ГИА 2015 задание № 13
статья по геометрии (7, 8, 9 класс) на тему

7 класс

Начальные геометрические сведения.

1. Прямая простирается бесконечно в обе стороны.
2. Отрезок ВС одержит только точки прямой ВС, лежащие между В и С.
3. Две фигуры, одинаковую форму, называются равными.
4. Любые два развернутых угла равны.
5. Луч, делящий угол на два равных угла, называется биссектрисой угла.
6. Когда точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.
7. Неразвернутый угол меньше 1800.
8. Если луч h является биссектрисой неразвернутого угла kl, то угол kh не может быть прямым.
9. Два угла, у которых одна сторона общая, называются смежными.
10. Смежные углы равны.
11. Сумма смежных углов равна 1800.
12. Две прямые перпендикулярные к третьей, не пересекаются.
13. Через любые три точки можно провести прямую.
14. Две прямые не могут иметь двух и более общих точек.
15. Отрезок MN содержит точки M и N и все точки прямой MN, лежащие между M и N.
16. Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей.
17. Луч, исходящий из вершины угла, называется биссектрисой угла.
18. Если угол развернутый, то любую из двух частей, на которые он разделяет плоскость, можно считать внутренней областью угла.
19. Если луч проходит внутри угла, то он делит этот угол на два угла.
20. Фигуру, состоящую из угла и его внутренней части, так же называют углом.
21. Если луч k является биссектрисой неразвернутого угла kl, то угол kl может быть тупым.
22. Когда луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.
23. Вертикальные углы равны.
24. Сумма вертикальных углов равна 1800.
25. Если сумма вертикальных углов равна 500, то каждый из этих углов равен 250.
26. Любые две прямые имеют ровно одну общую точку.
27. Вертикальные углы равны.
28. Сумма вертикальных углов равна 1800.
29. Любые две прямые имеют не менее одной общей точки.
30. Через любые две точки проходит не менее одной прямой.
31. Если угол равен 300, то вертикальный ему угол равен 1500.
32. Существуют три прямые, которые проходят чрез одну точку.
33. Через любые две точки проходит не более одной прямой.

Треугольники  

1. Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. Отрезок биссектрисы угла треугольника называется биссектрисой треугольника.
3. В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке.
4. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
5. Высота равнобедренного треугольника является медианой и биссектрисой.
6. Все равносторонние треугольники равны.
7. Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
8. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
9. В равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны.
10. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
11. Если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
12. В любом треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке.
13. Если угол при вершине равнобедренного треугольника равен 400, то угол при основании равен 700.
14. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольника равны.
15. Медиана равнобедренного треугольника является высотой и биссектрисой.
16. Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.
17. Диаметр окружности в два раза больше ее радиуса.
18. Все углы в равностороннем треугольнике равны 600.
19. Углы при основании прямоугольного равнобедренного треугольника равны 450.
20. Если сторона и два угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
21. Если гипотенуза одного прямоугольного треугольника равна гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
22. Сумма углов прямоугольного треугольника равна 1800.
23. В прямоугольном треугольнике все углы прямые.
24. В тупоугольном треугольнике сумма углов больше 1800.
25. Средняя линия треугольника разбивает его на два треугольника.
26. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше любого его катета.
27. Катет прямоугольного треугольника меньше его гипотенузы.
28. Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 3:1.

Параллельные прямые.

1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
2. Если две прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
3. Отрезок и луч параллельны, если они не пересекаются.
4. Если угол АВС равен углу BCD, то прямые АВ и CD всегда параллельны.
5. Если при пересечении двух прямых секущей сумма накрест лежащих углов равна 2700, то каждый из этих углов равен 1350.
6. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
7. Если две прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 1800.
8. Отрезок и прямая параллельны, если они не пересекаются.
9. Если угол АВС равен 300, а угол BCD равен 1600, то прямые АВ и CD пересекаются.
10. Если при пересечении двух прямых секущей сумма двух соответственных углов равна 1600, то каждый из этих углов равен 800.
11. Если аb и ba, то а||с.
12. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые перпендикулярны.
13. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние односторонние углы равны.
14. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
15. Если при пересечении двух прямых третьей прямой  внутренние односторонние углы равны 700 и 1100, то эти две прямые параллельны.
16. Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме 900, то эти две прямые параллельны.

Соотношения между сторонами и углами треугольника.

1. Если один из углов треугольника острый, то треугольник называется остроугольным.
2. Треугольник может иметь один прямой угол и один тупой угол.
3. Внешние углы при основании равнобедренного треугольника острые.
4. Если в равнобедренном треугольнике угол, противолежащий основанию, равен 1000, то углы при основании равны 400.
5. Если угол при основании равнобедренного треугольника в 4 раза больше угла, противолежащего основанию, то угол, противолежащий основанию, равен 360.
6. Если в треугольнике АВС для углов верны неравенства: В>AC, то для сторон справедливо АС>CB>BA.
7. Треугольник со сторонами 2,5 см, 3 см, 6,4 см существует.
8. Если периметр равнобедренного треугольника равен 16 см и основание равно 6 см, то боковая сторона равна 10 см.
9. Внешние углы при основании равнобедренного треугольника тупые.
10. Внешний угол треугольника равен сумме двух любых углов треугольника.
11. Каждая сторона треугольника равна сумме двух других сторон.
12. Каждая сторона треугольника больше суммы двух других сторон.
13. Каждая сторона треугольника меньше разности двух других сторон.
14. В треугольнике против меньшего угла лежит большая сторона.
15. Если расстояние от точки до прямой больше 5, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, больше 5.
16. Если все высоты треугольника меньше 1,то и все его стороны меньше 1.

8 класс

Четырехугольники.

1. Многоугольник с n-вершинами называется n-угольником.
2. Фигуру, состоящую из многоугольника и его внутренней области, также называют многоугольником.
3. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 3600.
4. В трапеции углы при каждом основании равны.
5. В равнобедренной трапеции диагонали равны.
6. Прямоугольник обладает не всеми свойствами параллелограмма.
7. Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма.
8. Квадратом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
9. У неразвернутого угла ось симметрии – биссектриса угла.
10. Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии.
11. У окружности бесконечно много осей симметрии.
12. N-угольник имеет n сторон.
13. Если вершину выпуклого n-угольника соединить диагоналями с другими вершинами, то в результате получится n-2 треугольников.
14. Параллелограмм не является выпуклым четырехугольником.
15. Диагональ параллелограмма разделяет его на два треугольника, которые равны по трем сторонам.
16. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям трапеции.
17. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.
18. Ромбом называется четырехугольник, у которого все стороны равны.
19. Квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.
20. У неразвернутого угла ось симметрии – прямая, на которой расположена биссектриса угла.
21. У параллелограмма  одна ось симметрии.
22. У разностороннего треугольника нет ни одной оси симметрии.
23. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 1800.
24. Середины сторон параллелограмма являются вершинами ромба.
25. Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб.
26. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 1800.
27. Сумма двух противоположных углов четырехугольника равна 1800.
28. Сумма двух противоположных углов параллелограмма равна 1800.
29. Если в четырехугольнике две стороны параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
30. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
31. Если в четырехугольнике два угла – прямые, то этот четырехугольник – параллелограмм.
32. Если в четырехугольнике три угла – прямые, то этот четырехугольник – параллелограмм.
33. Диагонали параллелограмма делят его угла пополам.
34. Диагонали параллелограмма перпендикулярны.
35. Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам.
36. Диагонали квадрата равны.
37. Сумма углов ромба равна 3600.
38. Диагонали параллелограмма параллельны.
39. Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм – квадрат.
40. В любом ромбе все стороны равны.
41. Существует трапеция, все стороны которой различны.
42. Каждая биссектриса равнобедренного треугольника является медианой и высотой.
43. В любой трапеции диагонали равны.
44. Если в ромбе один из углов равен 900, то такой ромб – квадрат.
45. Средняя линия трапеции разбивает его на двв треугольника.
46. Если основания трапеции равны 4 и 6, то средняя линия этой трапеции равна 10.

Площадь.

1. За единицу измерения принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков.
2. Если каждую сторону прямоугольника уменьшить в два раза, то его площадь уменьшится в четыре раза.
3. Площадь параллелограмма равна половине произведения его основания на высоту.
4. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
5. Площадь прямоугольной трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на боковое ребро.
6. Площадь равностороннего треугольника со стороной а вычисляется по формуле .
7. Сумма расстояний от точки на основании равнобедренного треугольника до боковых сторон не зависит от положения этой точки.
8. Если одну пару противоположных сторон прямоугольника уменьшить в два раза, то его площадь уменьшится в четыре раза.
9. Площадь ромба равна произведению его диагоналей.
10. Площадь треугольника равна произведению его основания на высоту.
11. Площадь прямоугольного треугольника равна произведению его катетов.
12. Треугольник со сторонами 2; 3; 4 – прямоугольный.
13. Сумма расстояний от точки, лежащей внутри равностороннего треугольника, до его сторон не зависит от положения этой точки.
14. Если квадрат и ромб имеют одинаковые периметры, то их площади равны.
15. Площадь прямоугольного треугольника равна произведению двух его сторон.
16. Площадь прямоугольного треугольника равна произведению двух его смежных сторон.
17. Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
18. Площадь треугольника равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
19. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту.
20. Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту.
21. В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета.
22. Площадь прямоугольного треугольника равна удвоенному произведению его катетов.
23. Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.
24. Площадь параллелограмма не превышает произведения его соседних сторон.
25. Площадь четырехугольника равна половине произведения двух его диагоналей.
26. Треугольника со сторонами 2, 3, 4 не существует.
27. Треугольника со сторонами 1, 2, 3 не существует.

Подобные треугольники.

1. Отрезки АВ и CD пропорциональны отрезкам А1В1 и C1D1, если .
2. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
3. Отношение периметров двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
4. Каждая высота прямоугольного треугольника – есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится сторона этой высотой.
5. Отношение площадей двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
6. Все равносторонние треугольники подобны.
7. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы.
8. Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
9. Любые два равносторонних треугольника подобны.
10. Любые два равнобедренных треугольника подобны.
11. Любые два прямоугольных треугольника подобны.
12. Любые два равнобедренных прямоугольных треугольника подобны.
13. Отношение длин гипотенуз двух подобных прямоугольных треугольников равно коэффициенту подобия.

Окружность.

1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
2. Если точки А и В разделяют окружность на две дуги, меньшая из которых равна 1200, то большая тогда равна 2300.
3. В треугольник можно вписать только одну окружность.
4. Если хорды окружности АВ и DC параллельны, то градусные меры дуг окружности АС и DB равны.
5. Около любого четырехугольника можно описать окружность.
6. Прямая и окружность могут иметь только две общие точки.
7. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащего на окружности, то прямая является касательной.
8. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
9. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
10. Около любого треугольника можно описать окружность.
11. Площадь описанного треугольника равна произведению его периметра на радиус вписанной окружности.
12. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, - прямой.
13. Если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм – ромб.
14. Если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм – квадрат.
15. Вписанные углы, опирающиеся на одну и туже хорду окружности, равны.
16. Если вписанный угол равен 600, то центральный угол, опирающийся на туже дугу окружности, равен 1200.
17. Если вписанный угол равен 600, то центральный угол, опирающийся на туже дугу окружности, равен 300.
18. Через любые три точки проходит единственная окружность.
19. Если расстояние между центрами двух окружностей меньше суммы радиусов, то эти окружности пересекаются.
20. Центр окружности принадлежит самой окружности.
21. Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на средней линии этого треугольника.
22. Точка пересечения медиан треугольника является центром описанной около треугольника окружности.
23. Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на биссектрисе наименьшего угла этого треугольника.
24. Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружности не имеют общих точек.
25. Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между центрами равно 8, то эти окружности касаются.
26. Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 1, то эти окружности пересекаются.
27. Около любой трапеции можно описать окружность.

Векторы.

1. От любой точки М можно отложить бесконечно много равных векторов.
2. Если в параллелограмме АВСD точка О – точка пересечения диагоналей, то .
3. Разностью векторов  и  называется такой вектор, сумма которого с вектором  равна вектору .
4. От любой точки N можно отложить бесконечно много коллинеарных векторов.
5. Вектор  является противоположным вектору , если векторы  и  имеют противоположные направления.
6. Нулевой вектор считается противоположным любому вектору.
7. Вектором, противоположным нулевому вектору, считается нулевой вектор.

9 класс.

Длина окружности и площадь круга.

1. Длина окружности радиуса R равна πR.
2. Длина окружности радиуса R равна 2πR.
3. Если расстояние от точки до центра окружности меньше или равно радиусу окружности, то эта точка лежит на окружности.
4. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше диаметра окружности, то эта прямые и окружность пересекаются.
5. Площадь круга равна квадрату его радиуса.
6. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность.
7. Центром окружности, вписанной в четырехугольник, является точка пересечения его диагоналей.
8. Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.
9. Центром окружности, описанной около правильного треугольника, является точка пересечения высот.
10. В любой четырехугольник можно вписать не более одной окружности.
11. Если стороны прямоугольника равны 3 и 4, то диаметр описанной около него окружности равен 5.
12. Центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника, называется внутри этого треугольника.

Соотношение между сторонами и углами треугольника.

1. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними.
2. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без произведения этих сторон на косинус угла между ними.
3. Стороны треугольника пропорциональны градусным величинам противолежащих углов.
4. Если сумма двух любых углов четырехугольника равна 1800, то его можно вписать в окружность.
5. Одна из медиан прямоугольного треугольника равна половине его гипотенузы.
6. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна длине катета, умноженной на синус острого угла, противолежащего этому катету.
7. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение большего катета к меньшему.
8. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
9. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
10. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение катета к гипотенузе.
11. Длина катета прямоугольного треугольника равна длине гипотенузы, умноженной на косинус угла, образованного этим катетом и гипотенузой.
12. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение катета к гипотенузе.
13. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение катетов.
14. Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы и синус острого угла.
15. Катет прямоугольного треугольника равен произведению ката и тангенса острого угла.