Правильный многоугольник
план-конспект урока по геометрии на тему

УРОК 1:

Правильный  многоугольник

Цель: 

Сформировать  у  учащихся  понятие  правильного  многоугольника. Вывести  формулу  для  вычисления  угла  х правильного  многоугольника, научиться  пользоваться  данной  формулой.

        Задачи:

•  Повторить  ранее  изученный  материал  о  сумме  углов  выпуклого  многоугольника;
•  научиться  пользоваться   формулой  для  вычисления  угла  правильного  многоугольника как  с вычислениями  в  тетради ,  так  и  с  использованием  компьютера.

Ход  урока:

1.Актуализация  опорных  знаний  учащихся:

Повторить  формулу  суммы  углов  выпуклого  многоугольника

2.Изучение  нового  материала

Определение  правильного  многоугольника      

Определение. Правильным  многоугольником  называется  выпуклый  многоугольник,  у  которого  все  углы  равны  и  все  стороны  равны.

Вопросы учащимся:

Какие  правильные  многоугольники  вы  уже  знаете?

У  какого  многоугольника  все  углы  равны,  но  он  не  является  правильным?

У какого  многоугольника  все  стороны  равны,  но  он  не  является  правильным?  

Сумма  углов  многоугольника

n – число  сторон

 n-2  -  количество  треугольников

Сумма  углов  одного  треугольника - 180º,  умножим  на  количество  треугольников  n -2, получим S= (n-2)*180.

S=(n-2)*180 

Формула  для  вычисления  угла  х  правильного  многоугольника

Выведем  формулу  для  вычисления  угла   х  правильного  n- угольника.

В  правильном  многоугольнике  все  углы  равны, сумму  углов  делим  на  количество  углов, получим  формулу  

x =(n-2)*180/n

Задание 1.

         Решить  задачи  1081(а, б), 1083 (а, б).

Задание  2:

    Построить  таблицу изменения  суммы  углов  многоугольника  и  величины  каждого  угла,  построить  диаграмму.

1. Запустить    Excel.
2. В  ячейки  А1,А2,А3…   ввести  число  сторон  правильного  многоугольника n = 3,4,5,6,7,8,9,10,20,30,...
3. В  ячейку  А2  ввести формулу  для  вычисления  угла  правильного  многоугольника =(A1-2)*180.
4. Выделить  блок  ячеек  В2:N2  и  копировать  формулу
5. В  ячейку  А3  ввести  формулу  =(A1-2)*180/A1.
6. Выделить  блок  ячеек  А3:N3  и  копировать  формулу. Ячейки  выровнять.
7. Вставить  строку  над  первой  строкой. Написать «Правильный  многоугольник», цвет   «голубой», шрифт 16, полужирный, курсив.
8. Вставить  2  столбца  слева  от  таблицы.  В  ячейку  А2 ввести  текст «Сторона», в  А3 – «Сумма  всех  углов»,  в А4 – «Величина  одного  угла».
9. Добавить   строку  сверху. В ячейку  В2   ввести  слово «формула»,  в  В3 –n, в В4 – формулу  S = (n-2)*180, в  В5 –     x=(n-2)*180/n.
10. Автоформатировать  таблицу.
11. Построить  диаграмму:  диаграмма   -   нестандартные    графики (2  оси) -  далее  -   готово. Параметры  диаграммы   заголовки    название  диаграммы «правильный  многоугольник», ось  х (категорий) –число  сторон, ось у  (значений) – сумма  всех  углов),  вторая  ось  у – величина  одного  угла.

           Домашняя  работа:  Самостоятельно  изучить  теорему  об  окружности,  описанной  около  правильного  многоугольника, вписанной  в  правильный  многоугольник. Повторить  свойство  касательной  к  окружности. Ученикам      дать  оформить  доказательство  теоремы  об  описанной  окружности. Решить № 1081( в, г, д), 1083( г, д) из учебника Атанасян. Геомерия 7-9.

Пояснения  к  выполнению  задания

УРОК 2

Окружность,  описанная  около  правильного    многоугольника. Окружность, вписанная  в  правильный  многоугольник.

Цель: Изучить  теоремы  об  окружности,   описанной  около  правильного  многоугольника  и  вписанной  в  правильный  многоугольник

Определение. Окружность  называется  описанной  около  многоугольника,  если  все  вершины  многоугольника  лежат  на  этой  окружности

Теорема: Около любого  правильного  многоугольника  можно  описать  окружность,  и  притом  только  одну.  

Доказательство:

Пусть  А1 А   А2  А3  ……   А n   - правильный  многоугольник, О- точка  пересечения  биссектрис  углов А1  и А2

             Соединим  точку  О  отрезками  с  остальными  вершинами  многоугольника  и  докажем,  что  ОА1= ОА2 = …ОАn…Соединим  точку  О отрезками  с  остальными  вершинами  многоугольника  и  докажем,  что ОА1= ОА2 = …ОАn. Так  как   А1 =      А2,  то     1 =   3,  поэтому  треугольник rА1 А2 О1 равнобедренный, и,  следовательно,  ОА1 = ОА2 .. rА1А2О= r А3А2О ( I признак), следовательно, ОА3 = ОА1 . Итак, точка  О  равноудалена  от  всех  вершин  многоугольника. Поэтому окружность  с  центром  О  и  радиусом  ОА1 является описанной  около  многоугольника.

             Описанная  окружность  только  одна. Рассмотрим какие-нибудь  три  вершины  многоугольника,  так  как  через  них  проходит  только  одна  окружность, то около  многоугольника  можно  описать  только  одну  окружность.

Определение. Окружность  называется  вписанной в  многоугольник,  если  все  стороны  многоугольника  касаются  этой  окружности

Теорема: В любой  правильный  многоугольник  можно  вписать  окружность, и  притом  только  одну.

Пусть А1  А  2   …А  n  - правильный  многоугольник, О –центр описанной  окружности.   При доказательстве теоремы 1 мы выяснили,  что  ∆ ОА1А2 =∆ОА2А3= ∆ОАnА1 , поэтому высоты  этих  треугольников, проведённые из  вершины О, так же  равны. Поэтому

 окружность    с поэтому окружность  с  центром  О и  радиусом  ОН проходит  через  точки H ,H , H    и  касается  сторон  многоугольника  в  этих  точках,  т.е. окружность  вписана  в  данный  многоугольник.

Докажем, что  вписанная  окружность  только  одна.

Предположим,  что  существует  другая  вписанная  окружность  с  центром  О  и  радиусом ОА. Тогда  её  центр  равноудалён  от  сторон  многоугольника., т.е.

Точка  О1  лежит  на  каждой  из  биссектрис  углов  многоугольника,  и  поэтому  совпадает  с  точкой  О  пересечения  этих  биссектрис.

2.Закрепление  теорем 1  и  2:

Задачи  1086    и  1084;

обсудить  решения  задач  1080  и  1082.

Задача: Докажите,  что  все  диагонали  правильного  многоугольника  равны.

Самостоятельная  работа:

Вариант1.

1.Впишите   в данную  окружность  правильный  шестиугольник.

2.Докажите,  что  три  вершины  правильного  восьмиугольника,  взятые  через  одну,  служат  вершинами  правильного  квадрата.

Вариант 2.

1.Впишите  в  данную  окружность  правильный  восьмиугольник

2.Докажите, что  четыре  вершины  правильного  восьмиугольника,  взятые  через  одну, служат  вершинами  квадрата.

Домашняя  работа:

1.Повторить  материал  пунктов  105-107, 109.

2.Решить  задачи  1085,1131,1130 (Объяснить)

УРОК 3

Формулы  для  вычисления  площади  правильного  многоугольника,  его  стороны  и  радиуса  вписанной  окружности.

Цель:

Выработать  у  учащихся  умение  выводить  формулы, связывающие  радиус  описанной  окружности  и  радиус  вписанной  окружности  со  стороной  правильного  n-угольника,  на  их  основе научит  учащихся  получать  формулы  для  вычисления  αn  через  R  и  r    и   конкретизировать  их  для  случая   n =3,  n = 4, n= 6,  выработать  навыки  применения  полученных  знаний  при  решении  задач.                   

Ход  урока

1.Проверка  домашнего  задания.

2.Изучение  нового  материала (Проводится самостоятельно  под  руководством  учителя по  заранее  заготовленному  рисунку  308  учебника).       

Пусть S –площадь  правильного  многоугольника,a n-его  сторона, Р – периметр, а r R – радиусы  вписанной  и  описанной  окружностей.

Выводим  формулы  и  получаем   таблицу:

Закрепление  изученного  материала:

1. Решение  задач:

1) В  окружность  радиуса  R=12 вписан  правильный  n- угольник.     Определите его сторону  и  периметр,  если: а) n=3,  б) n = 4, в) n=6.

2) Около  окружности  радиуса r =6  описан  правильный n–угольник.  Определите  его  сторону  и  периметр,  если а) n=3, б) n = 4, в) n=6.

3) Для  правильного n- угольника  со  стороной  а =6см  найдите  радиус  описанной  около  него  окружности,  если а)n=3,  б) n = 4,  

в) n=6.

2. Решить задачу 1089, 1092.

3. Итоги  урока.

4. Задание  на  дом:  изучить  пункт 108,  задачи 1087, 1988,  1094(а,б).

УРОК 4

Построение  правильных  многоугольников.

Цель  урока:

1. Научиться  строить  правильные  многоугольники  с  помощью  циркуля  и   линейки.

2.Получить  навыки 

При  построении  правильных  многоугольников,  руководствуемся  тем,  что    около  любого  многоугольника  можно  описать  окружность.

Ход  урока:

Задание 1. Построить  правильный  шестиугольник  с  произвольной  стороной.

Задание 2. Построить  правильный шестиугольник,  сторона  которого  равна  данному  отрезку:

а) при  помощи  циркуля  и  линейки ( стр.279  учебника),

б) с  помощью  программы  Paint

Задание 3. Построить  правильный  5-угольник.

Домашняя  работа:

Построить

1. с   помощью  циркуля  и  линейки
2. на  компьютере 

     правильный  12-угольник,правильный  16-угольник  по  заданной  стороне,  используя  рисунки,  полученные  на  уроке(Слайды 22,23)  

УРОК  5

Длина  окружности

Цель: Вывести  формулу  для  вычисления  длины  окружности,  формулу  для  вычисления  длины  ℓ дуги  окружности?  Закрепить  изученное.

Ход  урока:

1.Математический  диктант

I  вариант

1.Найдите  угол  правильного десятиугольника (использовать  слайд 14)

2.Найдите  сторону  правильного треугольника, если  радиус  описанной  около  него  окружности  равен  2м.(использовать  слайд  11)

3.Найдите  радиус  окружности.,  вписанной  в  правильный  треугольник, если  радиус  описанной  около  него  окружности  равен  2м (использовать  слайд  19)

4.Найдите  площадь  правильного  треугольника,  если  расстояние  от  его  центра  до  вершины  равно2м.(Слайд  12)

5.Закончите  предложение: «Угол  с  вершиной  в  центре  окружности  называется…»

6.Угол  с  вершиной  в  центре  правильного  многоугольника  и  сторонами,  проходящими  через  две  его  соседние  вершины,  равен  36°. Сколько  сторон  имеет  этот  многоугольник?(Слайд  14)

7.Чему  равен cos 0 °?

8.С  помощью  циркуля  и  линейки  постройте  правильный  шестиугольник.

II  вариант

1.Сколько  сторон  имеет  правильный  многоугольник,  если  его  сторона  стягивает  дугу  описанной  окружности, равную  18°? (Слайд 14)

2.Найдите  площадь  квадрата,  если  радиус  описанной  около  него  окружности  равен  2  дм.(слайд  19).

3.Закончите предложение: «Кругом   называется  часть  плоскости…

4.Найдите  сторону  квадрата,  если  расстояние  от  его  центра  до  вершины  равен 2  дм.(слайд 19)

5.Найдите  радиус  окружности,  вписанной  в  квадрат, если  радиус  описанной  около  него  окружности  равен  2  дм.(Слайд  19)

6.Чему  равен  sin 0 °?

7.Найдите  угол  правильного  девятиугольника.(Слайд 14)

8.С  помощью  циркуля  и  линейки  постройте  правильный  треугольник.

2. Изучение  нового  материала (лекция)

•  Вспомнить  материал  из  учебника  математики  для  шестого  класса (практическая  работа  по  определению  числа π  с  помощью  нитки,  обмотанной  около  дна  стакана)
•  Вывод  формулы  длины  окружности  ,  он  основан на  интуитивном  представлении  о  пределе:  при  неограниченном  увеличении  числа  сторон  правильного  многоугольника  ,  вписанного в  окружность,  его  периметр  стремится  к  длине  этой  окружности
•  Вывод формулы  длины  дуги  окружности
•  Решить задачи  №1101,1102,1103, 1109 (а, б),1111.

3. Итоги  урока.

4. Задание  на  дом:

•  Самостоятельно  изучить  материал  пункта  111 («Площадь  круга»).
•  Решить  задачи №1109(в, г),1106,1104(а),1105(а).

УРОК 6

Площадь  круга (Лекция  учащихся)

Цель: Изученный  учащимися  самостоятельно  материал  продемонстрировать  на  уроке.

Ход  урока:

1.Изучение  нового  материала (Лекция  учащихся  с  показом  слайдов).

2.Закрепление  изученного  материала:

1. Решить  задачу. На  здании  МГУ  установлены  часы  с  круговым  циферблатом,  имеющим  диаметр  примерно  8,8 м.Найдите  площадь  циферблата  этих  часов  и  сравните  с  площадью  вашей  классной  комнаты.

2. Решить  №1118(самостоятельно).

3. Решить  №1119,1125,1116 на  доске  и  в  тетрадях.

3. Итоги  урока.

4. Домашняя  работа: Повторить  пункты  105-110,  изучить  материал  пункта  112, решить №1114,1115,1117(а)

УРОК 7

Площадь  кругового  сектора.

Цель: Изученный  учащимися  самостоятельно  материал (понятие  кругового  сектора, сегмента,  вывод   формул  для  вычисления  площадей   кругового  сектора,  сегмента)  продемонстрировать  на  уроке,  научить  применять  полученные  знания  при  решении  задач.

Ход  урока:

1.Проверка  изученного  материала:

•  Формула  длины  окружности.  Выражение  радиуса  окружности  через  площадь  круга,  формула  площади  круга, выраженная  через  диаметр  круга.
•  Формула  длины  окружности
•  Решить  задачу  1115(устно)

2.Изучение  нового  материала (Лекция  учащихся  с  показом  слайдов).

3.Закрепление  изученного: Решить  задачу 1126 (самостоятельно), 1127 (на  доске  и в  тетрадях.

4. Вывести  формулу  для  вычисления  площади  кольца, ограниченного  двумя  окружностями    с  общим центром  и   радиусами. (Объяснение  учителя)

5. Итоги  урока:

6. Задание  на  дом: Повторить  материал  пунктов 105-112,  ответить  на  вопросы  1-12 (стр. 290), решить  задачи  №1121, 1128, 1124.  

УРОК 8:

Решение  задач

Цель: Закрепить  знания  учащихся  по  изученному  материалу  главы.

Ход  урока

1.Устный  опрос  учащихся  по  карточкам:

Карточка 1.

1.Сформулируйте  определение  правильного  многоугольника.

2.Сформулируйте  теорему  об  окружности,  описанной  около  правильного  многоугольника.

3.Найдите  площади  сектора,  на  которые  разбивают  круг  два  радиуса,  если  угол  между  ними  равен  36°,  а  радиус  окружности  равен  4м.

Карточка  2.

1.Какая  точка  называется  центром  правильного  многоугольника?

2.Докажите  теорему  об  окружности,  вписанной  в  правильный  многоугольник.

3.Найдите  длины  дуг,  на  которые  разбивают  окружность  два  радиуса,  если  угол  между  ними  равен  72°,  а  радиус  окружности  равен  6  дм.

Карточка  3.

1.Объясните,  какое  число  обозначается  буквой  π     и  чему  равно его   приближённое  значение?

2.Напишите  формулы  для  вычисления  площади  правильного  многоугольника  через  его  периметр и  радиус  вписанной  окружности.

3.Найдите  площадь  правильного  шестиугольника,  вписанного  в  окружность  радиуса3  см.

Карточка 4.

1.Как  выражается  сторона  правильного  треугольника  через  радиус  описанной  окружности?

2.Напишите  формулу  для  вычисления  радиуса  окружности  ,  вписанной  в  правильный  n-угольник,  через  радиус  окружности,  описанной  около  него.

3. Найдите  площадь  кольца,  ограниченного  двумя  окружностями  с  общим  центром,  если  их  радиусы  равны  5  и  10 м.

2. Самостоятельная работа

Вариант 1.

1. Площадь  круга  равна  S. Найдите  длину  ограничивающей  его  окружности.

2. Найдите  длину  окружности  радиуса 9м,  если  градусная  мерам  дуги  равна 120°.

3. Длина  дуги  окружности  равна  3π,  а  её радиус  равен  8.Найдите  градусную  меру  этой  дуги.

4. Найдите  площадь  кольца,  ограниченного  двумя  окружностями  с  общим  центром  и  радиусами  13  и  12  см.

5. Найдите  площадь  кругового  сектора  радиуса  4  см,  если  его  центральный  угол  равен  45°.

6. Площадь  кругового  сектора  равна  18π м2 ,  а  его  центральный  угол  равен  40°.  Найдите  радиус  сектора.

Вариант2.

1. Длина  окружности  равна  С .Найдите   площадь  ограниченного    ею  круга.

2. Найдите  площадь  кольца,  ограниченного  двумя  окружностями  с  общим  центром  и  радиусами  25  и  24  см.

3. Найдите  площадь  кругового  сектора  радиуса  3 см,  если  его  центральный  угол  равен  20°.

4. Площадь  кругового  сектора  равна  10π  м2,  а  его  радиус  равен  6м, Найдите  центральный  угол  сектора.

5. Найдите  длину  дуги  окружности  радиуса  6 дм, если  её  градусная  мера  равна  120°.

6. Найдите  радиус  окружности,  если  длина  окружности  равна  6π,  а  её  градусная  мера  равна 60°.

3.Проверочная  самостоятельная  работа.

Вариант1.

Задачи  №1125, 1129(в), 1132(а), 1144(а),1197.

Вариант2.

Задачи №1128,1129(в), 1132(б), 1143(б),1139

4. Итоги  урока: Выставление  оценок  за  устный  опрос  по  карточкам,  за  математический  диктант, Проверочную  самостоятельную  работу  собрать  на  проверку.

5.Домашняя  работа: Повторить главу  12 «Длина  окружности  и  площадь  круга»(пункты  105-112), подготовиться  к  контрольной  работе,  посмотреть  по  тетрадям  решение  задач  по  всей  главе.

УРОК 10

Контрольная  работа

Цель: Проверить  умение  учащихся  решать  задачи  по  изученной  12  главе.

Ход  урока

I.Выполнение  контрольных  заданий:  

                                                    Вариант 1(2)

1.Периметр  правильного  треугольника(шестиугольника),  вписанного  в  окружность,  равен  45  см(48м).  Найдите  сторону  правильного  восьмиугольника (квадрата),   вписанного  в  ту  же  окружность.

2.Найдите  площадь  круга (длину  окружности), если  площадь  вписанного  в  ту  же  окружность  квадрата (правильного  шестиугольника)     равна  72дм2 (72√3  см2).

3.Найдите  длину  дуги  окружности(кругового  сектора)  радиуса  3  см (12 см),  если  её  градусная  мера  равна  150°(120°).

                                                       Вариант 3(4)

1.Периметр  квадрата (правильного  треугольника),  вписанного  в  окружность,  равен  48  см.  Найдите  сторону  правильного  пятиугольника,   вписанного  в  ту же  окружность.

2.Найдите  площадь  кольца,  ограниченного  двумя  окружностями  с  общим  центром  и  радиусами  3  см  и  7  см.(Площадь  кольца,  ограниченного  двумя  окружностями   с  общим  центром,  равна  45 π  м2  а  радиус  меньшей окружности  равен  3м. Найдите  радиус  большей  окружности.

3.Найдите  площадь  фигуры,  ограниченной  дугой  окружности  и  стягивающей  её  хордой,  если  длина  хорды  равна  4  м (2м),  а  градусная  мера  дуги  равна  60° (а  диаметр  окружности  равен  4  см)

II. Итоги.