Понятие многогранника. Призма.
план-конспект занятия по геометрии (10 класс) на тему

Понятие многогранника. Призма.

Определение. Прямая призма - это такая призма, у которой боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

Рассмотрим треугольную призму АВСА1В1С1 (рис. 1). Ребро АА1 перпендикулярно плоскости основания (АВС). Значит, призма – прямая. Значит, все боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания и каждая боковая грань – это прямоугольник.

Рис. 1

Определение. Правильной называется такая прямая призма, в основании которой лежит правильный n-угольник. Тогда, мы имеем правильную n-угольную призму.

Рис. 2

1) Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания.

Sполн = Sбок + 2Sосн

2) Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Sбок = Росн ∙ h

2. Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

 Задача 1 

Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 21см и 9 см и высотой 8 см (рис. 3). Найдите площадь боковой поверхности, если боковое ребро равно 10 см.

Дано: AD ∥ BC, AB = CD,

AD = 21см, BC = 9см, BH = 8 см,

АА1 ⊥ АВС, АА1 = 10 см. (рис. 4)

Найти: Sбок

Рис. 4

Решение:

Рассмотрим трапецию ABCD (рис. 5). ВН и CG – высоты трапеции. AD = 21см, BC = 9см. Так как трапеция ABСDравнобокая, то HG = BC = 9 см,  (см).

Рис. 5

Рассмотрим треугольник ∆АВН и найдем сторону АВ по теореме Пифагора:

Найдем периметр основания.

Применяем формулу для площади боковой поверхности:

Ответ: 500 см2

Задача2 

Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна а, диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите:

а) диагональ призмы;

б) угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани;

в) площадь боковой поверхности призмы.

Дано: ABCD – квадрат,

АВ = а, АА1⊥ АВС.

∠(АС1, АВС) = 45°.

Найти:

а) АС1;

б) ∠(АС1, АDD1);

в) Sбок

Рис. 10

Решение:

а) ABCDA1B1C1D1 - правильная четырехугольная призма. Это означает, что в её основании лежит квадрат АВСD.

Сторона квадрата АВСD  по условию равна а, тогда диагональ АС = а√2.

Угол между диагональю АС1 и плоскостью основания ABC равен 45°. Угол между диагональю АС1 и плоскостью основания ABC – это угол между прямой  АС1  и её проекцией на плоскость ABC, то есть угол С1АС, значит, ∠С1АС = 45°. Так как треугольник С1АС прямоугольный, то и угол АС1С равен 45°. Значит, треугольник С1АС – равнобедренный. Значит, СС1 = АС = а√2.

Из прямоугольного треугольника АС1С находим по теореме Пифагора АС1.

Ответ: 2а.

б) Прямая С1D1 перпендикулярна всей плоскости АDD1. Угол между прямой АС1 и гранью АDD1 - это угол между прямой АС1 и её проекцией АD1 на плоскость АDD1. Значит, искомый угол - ∠С1АD1.

Прямая С1D1 перпендикулярна всей плоскости АDD1, а значит, и прямой АD1. Найдем ∠С1АD1 из прямоугольного треугольника С1АD1.

Значит, ∠С1АD1 = 30°.

Ответ: 30°.

в) Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Ответ: .

Задания