Презентация к открытому уроку по геометрии "Выпуклые четырёхугольники. Специфика параллелограммов . Специфика трапеций"
презентация к уроку по геометрии (9 класс) по теме

Слайд 1

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ ОСНОВНОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН МАТЕМАТИКА 9 КЛАСС МОДУЛЬ ГЕОМЕТРИЯ (часть 2) Выпуклые четырёхугольники Специфика параллелограммов Специфика трапеций Учитель математики высшей категории Сысуева Ольга Александровна, ГБОУ СОШ№ 22 г.о . Чапаевск, Самарской области

Слайд 2

Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними: O d 1 d 2 α

Слайд 3

O d 1 d 2 α S 1 S 2 S 3 S 4 Диагонали выпуклого четырёхугольника делят его на части так, что произведения площадей треугольников, прилегающих к противоположным сторонам четырёхугольника, равны : Обоснование : найти площадь каждого из образованных диагоналями четырёх треугольников по формуле Затем сложить эти площади (свойство 1) или перемножить ( свойство 2).

Слайд 4

Середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, площадь которого равна половине площади данного четырёхугольника.

Слайд 5

C D B A s s s s o Диагонали параллелограмма делят его на две пары равных треугольников; площади всех этих треугольников равны между собой. Специфика параллелограмма

Слайд 6

C D B A b a o a b d 1 d 2 В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его c торон : d 1 2 + d 2 2 = 2(a 2 +b 2 ) Специфика параллелограмма

Слайд 7

Специфика параллелограмма 3 . Биссектрисы углов, прилежащих к любой из сторон параллелограмма, перпендикулярны . C D B A

Слайд 8

Специфика параллелограмма C D B A При проведении биссектрисы любого угла параллелограмма получается равнобедренный треугольник.

Слайд 9

Специфика параллелограмма C D B A Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом. Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом. 3 . Параллелограмм, диагонали которого являются биссектрисами его углов, является ромбом.

Слайд 10

C D B A Специфика параллелограмма C D B A 5 . Параллелограмм, диагонали которого равны, является прямоугольником. 6. Параллелограмм , диагонали которого взаимно перпендикулярны и равны, является квадратом. C D B A Параллелограмм, имеющий равные высоты, является ромбом.

Слайд 11

C D B A s s 1 s s 2 o Специфика трапеций Диагонали трапеции, пересекаясь, образуют четыре треугольника, два из которых равновелики, а два других – подобны с коэффициентом подобия равным отношению оснований трапеции.  OAD ~  OCB (по двум равным углам), S OAD : S OCB = k 2 , где k = AD : BC = OA : OC = OD : OB .

Слайд 12

C D B A s s 1 s s 2 o Специфика трапеций 2. S BAD = S CAD , S ABC = S DBC (как площади треугольников, имеющих c оответственно одинаковые основания и высоты). 3. S OAB = S OCD (т.к. S OAB = S ABC – S OBC = S DBC – S OBC = S OCD ) . 4. S BAD : S DBC = AD : BC ( S BAD = 0 ,5 · AD·h , S DBC = 0 ,5 · BC·h ) .

Слайд 13

C D B A s s 1 s s 2 o Специфика трапеций 5. Диагонали трапеции делят её на четыре треугольника так, что произведение площадей тех из них, которые прилежат к основаниям, равно квадрату площади треугольника, прилежащего к любой из боковых сторон трапеции: S 1 S 2 = S 2 . ( S OAD = S 1 =0 , 5·OB·OC·sin α , S OCB = S 2 =0 , 5·OA·OD·sin α , S OAB = S=0 , 5·OA·OB·sin(180° – α )=0 , 5·OA·OB·sin α , S OCD = S=0 , 5·OC·OD·sin(180° – α )=0 , 5·OA·OB·sin α , тогда S 1 S 2 = S 2 ) .

Слайд 14

6 . Биссектрисы углов, прилежащих к боковым сторонам трапеции, перпендикулярны (следует из того факта, что сумма этих углов равна 180° как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей). C D B A C D B A o 7. Точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжений боковых сторон, середина верхнего и середина нижнего основания – лежат на одной прямой. Специфика трапеций

Слайд 15

Специфика трапеций Основные (наиболее распространённые) дополнительные построения в задачах на трапецию. C D B A Построение 1 Через вершину меньшего основания трапеции провести прямую, параллельную её боковой стороне, до пересечения со вторым основанием; трапеция разбивается на параллелограмм и треугольник.

Слайд 16

Специфика трапеций Основные (наиболее распространённые) дополнительные построения в задачах на трапецию C D B A E Построение 2 Из вершины С меньшего основания трапеции ABCD провести прямую CE , параллельную диагонали BD , до пересечения с AD в точке E ; получится треугольник ACE , две стороны которого равны диагоналям трапеции, а длина третьей равна сумме длин оснований трапеции AE = AD + DE . При этом площадь трапеции ABCD равна площади образованного треугольника ACE : S ABCD = S ACE

Слайд 17

Специфика трапеций Основные (наиболее распространённые) дополнительные построения в задачах на трапецию C D B A H 1 H 2 C D B A P Построение 4 Достроить трапецию ABCD до треугольника APD , вершина Р которого образуется при пересечении продолжений боковых сторон трапеции. Построение 3 Из вершин меньшего основания трапеции опустить две высоты BH 1 и CH 2 .

Слайд 18

Задача №1. (Тренировочные варианты Иркутск 2013г.) Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 3 и 4, если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равны. O A D C B K P T H

Слайд 19

Решение . Точки K , Р , Т , Н середины сторон четырёхугольника ABCD. Отрезки АС и В D – диагонали четырёхугольника ABCD . O A D C B K P T H По условию КТ = РН ; значит, параллелограмм КРТН – прямоугольник, угол КРТ – прямой; следовательно, угол между диагоналями В D и АС тоже прямой, а значит, S ABCD = 0 ,5· В D· АС = 0 ,5 · 3 · 4 = 6. Ответ: 6. 2 . По свойству средней линии треугольника отрезки КН и РТ параллельны диагонали В D и равны её половине; отрезки КР и НТ параллельны диагонали АС и равны её половине. Значит, КРТН – параллелограмм .

Слайд 20

Задача №2. (ФИПИ 2014г.) На стороне В C параллелограмма ABCD выбрана точка К. Отрезки АК и В D пересекаются в точке Р . Площадь параллелограмма ABCD равна 24, а площадь четырёхугольника РКС D равна 10. Найдите площадь треугольника АР D . C D B A K P

Слайд 21

C D B A K P Решение .  A В D =  CDB (по трём равным сторонам). S A В D = S CDB = 0 ,5· S A В CD = =0,5·24=12; S КР B = S CDB – S PKCD = 12 – 10 = 2 2 .  APD ~  KPB (по двум равным углам); S A Р D : S KPB = k 2 ; AP= k·PK , DP= k·PB 3 .  A В P и  В PK имеют общую высоту из вершины В , значит, отношение их площадей равно отношению их оснований, т.е. S A В P : S KPB = А P : PK = k (из п.2 ) 4 .  APD и  ABP имеют общую высоту из вершины A , значит, отношение их площадей равно отношению их оснований, т.е. S AP D : S A В P = DP : PB = k (из п.2 )

Слайд 22

C D B A K P 5. Из п.3 и п.1 S A В P = k·S KPB = 2k 6. Из п.4 и п. 5 S APD = k·S ABP = k·2k = 2 k 2 S ABD = S A В P + S APD = 2k + 2 k 2 . Из п. 1 следует 2k + 2 k 2 = 12. Корни уравнения k 2 + k – 6 = 0 числа – 3 и 2; по смыслу задачи k = 2 . 8. S APD = 2 k 2 = 2·2 2 = 8 . Ответ: 8 .

Слайд 23

C D B A s s 1 s s 2 o Задача №3. (МИОО 2013г.) Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О . Площади треугольников O А D и OC В равны соответственно 16 см 2 и 9 см 2 . Найдите площадь трапеции.

Слайд 24

C D B A s s 1 s s 2 o  A ВО и  СВО имеют общую высоту из вершины В , значит, отношение их площадей равно отношению их оснований, т.е. S A ВО : S C ВО = ОА : О C = 4:3 (из п.2 ). Следовательно, S A ВО = Решение . По условию S OAD не равна S OCB , значит, AD и BC – основания трапеции ABCD . 2.  OAD ~  OCB (по двум равным углам ), S OAD : S OCB = k 2 =16:9, где k = 4:3 = OA : OC .

Слайд 25

C D B A s s 1 s s 2 o 4. S BAD = S CAD , т. к. эти треугольники имеют общее основание AD и их высоты, проведённые к этому основанию, равны как высоты трапеции. Значит, S OAB = S ABC – S OBC = S DBC – S OBC = S OCD , т. е. S OCD = S OAB = 12 . 5. S A В CD = S OAD + S OCB + S OCD + S OAB = 16 + 9 + 12 +12 = 49 c м 2 . Ответ: 49 c м 2 .

Слайд 26

K P N A o M B Задача №4. (МИОО 201 0 г.) Прямая, параллельная основаниям MP и NK трапеции MNKP , проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны MN и KP в точках A и B соответственно. Найдите длину отрезка AB , если MP =40 см, NK =24 см.

Слайд 27

K P N A o M B 2. Δ AMO~ Δ NMK по двум углам: а) ∠ М общий; б) ∠ MAO = ∠ MNK как соответственные при AO параллельной NK и секущей MN . Решение . Δ MOP~ Δ KON по двум углам: а ) ∠NOK=∠MOP как вертикальные б ) ∠PMO=∠NKO как внутренние накрест лежащие углы при NK параллельной MP и секущей MK.

Слайд 28

K P N A o M B 3. Аналогично 4. AB = 30 см . Ответ: 30 см.

Слайд 29

Задача №5. (МИОО 2013г.) В трапеции ABCD на диагонали BD выбрана точка Е так, что Площадь треугольника DCB равна 15. Найдите площадь треугольника А B Е. C D B A F E

Слайд 30

Решение . 1 . Пусть точка F – точка пересечения прямых CE и AD . Тогда ABCF – параллелограмм (по определению параллелограмма ). BF – диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника; S FCB = 0 ,5· S ABCF C D B A F E

Слайд 31

3.  A В E и параллелограмм ABCF имеют одно и то же основание AB и общую высоту, проведённую к AB . Значит, S АВЕ = 0 ,5· S ABCF = S DCB = 15. Ответ: 15. C D B A F E 2. S DCB = S FCB ( как площади треугольников, имеющих общее основание и одинаковую высоту – высоту трапеции ) . Значит, S DCB = S FCB = 0 ,5· S ABCF = 15.

Слайд 32

Задача № 6 (МИОО 2013г.) В равнобедренной трапеции ABCD боковые стороны равны меньшему основанию BC . К диагоналям трапеции провели перпендикуляры BH и CE . Найдите площадь четырёхугольника BCEH , если площадь трапеции ABCD равна 36. D A B N C M H E

Слайд 33

D A B N C M H E Решение . По свойству равнобедренной трапеции AC=BD , следовательно, треугольники ABC и DCB равны. Так как AB=BC=CD , треугольники ABC и DCB равнобедренные, следовательно, BH и CE – соответствующие медианы этих треугольников. Значит, AH=HC=BE=ED . Отрезок HE соединяет середины диагоналей трапеции, c ледовательно , прямые HE, AD и BC параллельны, поэтому, BCEH – трапеция.

Слайд 34

D A B N C M H E Площадь трапеции ABCD : Ответ: 9 .

Слайд 35

Задача № 7 . Диагонали трапеции 3 и 5; отрезок, соединяющий середины оснований 2. Найдите площадь трапеции. C D B A F K L M Решение . 1 . Дополнительное построение: СМ параллельна KL , CF параллельна BD . 2. Из построения следует: LKCM и DBCF параллелограммы; LM = KC = 0,5· BC , DF = BC , AM = AL+LM = 0,5· AD + 0,5· BC. 3. CM – медиана треугольника ACF. По формуле медианы

Слайд 36

C D B A F K L M Пусть h – высота трапеции ABCD или треугольника ACF . Тогда S ABCD = 0 , 5· ( AD+BC ) ·h = 0 , 5· ( AD+DF ) ·h = 0 , 5·AF·h = S ACF =6. Ответ: 6 . По формуле Герона Полупериметр треугольника ACF равен

Слайд 37

1. Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 8 и 5, если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равны. 2. В выпуклом четырёхугольнике ABC Т длина отрезка , соединяющего середины сторон AB и C Т, равна одному метру . Прямые B Т и AC перпендикулярны. Найдите длину отрезка , соединяющего середины диагоналей AC и B Т. 3. На стороне В C параллелограмма ABCD выбрана точка К. Отрезки АК и В D пересекаются в точке Р . Площадь параллелограмма ABCD равна 80, а площадь четырёхугольника РКС D равна 31. Найдите площадь треугольника АР D . Зад а чи для самостоятельного решения Ответ: 20. Ответ: 1 метр . Ответ: 25.

Слайд 38

4. Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О . Площади треугольников А OD и В OC равны соответственно 25 см 2 и 16 см 2 . Найдите площадь трапеции. 5. Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD , проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны AB и CD в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка Е F , если AD= = 12 см, В C =24 см. 6. В трапеции ABCD ( AD параллельна BC , AD > BC ) на диагонали AC выбрана точка Е так, что ВЕ параллельна CD . Площадь треугольника АВ C равна 10. Найдите площадь треугольника D Е C . Задачи для самостоятельного решения Ответ: 81 см 2 . Ответ: 16 см. Ответ: 10.

Слайд 39

 А.С. Зеленский , И.И. Панфилов «Геометрия в задачах». Учебное пособие для учащихся старших классов и поступающих в вузы. – Москва, НТЦ «Университетский» УНИВЕР-ПРЕСС, 2008.  И.В. Ященко, С.А. Шестаков и др. Математика. 9 класс. Типовые тестовые задания. – «Экзамен», Москва, 2013.  Образовательный портал для подготовки к экзаменам РЕШУ ЕГЭ  http://pedsovet.su/load/321  http://www.mathvaz.ru/  http://alexlarin.net/ Использованные источники