важно показать учащимся при введении понятия. Содержание вполне определяет объём и наоборот. Значит, изменение одного влечёт изменение другого: если содержание увеличивается, то объём уменьшается.

Содержание понятия отождествляется с его определением, а объём раскрывается через классификацию. Классификация – деление множества на подмножества, которые удовлетворяют следующим требованиям:

• должно проводится по одному признаку;
• классы должны быть не пересекающимися;
• объединение всех классов должно давать всё множество;
• классификация должна быть непрерывной (классами должны быть ближайшие видовые понятия по отношению к понятию, которое подлежит классификации).

Выделяют следующие виды классификации:

1. По видоизмененному признаку. Объекты, подлежащие классификации, могут обладать несколькими признаками, поэтому можно классифицировать по-разному.
2. Дихотомический. Деление объёма понятия на два видовых понятия, одно из которых обладает данным признаком, а другое нет.

Выделим цели обучения  классификации:

1) развитие логического мышления;

2) изучая видовые отличия, мы составляем более ясное представление о родовом  понятии.

Оба вида классификации используются в школе. Как правило, сначала дихотомический, а затем по видоизменённому признаку.

3.1.2. Определение математических понятий, первичные понятия, поясняющие описание

Определить объект – выбрать из его существенных свойств такие и столько, чтобы каждое из них было необходимым, а все вместе достаточными для отличия этого объекта от других. Результат этого действия фиксируется в определении.

Определением считается такая формулировка, которая сводит новое понятие к уже известным понятиям этой же области. Такое сведение не может продолжаться бесконечно, поэтому наука имеет первичные понятия, которые определяются не явно, а косвенно (через аксиомы). Список первичных понятий неоднозначен, по сравнению с наукой, в школьном курсе первичных понятий намного больше. Основной приём для разъяснения, введения первичных понятий – составление родословных.

В школьном курсе не всегда целесообразно давать понятиям строгое определение. Иногда достаточно сформировать правильное представление. Это достигается с помощью поясняющих описаний – доступных для учащихся предложений, которые вызывают у них один наглядный образ, и помогают усвоить понятие. Здесь не ставится требование сведения нового понятия к ранее изученным. Усвоение должно быть доведено до такого уровня, чтобы в дальнейшем, не вспоминая описания, ученик мог узнать объект, относящийся к данному понятию.

4.1 Способы определения понятий:

По логической структуре определения делятся на конъюнктивные (существенные признаки соединяются союзом "и") и дизъюнктивные (существенные признаки соединяются союзом "или").

Выделение существенных признаков, зафиксированных в определении, и зафиксированных связей между ними называется логико-математическим анализом определения.

Существует подразделение определений на дескриптивные и конструктивные.

Дескриптивные – описательные или косвенные определения, имеющие, как правило, вид: «объект называется…, если он обладает…». Из таких определений не следует факт существования данного объекта, поэтому все подобные понятия требуют доказательства существования. Среди них выделяют следующие способы определений понятий:

• Через ближайший род и видовое отличие. (Ромбом называется параллелограмм, две смежные стороны которого равны. Родовым выступает понятие параллелограмма, из которого определяемое понятие выделяется посредством одного видового отличия).
• Определения-соглашения – определения, в которых свойства понятий выражаются с помощью равенств или неравенств.
• Аксиоматические определения. В самой науке математике используются часто, а в школьном курсе редко и для интуитивно ясных понятий. (Площадь фигуры – величина, численное значение которой удовлетворяет условиям: S(F) • 0; F1 = F2 ⇒ S(F1) = S(F2);  F=F1 ∪ F2, F1 ∩ F2 = ∅ ⇒ S(F) = S(F1) + S(F2); S(E) = 1.
• Определения через абстракцию. Прибегают к такому определению понятия, когда другое трудно или невозможно осуществить (например, натуральное число).
• Определение-отрицание – определение, в котором фиксируется не наличие свойства, а его отсутствие (например, параллельные прямые).

Конструктивные (или генетические) – это определения, в которых указывается способ получения нового объекта (например, сферой называется поверхность, полученная вращением полуокружности вокруг своего диаметра). Среди таких определений иногда выделяют рекурсивные – определения,  указывающие некоторый базисный элемент какого-либо класса и правило, по которому можно получить новые объекты того же класса (например, определение прогрессии).

4.1.1 Методические требования к определению понятия

• Требование научности.
• Требование доступности.
• Требование соизмеримости (объём определяемого понятия должен быть равен объёму определяющего понятия). Нарушение данного требования ведёт либо к очень широкому, либо к очень узкому определению.
• Определение не должно содержать порочного круга.
• Определения должны быть ясными, точными, не содержать метафорических выражений.
• Требование минимальности.

2. Отношения между понятиями.

Понятия, как и предметы или идеи, им соответствующие, находятся в определенных отношениях, взаимосвязях друг с другом.

Понятия называются сравнимыми,  если содержания этих понятий имеют общие признаки. Так понятия телевидение и радио – понятия сравнимые, так как имеют общий признак – они являются средствами массовой информации. Компьютер и снегопад – далекие, несравнимые понятия.

Виды отношений между понятиями по объему удобно представить в виде графа, а взаимосвязи между его частями иллюстрировать с помощью кругов Эйлера.

Одной из наиболее характерных особенностей современной математики является ее высокая степень абстрагирования. Понятие объединяет множество объектов, обладающих определенными свойствами. Абстракция – мыслительная операция, абстрагирование – процесс.

Некоторая абстрактная теория выводит следствия из этих свойств, которые впоследствии можно будет применить к любому объекту этого множества. Абстрагирование достигается за счет выполнения логической операции обобщения. Благодаря обобщению мы переносим свойства одного объекта на свойство другого, с ним родственного.

Задание 1. Рассмотреть  связь  между частными и общими понятиями  согласно процессу абстрагирования.

1. Теорема Пифагора.

Решение. Установив, что  в некотором прямоугольном треугольнике со сторонами длиной 3, 4 и 5, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, обобщаем этот вывод можно распространить на  прямоугольные треугольники со сторонами, пропорциональными числам вида (3k)2 + (4k)2 =(5k)2 (- “египетский” треугольник, а затем доказывается справедливость полученного вывода для произвольного   прямоугольного треугольника, т.е. а2 + b2 = с2. Далее идет распространение общего на все остальные прямоугольные треугольники с конкретными длинами сторон.

5.1 Введение понятий в школьном курсе математики

При формировании понятий необходимо организовывать деятельность учащихся по усвоению двух основных логических приёмов: подведение под понятие и выведение следствий из факта принадлежности объекта понятию.

Действие подведения под понятие имеет следующую структуру:

1. Выделение всех свойств, зафиксированных в определении.
2. Установление логических связей между ними.
3. Проверка наличия у объекта выделенных свойств и их связей.
4. Получение вывода о принадлежности объекта объёму понятия.

Выведение следствий – это выделение существенных признаков объекта, принадлежащему данному понятию.

 В методике выделяют три пути введения понятий:

1. Конкретно-индуктивный:

• Рассмотрение различных объектов как принадлежащих объёму понятия, так и не принадлежащих.
• Выявление существенных признаков понятия на основе сравнения объектов.
• Введение термина, формулировка определения.
• Формирование умения подводить объект под понятие и выводить первичные следствия.

2. Абстрактно-дедуктивный:

• Введение определения учителем.
• Рассмотрение особых и частных случаев.
• Формирование умения подводить объект под понятие и выводить первичные следствия.

При введении понятия первым путём учащиеся лучше понимают мотивы введения, учатся строить определения и понимать важность каждого слова в нём. При введении понятия вторым путём экономится большое количество времени, что тоже не маловажно.

3)        Комбинированный. Используется для более сложных понятий математического анализа. На основе небольшого числа конкретных примеров даётся определение понятия. Затем путём решения задач, в которых варьируются несущественные признаки, и путём сопоставления данного понятия с конкретными примерами продолжается формирование понятия.

5.1.1. Основные этапы изучения понятия в школе.

В литературе выделяют три основных этапа изучения понятий в школе:

1. При введении понятия используется один из трёх вышеизложенных способов. Во время данного этапа нужно учесть следующее:

• Прежде всего, необходимо обеспечить мотивацию введения данного понятия.
• При построении системы задач на подведение под понятие обеспечить наиболее полный объём понятия.
• Важно показать, что объём понятия – не пустое множество.
• Раскрыть содержание понятия, работать над существенными признаками, выделяя несущественные.
• Помимо знания определения, желательно, чтобы учащиеся имели зрительное представление о понятии.
• Усвоение терминологии и символики.

Итогом данного этапа является формулировка определения, усвоение которого – содержание следующего этапа. Усвоить определение понятия означает овладеть действиями распознавания объектов, принадлежащих понятию, выведения следствий из принадлежности объекта понятию, конструирования объектов, относящихся к объёму понятия.

2. На этапе усвоения определения продолжается работа над запоминанием определения. Достигаться это может с помощью следующих приёмов:

• Выписывание определений в тетрадь.
• Проговаривание, подчёркивание или какая-нибудь нумерация существенных свойств.
• Использование контрпримеров для выполнения правил соизмеримости.
• Подбор недостающих слов в определении, отыскание лишних слов.
• Обучение приводить примеры и контрпримеры.
• Обучение применения определения в простейших, но достаточно характерных ситуациях, так как многократное повторение определения вне решения задач неэффективно.
• Указать на возможность различных определений, доказать их эквивалентность, но для запоминания выбрать лишь одно.
• Учить конструировать определение, использовать для этого составление родословных, разъясняя логическую структуру; знакомить с правилами построения определения.
• Сходные пары понятий давать в сравнении и сопоставлении.

Таким образом, каждое существенное свойство понятия, используемое в определении, на данном этапе делается специальным объектом изучения.

3. Следующий этап – закрепление. Понятие можно считать сформированным, если учащиеся сразу узнают его в задаче без всякого перебирания признаков, то есть процесс подведения под понятие свёрнут. Достичь этого можно следующими путями:

• Применение определения в более сложных ситуациях.
• Включение нового понятия в логические связи, отношения с другими понятиями (например, сопоставление родословных, классификаций).
• Желательно показать, что определение даётся не ради его самого, а для того, чтобы оно «работало» при решении задач и построении новой теории.

6.1. Педагогические особенности обучения математике в 7 классе.

6.1.1. Особенности познавательной деятельности 

Восприятие. Школьник 7 класса обладает достаточным уровнем развития восприятия. У него высокий уровень остроты зрения, слуха, ориентировки на форму и цвет предмета. Процесс обучения предъявляет новые требования к восприятию школьника. В процессе восприятия учебной информации необходимы произвольность и осмысленность деятельности учащихся. Сначала ребёнка привлекает сам предмет и в первую очередь его внешние яркие признаки. Но дети уже в состоянии сосредоточиться и тщательно рассмотреть все характеристики предмета, выделить в нём главное, существенное. Эта особенность проявляется в процессе учебной деятельности. Они могут анализировать группы фигур, упорядочивать предметы по различным признакам, проводить классификацию фигур по одному или двум свойствам этих фигур.

У школьников этого возраста появляется наблюдение как специальная деятельность, развивается наблюдательность как черта характера.

Процесс формирования понятия – постепенный процесс, на первых стадиях которого важную роль играет  чувственное восприятие объекта.

Память. Школьник 7 класса способен управлять своим произвольным запоминанием. Способность к запоминанию (заучиванию) медленно, но постепенно возрастает.

В этом возрасте память перестраивается, переходя от доминирования механического запоминания к смысловому. При этом перестраивается сама смысловая память. Она приобретает опосредованный характер, обязательно включается мышление. Поэтому необходимо учащихся учить правильно рассуждать, чтобы процесс запоминания базировался на понимании предлагаемого материала.

Заодно с формой меняется и содержание запоминания. Становится более доступным запоминание абстрактного материала.

Внимание. Процесс овладения знаниями, умениями, навыками требует постоянного и эффективного самоконтроля учащихся, что возможно только при сформированности достаточно высокого уровня произвольного внимания.

Школьник 7 класса вполне может управлять своим вниманием. Он хорошо концентрирует внимание в значимой для него деятельности. Поэтому нужно поддерживать интерес школьника к изучению математики. При этом целесообразно опираться на вспомогательные средства (предметы, картинки, таблицы).

В школе на уроках внимание  нуждается в поддержке со стороны учителя.

Воображение. В процессе учебной деятельности учащийся получает много описательных сведений. Это требует от него постоянного воссоздания образов, без которых невозможно понять и усвоить учебный материал, т.е. воссоздающее воображение учащихся 7 класса с самого начала обучения включено в целенаправленную деятельность, способствующую его психическому развитию.

При развитии у ребёнка способности управлять своей умственной деятельностью воображение становится всё более управляемым процессом.

У школьников 7 классов воображение может превратиться в самостоятельную внутреннюю деятельность. Они могут проигрывать в уме мыслительные задачи с математическими знаками, оперировать значениями и смыслами языка, соединяя две высшие психические функции: воображение и мышление.

Все указанные выше особенности создают почву для развития процесса творческого воображения, в котором большую роль играют специальные знания учащихся. Эти знания составляют основу для развития творческого воображения и в последующие возрастные периоды жизни школьника.

Мышление. Всё большее значение начинает приобретать теоретическое мышление, способность устанавливать максимальное количество смысловых связей в окружающем мире. Школьник психологически погружён в реальности предметного мира, образно-знаковых систем. Изучаемый в школе материал становится для него условием для построения и проверки своих гипотез.

В 7 классе у школьника вырабатывается формальное мышление. Школьник этого возраста уже может рассуждать, не связывая себя с конкретной ситуацией.

Учёные изучали вопрос об умственных возможностях школьников 7 классе. В результате исследований выявилось, что умственные возможности ребёнка шире, чем предполагалось ранее, и при создании соответствующих условий, т.е. при специальной методической организации обучения, учащийся 7 классов может усвоить абстрактный математический материал.

Как видно из вышеизложенного, психические процессы характеризуются возрастными особенностями, знание и учёт которых необходимы для организации успешного обучения и умственного развития учащихся.

6.1.2. Некоторые педагогические особенности обучения математике в 7 классе.

Ведущей идеей современной концепции школьного образования является идея гуманизации, ставящая в центр процесса обучения ученика с его интересами и возможностями, требующая учёта особенностей его личности. Главными направлениями математического образования является усиление общекультурного звучания и повышение его значимости для формирования личности подрастающего человека. Основные идеи, положенные в основу курса математики 7 класса – это общекультурная ориентация содержания, интеллектуальное развитие учащихся средствами математики на материале, отвечающем интересам и возможностям детей 12-13 лет[7].

Курс математики 7 классов – важное звено математического образования и развития школьников. На этом этапе заканчивается в основном обучение счёту на множестве рациональных чисел, формируется понятие переменной и даются первые знания о приёмах решения линейных уравнений, продолжается обучение решению текстовых задач, совершенствуются и обогащаются умения геометрических построений и измерений. Серьёзное внимание уделяется формированию умения рассуждать, делать простые доказательства, давать обоснования выполняемых действий. Параллельно закладываются основы для изучения систематических курсов стереометрии, физики, химии и других смежных предметов. Курс математики 7 классе представляет собой органическую часть всей школьной математики. Поэтому основным требованием к его построению является структурирование содержания на единой идейной основе, которая, с одной стороны, является продолжением и развитием идей, реализованных при обучении математики в начальной школе, и, с другой стороны, служит последующему изучению математики в старших классах. Продолжается развитие всех содержательно-методических линий курса начальной математики: числовой, алгебраической, функциональной, геометрической, логической, анализ данных. Они реализованы на числовом, алгебраическом, геометрическом материале. В последнее время существенно пересмотрено изучение геометрии. Целью изучения геометрии в 7 классах является познание окружающего мира языком и средствами математики. С помощью построений и измерений учащиеся выявляют различные геометрические закономерности, которые формулируют как предложение, гипотезу. Доказательный аспект геометрии рассматривается в проблемном плане – учащимся прививается мысль, что экспериментальным путём можно открыть многие геометрические факты, но эти факты становятся математическими истинами только тогда, когда они установлены средствами, принятыми в математике.

Таким образом, геометрический материал в этом курсе может быть охарактеризован, как наглядно-деятельностная геометрия. Обучение организуется как процесс интеллектуально-практической деятельности, направленной на развитие пространственных представлений, изобразительных умений, расширение геометрического кругозора, в ходе которого важнейшие свойства геометрических фигур получаются посредством опыта и здравого смысла. [7].Достаточно новой в курсе 7 классов является содержательная линия «Анализ данных», которая объединяет в себе три направления: элементы математической статистики, комбинаторику, теорию вероятностей. Введение этого материала продиктовано самой жизнью. Его изучение направлено на формирование у школьников как общей вероятностной интуиции, так и конкретных способов оценки данных. Основная задача в этом звене – формирование соответствующего словаря, обучение простейшим приёмам сбора, представления и анализа информации, обучение решению комбинаторных задач перебором возможных вариантов, создание элементарных представлений о частоте и вероятности случайных событий [7].

ГЛАВА 2. Формирование понятия треугольник в 7 классе.

Треугольник является важнейшей фигурой планиметрии, и потому в первую очередь изучают свойства этой фигуры. С ним связаны многие методы, используемые при решении различных геометрических задач. Любой многоугольник может быть разделён на треугольники, а изучение свойств этого многоугольника, сводится к изучению составляющих его треугольников. В каком-то смысле изучаемая в школьном курсе геометрия - это геометрия треугольника. Поэтому очень важно представлять себе методику изложения этой темы в различных учебных пособиях для правильного построения курса и избежания методических ошибок.

2.1.Определение треугольника.

Существуют два подхода к определению треугольника:

1 подход. Понятие треугольника вводится конструктивно: как фигура, состоящая из трёх точек и трёх отрезков соединяющих эти точки.

2 подход. Понятие треугольника даётся как частный случай многоугольника, но в этом понятии говорится не только о фигуре образованной замкнутой линией.

        Таблица 1

2.2. Государственный образовательный стандарт по курсу изучения темы треугольники [5].

Содержание обучения

Дисциплина обучения понятия треугольник основывается на Государственный образовательный стандарт.

Треугольники(14 час.)

Треугольник. Признаки равенства треугольников. Перпендикуляр к прямой. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Равнобедренный треугольник и его свойства. Задачи на построение с помощью циркуля и линейки.

Основная цель — ввести понятие теоремы; выработать умение доказывать равенство треугольников с помощью изученных признаков; ввести новый класс задач — на построение с по мощью циркуля и линейки.

Признаки равенства треугольников являются основным рабочим аппаратом всего курса геометрии. Доказательство большей части теорем курса и также решение многих задач проводится по следующей схеме: поиск равных треугольников — обоснование их равенства с помощью какого-то признака — следствия, вытекающие из равенства треугольников. Применение признаков равенства треугольников при решении задач дает возможность постепенно накапливать опыт проведения доказательных рассуждений. На начальном этапе изучения и применения при знаков равенства треугольников целесообразно использовать за дачи с готовыми чертежами.

Соотношения между сторонами и углами треугольника (16 час.)

Сумма углов треугольника.  Соотношение между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника. Прямоугольные треугольники, их свойства и признаки равенства. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми. Построение треугольника по трем элементам.

Основная цель — рассмотреть новые интересные и важные свойства треугольников.

В данной теме доказывается одна из важнейших теорем геометрии — теорема о сумме углов треугольника. Она позволяет дать классификацию треугольников по углам (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный), а также установить некоторые свойства и признаки равенства прямоугольных треугольников.

Понятие расстояния между параллельными прямыми вводится на основе доказанной предварительно теоремы о том, что все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой. Это понятие играет важную роль, в частности используется в задачах на построение.

При решении задач на Построение в 7 классе следует ограничиться только выполнением и описанием построения искомой фигуры. В отдельных случаях можно провести устно анализ и доказательство, а элементы исследования должны присутствовать лишь тогда, когда это оговорено условием задачи.

2.3. Анализ учебников Атанасяна Л.С, Погорелова А.В., Шарыгина И.Ф., по теме треугольники.

Для нашей дальнейшего анализа проанализируем три школьных учебника по геометрии:

1. Геометрия 7 - 9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений / Атанасяна  Л.С., Бутузов В.Ф.,Кадомцева С.Б и др.- М., Просвещение, 2003.
2. Геометрия 7 - 9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений / Шарыгина И.Ф., -М.,2002.
3. Геометрия 7-11 классы.ср.шк. / Погорелов А.В.,-М., Просвещение, 1990.

В современной школе наибольшее распространение получили учебники следующих авторов: Погорелов А.В., Атанасян Л.С., Погорелов А.Б., Шарыгин И.Ф., и др. Учебники А.В. Погорелова и Л.С. Атанасяна и др., предназначены для общеобразовательной школы. Авторам приходится изучаемый материал излагать в краткой форме, учитывая, что он должен быть доступен для учеников с разным уровнем восприятия информации и подготовленности по предмету. В методической литературе имеются и положительные и отрицательные отзывы о них; одни считают, что некоторые учебники непригодны для современной школы, другие же, наоборот, восхищаются тем или иным подходом автора к изложению школьного курса геометрии. Одних привлекает строгий аксиоматический подход, других большие возможности для организации мыслительной деятельности учащихся. Предлагаются разные способы управления познавательными действиями учащихся при работе с книгой.

Проанализировав  три учебника по геометрии Погорелова А.В., Атанасяна Л.С. и Шарыгина И.Ф., выявили следующее:

Атанасян Л.С.:

• Теоретический материал учебника «Геометрия, 7-9» изложен доступно и интересно, с учетом психологических особенностей школьников.
•  Книга разбита на 14 глав (13 глав планиметрии и 1 главой начала стереометрии), имеет 2 приложения и снабжена более чем 1000 разнообразных задач разного уровня сложности.
•  В учебнике много оригинальных приемов изложения, которые используются авторами не ради желания блеснуть своим особым подходом, а ради стремления сделать учебник доступным учащимся и одновременно строгим.
• Большой выбор задач.
•  Система задач позволяет развит интерес учащихся к математике с учетом их математической подготовки. Большое внимание уделяется тщательной формулировке задач, нередко приводится несколько решений одной и той же задачи.
• При изложении теоретического материала соблюдается систематичность и последовательность изложения. У учащихся формируется понятие красоты и изящества математических рассуждений.
• Практическая направленность в изучаемом материале.
• Красочное оформление учебников поможет школьникам лучше изучит геометрический материал.  

Погорелов А.В.:

• Особенностью учебника является лаконичное изложение материала. Содержание курса построено дедуктивно.
• В изложении материала просматривается логическая цепочка указывающая на соответствие материала возрастным особенностям.
• Теория в учебниках дается на высоком научном уровне.
• Контрольные вопросы к каждому параграфу помогает лучше понять его основу.
• По каждому разделу представлен необходимый набор задач.
• Важные задачи решаются в тексте учебника, автор обращает особое внимание на логику рассуждений и обоснованные решения.
• Подробное описание позволяет изготавливать модели геометрических фигур и решать с их помощью задачи из реальной жизни.
• Новое издание учебников красочно иллюстрировано. Это позволит учащимся образнее представить мир геометрии.  

Шарыгин И.Ф.:

• Учебник реализует авторскую, наглядно-эмпирическую концепцию построения школьного курса геометрии. Это выражается прежде всего в отказе от аксиоматического подхода. Вместо аксиом вводятся основные свойства плоскости, уменьшая роль формально-логических рассуждений.
• Совместное изучение плоской и пространственной геометрии.
• Большое внимание уделено методам решения геометрических задач.
•  Планиметрические задачи рассматриваются не только на плоскости, но и на пространственных объектах.
• Система задач дифференцирована по уровням сложности,  в теоретической части разделы, отмеченные *, предназначены для углубленной подготовки.
• Увеличено количество задач, направленные на отработку теоретического материала.
• Включен итоговый тест, позволяющий оценить знания учащихся по всему курсу.

Сравним этапы формирования понятия треугольник в учебниках Погорелова А.В., Атанасяна Л.С. и Шарыгина И.Ф. (таблица 2):

Таблица 2

Сравнительная таблица введения понятия треугольник в 7 классе

Рассмотрим таблицу сравнения количества заданий, отведенных на закрепление темы треугольники в учебниках:  Погорелова А.В.,  Атанасяна Л.С. и Шарыгина И.Ф в виде таблицы:                               Таблица 3

Для наглядного восприятия составили диаграмму количества заданий при закреплении темы треугольники:

Диаграмма 1

Диаграмма 2

Диаграмма 3

Диаграмма 4

Диаграмма 5

Из рассмотренных нами трех учебников, Погорелова А.В.,  Атанасяна Л.С. и Шарыгина И.Ф,  с точки зрения правильного построения школьного курса, дифференцированности задач так сложного, так и простого, направленности на отработку теоретического и практического материала, лучше книга по геометрии Атанасяна Л.С. Определения, теоремы, доступны пониманию учеников. Правильно построен этап формирования понятий, в нашем случае, понятия треугольник. Разнообразен спектр решаемых задач, есть задачи и практические задания к каждому параграфу, дополнительные задания к каждому параграфу, дополнительные задачи к каждой главе и, наконец, задачи повышенной трудности. Более трудные задачи отмечены *. В конце  книги к задачам даны ответы и указания. Уровень задач идет от простого к сложному, это помогает ориентироваться при выборе для решения задач учителю, а также дает ориентир ученику для оценки себя при решении задач. «+» намного больше, чем «-».

Соблюдаются Методические требования к определению понятия, такие как: доступность, определение ясное не содержит метафорических выражений, объём определяемого понятия равен объёму определяющего понятия.

2.4. Формирование  понятия треугольник по Атанасяну Л.С:

Атанасян Л.С при изучении данной темы ставит следующие цели: ознакомить с понятием треугольник, а также с основными понятиями данной темы, а именно понятиями: равные фигуры, виды треугольников, признаки и свойства треугольников, понятия соотношение между сторонами и углами треугольника.

Выделим следующие обязательные результаты обучения по теме треугольники:

Таблица 4                                                                  

Введение понятия треугольник по Атанасяну Л.С. :

Определение: Отметим какие-нибудь три точки, не лежащие на одной прямой, и соединим их отрезками, получим геометрическую фигуру, которая называется треугольником. Отмеченные три точки называются - вершинами, а отрезки – сторонами треугольника.

Далее описывается как обозначается треугольник, рассматривается разный порядок расположения букв. Например, треугольник ВСА, треугольник СВА .А также приводится пример как нужно правильно читать обозначение треугольника, т.е читается «треугольник АВС». В данном пункте учебника  вводится понятие угол треугольника, в приложении имеется рисунок с буквенными обозначениями. А также вводится  понятие периметра треугольника. Дается понятие равности двух фигур с доказательством, в данном случае теорема доказывается с помощью наложения двух треугольников. На рисунке показаны равные стороны и равные углы.

В ходе анализа школьного учебника геометрии Атанасяна Л.С. нами выявлено особенности такого введения понятия треугольник:

2.5.Ошибки, допускаемые учениками при формировании понятия треугольник:

При введении понятия треугольник обязательно нужно нарисовать произвольный треугольник, т.к у учеников формируется неправильное понятие о треугольнике, представляя, что треугольник является лишь равнобедренным или прямоугольным. Когда ученик представляет, что треугольник это равнобедренный или прямоугольный, он начинает использовать свойства равнобедренного и прямоугольного треугольника при решении задач.

2.6.Рекомендации:

Построение курса введения понятия треугольник  и метод его преподавания должны идти в развитии геометрического мышления от простого к сложному, от конкретного к отвлеченному.

 В учебной работе необходимо задействовать все виды памяти: зрительную, слуховую. Нужно больше использовать наглядность при введении понятия, а также при дальнейшем изучения темы треугольник. Необходимо формировать у учеников не автоматическое заучивание определений, свойств и признаков треугольник, а необходимо вводить «живое описание» с учениками исходя из  своих наблюдений. Но при этом нужно требовать ясного, точного, грамотного изложения своих мыслей в устной и письменной речи, и правильного произношения определений, свойств и признаков по данной теме.

Также обязательно, при изучении темы треугольник, требовать у учеников использование линеек.

В ходе изучения темы треугольник нужно как можно больше акцент нужно делать произвольному треугольнику.

Формирование непосредственного интереса к содержанию этой темы должно быть обусловлено интересными заданиями, связанными с практической деятельностью. С учетом особенностей развития детей указанного возраста геометрические понятия и факты необходимо вводить на основе имеющегося у них жизненного опыта, новых наблюдений, экспериментов, конструирования и моделирования. Поэтому изучаемый материал желательно наполнить многочисленными рисунками и чертежами. Чертежи и рисунки – эффективное средство формирования у учащихся умений подмечать закономерности на основе наблюдений, вычислений, сопоставлений. Они способствуют в большей степени лучшему усвоению свойств и понятий, развивают мышление, помогают в запоминании наиболее трудного для восприятия материала, упрощают решение задач, приводят к открытию какого-то факта. То есть ученики на конкретном примере могут сами увидеть те свойства, которыми обладает данный изучаемый объект, вычленить из предложенного готового чертежа самое главное, что заключает максимум информации.

При закреплении данной темы следует максимально разнообразить систему задаваемых задач, это может быть и построение треугольника, или исследование треугольника, в ходе которого выявляются основные компоненты треугольника, или распознавание вида треугольника.

2.7.Система упражнений по теме «Треугольники»

Нами предложено примерный перечень практических задач для первичного закрепления темы треугольник. Например:

Тема 1. Треугольники и их виды.

Основным результатом изучения данного пункта следует считать умение распознать и изобразить прямоугольный, остроугольный, тупоугольный, равнобедренный треугольники; знание терминологии, связанной с равнобедренным треугольником.

В процессе практической деятельности учащиеся должны понять: в треугольнике не может быть больше одного прямого или одного тупого угла, равнобедренный треугольник может быть и прямоугольным, и остроугольным, и тупоугольным, а вот равносторонний треугольник только остроугольным.

1. Ученикам раздается комплект разноцветных треугольников, выполненных из цветного картона: остроугольные, тупоугольные, прямоугольные, равнобедренные, равносторонние.

Назовите:

а) остроугольные треугольники;

б) тупоугольные треугольники;

в) прямоугольные треугольники;

г) равнобедренные треугольники;

д) равносторонние треугольники;

е) у равнобедренного треугольника покажите боковые стороны, основание.

2. Раздаются произвольные вырезанные треугольники на каждую парту. На треугольниках углы обозначены: 1, 2, 3. Учащимся предлагается отрезать эти углы, затем проложить сторона к стороне. Сделайте выводы о сумме углов треугольника.

3. Определите вид треугольника, если дано:

а) угол А равен 132º, угол В равен 15º, сторона ВС=4 см;

б) угол К равен 90º, сторона АК=18 см, КВ=18 см;

в) угол М равен 30º, угол N равен 60º, угол B равен 85º;

г) угол S равен 20º, угол O равен 55º, угол P равен 95º.

4. Проверьте свою геометрическую наблюдательность: сосчитайте, сколько треугольников на рисунке.

5.Отметьте какие-нибудь точки А, В, D, так чтобы они не лежали на одной прямой и соедините их попарно. Назовите треугольник, который построили. Перечислите его вершины и стороны. Сравните на глаз стороны треугольника. Проверьте свой глазомер с помощью циркуля и линейки.

6.Теорема Пифагора. Решение. Установив, что  в некотором прямоугольном треугольнике со сторонами длиной 3, 4 и 5, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, обобщаем этот вывод можно распространить на  прямоугольные треугольники со сторонами, пропорциональными числам вида (3k)2 + (4k)2 =(5k)2 (- “египетский” треугольник, а затем доказывается справедливость полученного вывода для произвольного   прямоугольного треугольника, т.е. а2 + b2 = с2. Далее идет распространение общего на все остальные прямоугольные треугольники с конкретными длинами сторон.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Геометрия играет особо важную роль. Эта роль определяется и относительной сложностью геометрии по сравнению с другими предметами математического цикла, и большим значением этого предмета для изучения окружающего мира. Геометрия, являясь неотъемлемой частью математического образования, имеет целью интеллектуальное и общекультурное развитие учащихся. Развитие учащихся средствами геометрии направлено на достижение научных, прикладных и общекультурных целей математического образования, где общекультурные цели обучения геометрии в первую очередь предполагают всестороннее развитие мышления детей. Геометрия, как учебный предмет, обладает уникальными возможностями для решения главной задачи общего математического образования – целостного развития и становления личности средствами математики.

Геометрический материал, представленный для изучения в 7 классе, должен представлять собой курс, органично включающийся в структуру непрерывного геометрического образования.

Геометрический материал 7 класса закладывает фундамент для дальнейшего изучения геометрии, поэтому роль пропедевтики этой дисциплины представляется чрезвычайно важной.

Цель данной курсовой работы, состоящая в изучении особенностей обучения понятия треугольник в 7 классе и разработке системы упражнений с позиций пропедевтики изучения геометрии в средней школе, была достигнута в результате решения следующих задач:

·  Изучены, описаны и проанализированы возрастные особенности школьников 12-13 лет, а также особенности восприятия ими геометрического материала.

·  Описаны основные существующие подходы при формировании понятия треугольник.

·  Проведен сравнительный анализ учебников по геометрии Атанасяна Л.С, Погорелова А.В, Шарыгина И.Ф. для учащихся 7 класса с точки зрения содержания в них геометрического материала.

· В ходе исследовательской работы выявлены  особенности введения понятия треугольник по учебнику геометрии Атанасяна Л.С.

·  Выявлены  методические рекомендации при изучении данной темы.

 ·  Составлена система упражнений по теме «Треугольник».

Приложения

Урок  геометрии в 7-м классе по теме "Треугольники"

Данный урок является уроком пропедевтики темы «Треугольники», так как на момент проведения урока учащиеся 7 класса знакомы только с определением треугольника и определением равных треугольников. Урок проводится в нестандартной форме, в форме мастер-класса. Учитель знакомит учащихся 7 класса с видами треугольников, свойствами треугольников, с историей треугольника и применением свойств треугольников в жизни, учат строить прямоугольный, равносторонний треугольники и  центр масс треугольника. Урок сопровождается компьютерной презентацией.

Цели урока:

1. Познакомить учащихся с видами треугольников, их свойствами, историей развития понятия «треугольника», применение свойств треугольников в жизни;

2. Развивать у учащихся умение переносить полученные знания в новые ситуации.

3. Формировать представление о математике как о необходимой для каждого человека составляющей общих знаний о мире и понимание значимости математических знаний для активного использования человеком в быту, в профессиональной деятельности.

4. Развивать интерес учащихся к предмету через, использование исторического и познавательного материала.

5. Развивать самостоятельность, творческую и познавательную активность учащихся.

Ход урока

Учитель математики 7 класса:

- То,  о чем мы с вами сегодня будем говорить на уроке геометрии, заинтересовало людей еще в VI веке до нашей эры. Тема нашего урока «Треугольники». Наша задача окунуться в мир треугольников. Мы с вами пока находимся на начальном этапе, знаем только определение треугольника. Дайте определение треугольника.

–  Слышите, сколько нам с вами еще предстоит узнать в теме «Геометрия треугольника».

–  Треугольник – самая простая замкнутая прямолинейная фигура, одна из первых, свойства которых человек узнал еще в глубокой древности, т. к.  эта фигура всегда имела широкое применение в практической жизни.

Изображения треугольников и задачи на треугольники встречаются во многих папирусах Древней Греции и Древнего Египта.. Еще в древности стали вводить некоторые знаки обозначения для геометрических фигур.

Древнегреческий ученый Герон (I век)  впервые применил знак   вместо слова треугольник.

Прямоугольный треугольник занимал почетное место в Вавилонской геометрии. Стороны прямоугольного треугольника: гипотенуза и катеты.

Термин  «гипотенуза» происходит от греческого слова «ипонейноуза», обозначающее «тянущаяся над чем-либо», «стягивающая». Слово берет  начало от образа древнегреческих арф, на которых струны натягиваются на концах двух взаимно-перпендикулярных подставок. Термин «катет» происходит от греческого слова «катетос», которое означает начало «отвес», «перпендикуляр».

Евклид говорил: «Катеты – это стороны, заключающие прямой угол».

В Древней Греции уже был известен способ построения прямоугольного треугольника на местности. Для этого использовали веревку, на которой были завязаны 13 узелков, на одинаковом расстоянии друг от друга. Давайте и мы  попробуем построить прямоугольный треугольник. Итак, приступайте.

(Работают три группы и три консультанта: два учителя математики и ученик 10 класса,  выполняют построение с помощью консультантов)

Вот видите, несмотря на то, что веревки были разной длины, принцип построения у всех одинаков: одна сторона содержит 3 отрезка, другая – 4 отрезка, третья – пять.

При строительстве пирамид в Египте именно так изготавливали прямоугольные треугольники. Наверно поэтому прямоугольный треугольник со сторонами 3,4,5 и назвали египетским треугольником.

Конечно, сейчас этот способ устарел. Я покажу вам один из простых способов построения прямоугольного треугольника.  Обоснование этому способу построения вы дадите в 9 классе.

В группах  под диктовку строят:

Постройте окружность произвольного радиуса. Проведите в ней диаметр. Возьмите любую точку на окружности. Соедините отрезками эту точку с концами диаметра. Получили треугольник. Проверьте, является ли он прямоугольным? ( каждая группа показывает свои треугольники)

–Людей с давних времен волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония, каким- либо математическим расчетам. Можно ли «проверить алгеброй гармонию?»- как сказал А.С.Пушкин.

Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул, но, изучая математику, мы можем открыть некоторые слагаемые прекрасного.

Одним из символов прекрасного в геометрии, является равносторонний треугольник. У него все стороны и все углы равны, поэтому его еще и называют правильным треугольником. Давайте попробуем построить равносторонний треугольник. Следите внимательно за действиями своих консультантов, которые этот способ вам покажут (радиус у всех одинаковый – 5см!).

(После этого каждый сам строит на цветной бумаге и вырезает.)

Я вижу, вы справились. Молодцы. По два человека от каждой группы  я попрошу подойти к магнитной доске со своим треугольником и прикрепить их магнитами. А теперь я из ваших треугольников сложу орнамент. Вот она красота и гармония. Для составления красивых паркетов чаще всего используются треугольники.

Центр масс. (на столе – демонстрационный столик)  Проведем эксперимент. Нам необходимо построить столик с одной ножкой. Но крышка – в форме треугольника. Вот такой интересный дизайнерский ход. Заказчик наверно – математик. Пытаемся установить такую крышку стола. (Прикладывает разными способами – не держится). Дело в том, что я знаю, как найти эту особую точку, чтобы крышка стола была устойчивой. Смотрите….. Я вас сейчас научу находить эту точку, которая в геометрии и в физике называется центром масс.  Возьмем треугольник (чертит на доске, класс слушает). Находим середину одной стороны, соединяем ее с противолежащей вершиной, получаем отрезок, который вы скоро назовете медианой треугольника. Строим еще одну медиану треугольника. Обе медианы пересеклись в одной точке. Эта точка и является центром масс данного треугольника.

(Группы выполняют построение, затем  проверяют устойчивость стола). Изучая геометрию, вам предстоит узнать, что в треугольниках замечательных точек несколько, одна из них…. Центр масс.

– Завершая, мастер-класс, мы хотели бы обратить ваше внимание на то, как часто треугольники применяются в жизни (демонстрируются слайды).

Д/З:

построить прямоугольный треугольник, используя циркуль и линейку;

построить равносторонний треугольник, используя циркуль и линейку;

перечислить разные виды треугольников( для выполнения задания используйте справочную литературу)

1 ученик – творческое задание: из вырезанных цветных треугольников составить паркет или рисунок.

Библиографический список

4. Виленкин Н.Я., Абайдулин С.К., Таварткиладзе Р.К. Определение в школьном курсе математики и методика работы над ними. // Математика в школе. – №4, 1984.
5. Грудёнов Я.И. Изучение определений, аксиом, теорем. : Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981.
6. Геометрия 7 - 9 классы. Программы общеобразовательных учреждений /  составитель: Бурмистрова Т.А. - М., Просвещение, 2009.
7. Геометрия 7 - 9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений / Атанасяна  Л.С., Бутузов В.Ф.,Кадомцева С.Б и др.- М., Просвещение, 2003.
8. Геометрия 7 - 9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений / Шарыгина И.Ф., -М.,2002.
9. Геометрия 7-11 классы.ср.шк. / Погорелов А.В.,-М., Просвещение, 1990.
10. Жохов В.И. Новый учебник математики для 7 класса // Математика. — №40, 1995.
11. Лященко Е.И., Мазаник А.А. Методика обучения математике в 7 классах. — Минск: Народная асвета, 1976.
12. Мухина В.С. Возрастная психология.: Учеб. для вузов. – М.: Академия, 1997.
13. Саранцев Г.И. Методика обучения в средней школе.: Учеб пособие для вузов. — М.: Просвещение, 2002.
14. Саранцев Г.И. Формирование математических понятий в средней школе. // Математика в школе. — №6, 1998.
15. Талызина Н.Ф. Педагогическая психология.: Учебное пособие для средних педагогических заведений. – М.: Академия, 2001.